Введение к работе
Актуальность темы. При решении многих задач теории чисел приходится исследовать поведение рядов Дирихле
f(s)-, алп (a„,seCJ ,
а также тесно связанных с ними функций
n=s-cc
называемых сумматорными функциями коэффициентов ряда Дирихле.
Наиболее известным рядом Дирихле является дзета-функция
Римана {S) , при Res > / определяемая равенством
А -я степень S ($) дзота-функции при RBS? / представляет собой ряд Дирихле
k * ~ S,
S ()=2 Т.(п)П ,
где Zftfn) - число представлений /7 в виде /Ф натуральных сомножителей /при /1=^2 ТгҐП)=*Т'(П) _ число натуральных делителей /7 /. Сумматорная функция коэффициентов этого ряда
SdA fsc)^SL ТА (п) лог
есть число натуральных решений неравенства sr4 -з'д -^' &" ,
или, что то же, число целых точек под гиперболической поверхностью агл-.„-зг^ = зг /при /7=?г под гиперболой сг,йг=зс /, Задачу об асимптотической оценке суммы 3>ь ґог) принято на--зывать проблемой делителей /Дирихле/.
Классические теоремы ПДирихле ' и 3.Ландау' позволяют получить асимптотическую формулу
Я)к М=aPk (tyx) + 0(^^ ),
где fi - многочлен степени k-J , <>0 - произвольно малое фиксированное число,
Дальнейшая история оценок dь такова:
clk^l-2/A-H) , ЬъЯ /Г.$.Вороной3/ и ЭДандау2//,
JksZj-3(A + 2}~ t k*i/ /Г.Харди и ДДиттлвуд^/,
1/'3)Lzich&et Р. Шег die Bestlmrnung dez miiihzen h/ezte In с/ег ZahPeniheosle // J/i. Mad. Wlss. &ezlin.JM9. hfeaAe2. .4/9-66.
2/ Landay . i/6eg dleAmo/hP dps Giitez/iunftte In де wlss en Bezel cAen // УаеЛг. Jtod htiss.#tttnffen. Maih-Phys. PL J912. P/t. 6. S.6M-77/.
3/
'Вороной Г.Ф. Об одной задаче из теории асимптотических функ
ций // Собрание сочинений в трех томах. Т.2 / Киев: Издательс
тво АН УССР, 1952. С. 5-50.
4/'Нагс1у9.Н.,иШемоос/2 The approximate
functional equation in the theosy о/ the
veto-/unction, rtith applications to the dii/l-
S02/}?обет$ of )izlchPei and Pciiz //
Pfoc.london /4ath. Soc. Ses.2.Jff. К P. 59-7V. '
Jk^ i-5k~ , A^ /Д.Хис-Браун5/7,
J A < У-165 (2*A)~J t А Ї120 /А .Ивичб//.
Все эти результаты имеют вид
JA^ J-c0A t А?А0 , . . /і/
где С0 , к0 - абсолютные постоянные.
Г.Рихертом ' для фиксированного А?/$0 и А.А.Карацубой
равномерно по /? для 2*$*гооэг была получена
оценка о/а другого вида:
где с - абсолютная постоянная. .
Ясно, что оценка /2/ принципиально лучие оценки /I/, но.
5/ 1 HQctth-8>zown )./?. Mean i/afyes of the ге/а-function
and dtviso? лгоЗ/ems // Peceni Progress in
Analytic л/umSes Theory', Sum/iosium 3)uz/iam J9?p.
V.l/ lonc/on : Acac/prntc P?ess, /9 /? J/5-usr. ' Dvic'A. Some new estimates in the SbizichPei divisoz p?o3Pe/r> // Jcta /!?it/>rrj. /gjg. /. 52, /J3. P. 24/-253. ' Richest //.'-/. infupunp in die The one dp? sta?Aen ffieszschen SummLe?Sa?^eit von li?ic/iPet?ei/}Pn // л/асп?. Jkad. Mss. JroiiLnt/en. /iath.-Phys. ЯЄ. то. Я t?-75. 'Карацуба АД, Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972, Т.Зб, » 3. С. V75-483. так как известные на сегодняшний день значения константы С ма- . лы, то /2/ становится лучше Д/ лишь при достаточно больших /" . Так, А.Ивич ' показал, что Это лучше оценки лишь при RZ? 26 Ю , Отсюда естественным образом вытекает задача улучшения константы С . Полученная А.А.Карацубой ' формула для ее вычисления имеет вид С- 2 (2а/ , *>2, IV где О/ - константа из оценки дзета-функции Римана в критической полосе:' при J ІІ Ъ2 , {^6^d a/s-б/* Улучшения константы С можно достичь двумя путями: во-пер-. . вых, улучшением вида формулы, связывавшей величины С и Of \ во-вторых, улучшение'м самой константы а из оценки ,5" () * Решением первой задачи закимался, напржер, А.Фуджи ', который получил для С форнуяу 9hvicA. Т/іе Йіетапп zpia-/uncUon. J. Witey Sons. ЖW УогА, J9S5. lQ/faju A. On Ш p?o6Pem о/ dmso?s // Ada A?Uh: /P?s. I/.3J. P. 355-эбо. ' C=(j2f'/tf-jf*0~*, Ь4. /5/ Решением второй задачи занимались такие авторы, как В.Стае, II/ /s Г.Рихерт, П.Туран. Так, В.Стае ' доказал, что &=2 для -15 ..- jo / j—2 О ^ 1 . Г.Рихерт ' получил уже оценку Л/ с CX—jOO . Наконец, П.Туран ' опубликовал результат (У—39 . Исследование поведения дзета-функции Римана в критической полосе тесно связано с изучением тригонометрических сумм вида < л ,- л , называемых дзетовыми суннами. Подобные суммы встречаются уже в работах К.Гаусса. Исследованием таких сумм занимались Г.Вейль, Г.Харди и Д.Зиттлвуд. Существенно новые результаты были получены ц 1958 году Н.М.Коробовым ' и И.М.Виноградовык ' . Именно, 4 &ias W. Шег о/гг Ves/iaHen с/ег fiimannschpn - FunMcon ипс/ ііпедвз і/рги/апр/ІР? Function In с/ег //She t/pz Gewden 6= / //J?clcr Aziihm. J962. W-7, P. 2/?'-ssv. ^'filchPzi H.-. с/г //Sscha/гиґід с/ег /?сетапп-schen Zpta-function in c/pss/ahp c/p? yp?/i/?a/en 6^= -J // A/a//?. /Inn. />6P. S. /69. A/ft. /. S. 9F-JOJ. 13/ Ти?ап /? 0/7 SO/77'P ?РСРґ?1 ?tPS///S (/7 1/}P СГ/7СУ- t/jllfrat- l/teonu of /7L/m6pfs// Ppoc. Sum/}. Po?P Malh. xx г /у в 9 / хУри/ X??4: JA/S, J/?s-/ilule o/ ЛІи/пбе? ThpOVi/, J97J . P. -359-37». 'Коробов H.M. Оценки тригонометрических сумм и их приложения //'Успехи матем. наук. I95C. T.I3, шп. 'і ( 82 ) . С. 185-192. 'Виноградов И.М. Нозая оценка SfJut) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Ї .22, У> 2. С. 161-164. было доказано, что при Z>,20 , і s?//s? і , -s 2. П «У , /6/ где с/д - абсолютная положительная постоянная* Опубликованная А.А.Карацубой' формула -У a-stefzT') (U-CJ0), связывающая константы О из /V и о/л из /б/, показывает, что всякое продвижение в оценке дзетовой суммы влечет за собой улучшение оценки S(S) в критической полосе. Подчеркнем, однако, что оценки дзетовых сумнимеит и другие применения в теории чисел. Например, оценка /6/ позволяет уточнить сведения о поведении S (S ) на прямых ftpS=*i и fie =* тг , что ведет к улучшению остаточных членов в асі п-тотическом законе распределения простых чисел.и в задаче о попадании простых чисел в интервалы малой длины. Обобщением проблемы делителей Дирихле является проблема делителей в числовых полях, в частности, задача о_б асимптотической оценке суммы которая является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле Z/s,Xjh-lfi/s.Ц7~<2 .спп Карацуба А.А. Сценки тригонометрических сумм методой И.М.Ви-ноградова и их применение // Тр. Матем. ин-та им.Б.А.Стекло-ва АН .СССР. 1971. Т.И2. С. 241-255. ' - 7 -THfilj/S,7j) ,..., Aa/S,7/^) - Л -функции Дирихле с характерами ДирИХЛе . уУу ,..., Уь і Классическими в этой области являются результаты ЭЛандау ', который получил асиыптотическуп формулу D 2,MJ;..'2A/sJAl «tfi+є л: Cn^Res ^ -tOioc ), пі n^or S—J где с^ф «г У—2(&+J) , k^2 , Є У О -произвольно малое фиксированное число. А.А.Карацуба ' получил для cAfa оценку -Z где, как и в /7/, R - фиксированное натуральное число, #у , ...» ify - характеры Дирихле по фиксированным модулям 0У , -» с^Эа , Cj - абсолютная положительная постоянная. В связи с изложенным выше становится актуальной задача получения более точной информации о поведении остаточных членов проблемы делителей Дирихле и проблемы делителей в числовых полях, а также связанная с этим задача получения новых оценок дзета-функции Римана, / -функций Дирихле и некоторых тригонометрических сумм специального вида. Цель работы. Целью диссертационной работы является: получение новых оценок дзетовых сумм и тригонометрических сумм с характерами, подобных дзетовым; исследование поведения S -функции Римана и Z -функций Дирихле в критической полосе; 'Карацуба АЛ. Проблема делителей Дирихле в числовых полях // Докл. АН СССР. 1972. Т.204, » 3. С. 540-5«. - уточнение оценки остаточного члена, равномерной по всем 2 ^ кяґіодя , в проблеме делителей Дирихле и получение равномерной по веек 2^ k^ioooc ^aorf^^.^i ^ "^ ос оценки остаточного члена в асимптотической формуле дляе=С С^ — по модулям Qd «» 9)ь /» из которой следуют новые оценки остаточных членов проблемы делителей в квадратичном и /г? -круговом полях. Научная новизна. Вое результаты, полученные в диссерта члена получена в асимптотической формуле для <2. ^j(^j)~Pfb.'%), причем здесь учтена возможность некоторого роста модулей 8)j,..., S)f, , по которым рассматриваются характеры Яу , ..., Яуф ; это позволило улучшить остаточные члены проблемы делителей в квадратичном и /т? -круговом полях; лри этом получены новые оценки Z -функций Дирихле и тригономегрических сумм с характерами, подобных дзетовым. Методы исследования. В работе использована совокупность методов, разработанных в этой тематике: метод Вейля-Харди-Литтлвуда и метод К.МЛиноградова оценки тригонометрических сумм, методы действительного и комплексного анализа, теория рядов Дирихле и др. Теоретическая и практическая значимость. Работа" имеет Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на Всесоюзной школе "Конструктивные методы" и алгоритмы теории чисел" /Минск, '1989 г./, на республи- "' канокой научно-теоретической.конференции "Теория чисел и ее приложения" /Ташкент, 1990 г./, на Ленинских чтениях в МГПИ имени В.ИЛенина, на научно-исследовательском семинаре кафедры теории чисел МГУ имени MJB .Ломоносова, на аспирантском семинаре кафедры теории чисел МПГУ имени В.И.Ленина. Объем работы.- Диссертация состоит из введения, трьх глав и списка литературы. Объем работы 118 страниц машинописного текста, из них 112 страниц основного текста, список литературы вклпчает 56 названий. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах I"} - [_ 7j , список которых приложен в конце автореферата.
X(6 + ii) << tog ЦІ. /V
-S
П]',.. '/7а ^-3
ции, являются новыми. Получена новая оценка дзетовой суммы и
улучшена оценка дзета-функции Римана в критической полосе;
улучшен остаточный член в П]облеме делителей Дирихле; впервые
равномерная по всем 2^п-^ш^о~ оценка остаточного
теоретический характер и вносит вклад в решение одной из клас
сических задач теории чисел. Результаты диссертации и сообра
жения, с помощью которых они получены, могут бить использованы
в дальнейших исследованиях, посвященных проблеме делителей и
связанным с ней вопросам. .