Введение к работе
Актуальность темы. Теория проективних плоскостей р.'!'> полагаете» на стыке трех областей математики: .алгебри, геометрии и комбинаторного анализа. У истоков ее стояли Л, Эйлер, К. Гаусс, Д. Гильберт. Большой вкладв теорию проективних плоскостей внесли такие известные математики, как Ж. Де-зарг, М. Холл, Р. Бзр, О. Веблен, Д. Ведяерберн, Д. Зингер и другие, а в 40-е и 50-е годы она получила мощный" импульс благодаря работам Л. А. Скорнякова. Б 1977г. Л.И. Ширшов в докладе "Проективные плоскости", сделанном на XIV Всесоюзной алгебраической конференции, акцентировал впимтте алгебраистов па изучении вопросов, связанных с проективными плоскос-тями. Он же определил новое направление в теории - изучение проективних плоскостей как алгебраических систем.
Еше Д. Ги.'.ч.берт, ксордииатизировлв плоскость, перепел многие чисто геометрические задачи на алгебраический" л.шк. Оказалось, что алгебраические свойства коордпиатизиру ющего множества, и геометрические свойства плоскости очень тесно связаны. Например, дезарговы плоскости имеют самую богатую по строению группу коливеацкй и координати.знруится чо;:гм. Другие, не менее известные плоскости - плоскости трансляции, координатизируются квазиполем.
В данной диссертационной работе ііьучаются голуполгвне плоскости, т.е. плоскости транслящнЧ, коорди^атизиру гош^е множество которых - иолуполе. Строение грушш коллпчеаиг.й ІЮ-луполевой плоскости на с2ГОднікішт«Гі день .:.! -.-. ке изучено и существует известиач'пшотеза о ее разрешимости fOj 'Л -..am получено немало результатов, подткержлаїжип г:;;ліую гипотезу для отдельных классов полуполевых плоскостей, з целом она еще очень далека от своего разрешения. Наиболее известный результат, подтверждающий гипотезу - доказательство Д.Р, Хьюгесом и М. Бурместером в 1905 г«\" ps ;;..;,"" -диск полной группы кол-линеанийнодуполевой плосгосгя чегйого 1,-у, . ;.а, котораяне со-яержи? бэровс:;;-г педгглxxxi-s'L }>':< . >. ; ;:л»:*о"илоахч.ги четного порядка, содержащей о;-,ров.-кую л-глалос-.г-сь, раэре-
пшмость полной гругпгы коллшіеашш пока не доказана.
Строение и некоторые алгебраические свойства групп колли-неадай полуполевых плоскостей ранга '2, попускающих линейную бэровскую ннволюпию, изучались в 80-х - 90-х годах М. БІ1-iot.ti, V. Jha, N.L. Johnson, G. Menichetti, H. Huang б работах [і], [2], [3], [4]. В 1990 гаду H.Huang, N.L Johnson в работе [2] впервые построили все полуполевые плоскости порядка SJ, которые допускают линейную бэровскую шіболюишо.
В диссергашш рассматриваютсяполуполевые плоскости четного порядка qz и q4, д = 2Г с ядром, содержащим GF(q), которые допускают бэровскую шшолгашпо в лилейном ТраНСЛЯНЛ-ОтЮМ ДОПОЛНСШШ.
Цель работы. Изучение строения и доказательство разре-шплюсти группы колшшеишвЗшаяупояегзой плоскости четного порядка qA с ядром, содержащим GF(q), которая допускает линейную бэровскую дшволюшпо. Построение примеров полуполевых плоскостей такого типа,.а также построение всех полуполевых плоскостей порядка 16" с ядром, содержащим Методика исследование В основа исследований лежит метод построения конечной плоскости трансляций на основе векторного пространства четной размерности. Изучаются и используются свойства регулярного аяшзкестза плоскости. Применяются методы современной алгебры и теории конечних групп. Апробации работы. Результаты диссертации докладывались на третьей международной копферейшгл по алгебре, которая проходила в 1993 году в г. Красноярске, на селашаре по теории групп (Институт математики СО РАН - ЫГУ, г. Новосибирск) и на научно-рефератцвяом семинаре " А лгебраііческие сис-темыЦ (КрГУ, г. Красноярск). Основные результаты диссертации. Построено регулярное множество плоскости ранга 4, четного порядка д4, которая допускает линейную бэровскую инволюцию (теорема 3.1), а также доказана разрешимость полной группы коллинеалийташйио-луполевой плоскости (теорема 3.26), что подтверждает для пан- ного класса плоскостей пшогезу о разрешимости полной гругты коллинеаиий полуполевой ПЛОСКОСТИ. Построены некоторые примеры плоскостей ранга 4, порядка 84, допускающих линейную бзровскуюннполгоггпю. Построены все полуполевие плоскости ранга 2, порядка 16", допускающие лилейную бэровску го инволюцию (теорема 2.І) (совместно с II. Л. Подуфаловым, В. К. Дураковпм, О. Б. Кравцовой)}, исследовано строение її доказана разрешимость их групп коллинеапкй. О бьем работы. Диссертация изложена ка 81 странице машинописного текста. Библиография сол^рїчиг 15 пойменований. Публикации. Все результаты опубдикоісшк в оаботах [10 -15].