Введение к работе
Актуальность темы. В теории полугрупп в последнее время появился интерес к универсально аксиоматизируемым классам, которые не обязательно являются многообразиями.
Такими классами являются, например, тождественно включи-тельные многообразия полугрупп, введённые Е. С. Ляшгаым [1, 2, 11], в случае когда они определяются совокупностью конечных тождеств включения.
В данной работе изучаются классы полугрупп, заданные совокупностью замкнутых дизъюнктивных универсальных формул или, иначе, дизъюнктивных тождеств (D-тождеств).
Очевидно, что любое тождество включения и Є V, которое имеет конечное множество слов V, является D-тождеством. С другой стороны, как показано в первой главе, существуют системы,D-тождеств, не эквивалентные никакой совокупности тождеств включения.
Отметим, что тождество включения, при помощи которого характеризуется класс полугрупп, у которых всякое подмножество является подполугруппой (такие полугруппы рассматривались неоднократно, см., например, работу Е. С. Ляпина [10]), является также и D-тождеством.
Эксклюзивные (exclusive) полугруппы, названные так Т. Tamura [15], идея которых принадлежит Б. М. Шайну, характеризуются при помощи некоторого тождественного включения, которое также является D-тождеством. Отметим, что после указанного исследования Т. Tamura, изучавшего коммутативные эксклюзивные полугруппы, общими эксклюзивными полугруппами занимались М. Jamada [8], L. O'Corroll и Б. М. Шайн [14].
Легко представить себе и другие заслуживающие внимания D-тождества и контуры общей теории с рядом применений и связей.
D-тождества в классе групп эквивалентны тождествам включения. Это следует из наличия в группе обратных элементов и единицы. D-тождества в классе групп изучались Б. И. Плоткиным, С. М. Вовси, L. Alshanskii, A. Kushkuley [5, 6]. Отметим работу Г. И. Машевицкого о проблемах конечного базиса для универсальных позитивных формул [13], которые эквивалентны D-тождествам.
Совокупности D-тождеств определяют классы алгебраических систем, в которых они выполняются. Мы получаем обобщение понятия обычного многообразия алгебраических систем. Такие клас-
сы алгебраических систем будем называть дизъюнктивными многообразиями (D-многообразиями).
Данная диссертационная работа посвящена разработке общей теории D-многообразий, что свидетельствует об актуальности темы диссертации.
Цель работы. Настоящая работа посвящена изучению D-многообразий полугрупп.
Методы исследования. Основной метод исследования основан на теореме 1.1.2, доказанной в диссертационной работе, которая является аналогом структурной теоремы Биркгофа для многообразий алгебраических систем.
Однако в некоторых случаях успешно применяется синтаксический метод, под которым подразумевается изучение D-многообразий по совокупности задающих их D-тождеств.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории полугрупп и в теории алгебраических систем. Результаты диссертации могут использоваться также при чтении спецкурсов в пединститутах и университетах.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е. С. Ляпина, на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп, на семинаре по теории полугрупп в ТГПН (г. Таганрог), на семинаре по теории полугрупп в РГПУ (г. Ростов-на-Дону), на международной геометрической школе-семинаре памяти Н. В. Ефимова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы, список которых приведен в конце автореферата.
Объем работы. Диссертация изложена на 84 страницах и состоит из введения и трех глав. Библиография насчитывает 50 наименовании работ отечественных и зарубежных авторов.