О подгруппах в группах крашеных кос и группах Артина конечного типа Добрынина, Ирина Васильевна

Введение к работе

Актуальность темы. Предметом математического изучения косы стали в 1925 г., после того как Э.Артин ввел в рассмотрение группу кос. Правда, впоследствии выяснилось, что близкие группы встречались ранее в работах Гурвица [34], Фрике и Клейна [33]. После работ Артила группы кос и их различные обобщения привлекли большое втгмание. В настоящее время библиография работ по косам содержит сотни наименований [15]. В основополагающих работах Артина [27], [28] косы определяются чисто геометрически и выступают как естественные и довольно наглядные объекты трехмерной топологии, сходные с узлами и зацеплениями.

Полученное впервые Артином [27] копредставление групп кос В_п+1

(<т_1з ..., ст„; ст^а^а,- = а,₊ісг,а,_ч1 (i = l/i-t), о,а_;. = 0,-0, (i,j = l,n, \i-J\ >1))

позволило сводить геометрические задачи к алгоритмическим проблемам теории групп. В частности, проблема эквивалентности геометрических кос равносильна проблеме тождества слов в группе кос Артина, а проблема эквивалентности замыканий геометрических кос равносильна проблеме сопряженности в В_я+1 (см. [27], [14]).

Проблема тождества слов в группе 5_л+1 была решена Артином в работах [27], [28].

Проблема сопряженности в группе кос В_п+1 была решена Г.С.Ма-каниным [18] и Гарсайдом [9], что явилось важным событием после работ Артина.

Центр группы кос В„-ц был найден Чжоу [31]: при (п+1) > 3 он совпадает с бесконечной циклической подгруппой группы кос B_n+i, порожденной элементом (с.^2 ...0„)^П+1.

Коммутанты В'_п+]_ групп кос В_п+1 были изучены Гориным и Лином

[11]-

В [27] Артин поставил вопрос об описании всех кос, коммутирующих в В_п+і с данной косой, то есть об описании централизатора данной косы в Дн-1- В 1971 г. Г.С.Маканин [19] доказал, что нормализатор любого элемента группы кос 5„₊₁ конечно порожден и указал алгоритм построения образующих этого нормализатора. Г.Гурзо [12], путем обобщения метода, описанного в [19], получила алгоритм для нахождения

образующих централизатора конечного множества элементов группы кос В_п+Х.

.Ядро естественного гомоморфизма группы кос В_п+і в симметрическую группу 6"„₊1, переводящего каждую образующую <т,- (i = l,n) группы _n+i в транспозицию (і, і + 1), называется группой крашеных косй„₊₁.

В.Бурау [30] доказал, что элементы

^SU = j-ij-2—^aui^e2i⁰M 7-2^y-i (!

порождают группу крашеных кос R_n+i и нашел систему определяющих соотношений этой группы. Э.Артин [28] доказал, что подгруппа (j +1) -чистых кос Uj из R„+i, порожденная элементами ^уч-ь ^s2,j+\, ^sj,/+i, является свободной, сами элементы Sij+i, s_2ijti, ... Sj у₊₁ - свободными образующими группы Ц, а всякая крашеная коса из R_n+l однозначно представима в виде произведения чистых кос

где Ej є Uj (/ = 1, п).

А.Г.Савушкина [24] описала центр группы крашеных кос R_n+i. Выяснилось, что он совпадает с центром группы 5_п+1.

В.Бардаков [2] доказал, что извлечение корней в группе крашеных кос однозначно, откуда следует, что в R_n+l только единичная коса сопряжена со своей обратной.

В 1972 г. Брискорн и Сайто [7] рассмотрели интересный класс групп, названный ими группами Артина. Группа Артина - это группа G, заданная копредставлением с системой образующих а,, / є / и соотношениями

а,- а_} щ ... = fly а, dj... , і, у є І ,

где слова, стоящие слева и справа, состоят каждое из m_t у чередующихся букв а,- и а-, при этом /и,- _у - элементы некоторой матрицы Коксетера М = (ту), i, j є Г, типа /. Так определенные группы являются естественным обобщением групп кос.

Добавляя к определяющим соотношениям группы Артина G еще соотношения а? — 1, і є І, получим копредставление группы Коксетера G. Таким образом, группа Коксетера естественно представляется как некоторая фактор-группа группы Артина. Из группы кос таким способом получается симметрическая группа, что, конечно, давно и хорошо известно.

Группы Коксетера, со времени их введения Коксетером в 1935 г., были подробно изучены. Обстоятельное изложение полученных результатов имеется у Бурбаки [8].

Усовершенствовав метод Гарсайда [9], Брискорн и Сайто [7] доказали разрешимость проблем тождества и сопряженности в группах Артина конечного типа, то есть в тех группах Артина, для которых соответствующие группы Коксетера конечны. Одновременно (и независимо) аналогичные результаты получил Делинь [32]. Кроме того, в [7], [32] описан центр груші Артина G конечного типа. Зинде [13] нашла и исследовала копредставление коммутантов в группах Артина конечного типа. В.Гринблат [10], используя результат Маканина [19], доказал алгоритмическую вычислимость нормализатора элемента в группах Артина конечного типа. Ю.Трубицын [26], используя [10], получил алгоритм построения образующих нормализатора конечного множества элементов в группах Артина конечного типа.

Исследования показывают, что группы Артина конечного типа по своим алгебраическим свойствам весьма похожи на группы кос В_п+1, и в этом смысле, возможно, являются более близкими их "родственниками", чем группы кос многообразий.

Методы исследования. В работе применяются комбинаторные методы.

Цель диссертационного исследования - продолжение изучения групп кос, крашеных кос и групп Артина конечного типа:

1. Решение обобщенной проблемы сопряженности слов в группах крашеных кос R„_+l.

2. Изучение проблемы сопряженности подгрупп в R„₊\.

3. Описание нормализаторов специальных классов подгрупп в группе крашеных кос R$.

4. Решение проблемы построения нормализатора конечно порожденной подполугруппы в группах Артина конечного типа.

Новизна результатов.

1. Решена обобщенная проблема сопряженности слов в Л_и+і-

2. Показана разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в группе крашеных кос i?₃ ^и неразрешимость этой проблемы для і?_л+1 (п > 4).

3. Доказано, что если две подгруппы из В_п сопряжены в В_р{р> п), то они сопряжены и в В„.

4. Установлена конечная порожденность нормализатора конечно порожденной подгруппы в прямом произведении двух свободных групп ранга 2 и описаны нормализаторы некоторых классов подгрупп из прямого произведения двух свободных групп ранга 2 в R₅.

5. Указан алгоритм для вычисления нормализатора конечно по
рожденной подполугруппы в группах Артина конечного типа.

6. Доказана конечная порожденность пересечения нормализаторов
конечного числа конечных множеств (конечно порожденных подполу
групп) в группах Артина конечного типа, указан алгоритм построения
образующих такого пересечения.

Все полученные результаты являются новыми.

Теоретическое и практическое значение. Работа имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение при исследовании различных вопросов теории групп.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

1) Х-й Всесоюзной конференции по математической логике (Алма-
Ата, 1990 г.);

2. Ш-й Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее применения" (Тула, 1996 г.);

3. алгебраическом семинаре А.Л.Шмелькина, АЛО.Ольшанского (МГУ, 1996 г.);

4. семинаре под руководством М.М.Лесохина (ЛГУ, 1991 г.);

5. Тульском городском семинаре по теории групп под руководством В.Н.Безверхнего (1991-1996 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в семи публикациях. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, девяти параграфов и списка литературы из 41 наименования. Диссертация содержит 70 страниц машинописного текста.