О носителях и числовых характеристиках почти нильпотентных многообразий линейных алгебр Панов Николай Петрович

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Один из подходов к изучению линейных алгебр заключается в описании выполняющихся в них полиномиальных тождественных соотношений. Класс всех линейных алгебр, удовлетворяющих фиксированному набору полиномиальных тождественных соотношений, называют многообразием. Активное изучение алгебр с полиномиальными тождествами (PI-алгебр) и их многообразий ведется в течение последних семидесяти лет. В работе¹, опубликованной в 1972 году, А. Регев в связи с изучением тождеств, выполняющихся в тензорном произведении ассоциативных PI-алгебр, определил количественную характеристику тождеств — последовательность коразмерностей. Для PI-алгебры А коразмерность с_п(А) — размерность пространства Р_п(А) = Р_п/(Р_п П Ы(А)), где Р_п — пространство всех полилинейных (необязательно ассоциативных) многочленов степени п от образующих х\,... ,х_п, Ы(А) — идеал тождеств алгебры А. Аналогичным образом определяется пространство P_ra(V) для многообразия V. В случае основного поля нулевой характеристики любое тождество эквивалентно некоторой системе полилинейных тождеств, поэтому метод А. Регева, заключающийся в определении числовых характеристик тождеств алгебр, стал одним из основных методов изучения РІ-алгебр над полем нулевой характеристики. В настоящее время числовые характеристики тождеств алгебр являются самостоятельным предметом исследований.

Так как действие симметрической группы перестановками индексов образующих задает на пространстве Р_п (над полем нулевой характеристики) структуру вполне приводимого левого модуля над групповым кольцом симметрической группы, и Id(A) является Т-идеалом, то к упомянутым числовым характеристикам также относят кратности гп\(А) в разложении кохарактеров Хп(А) = ^л^тА(^4)хл, и = 1,2,..., в суммы неприводимых характеров \\ ^и ко длины 1_п(А) = ^_Л т\(А), где Л — разбиение числа п, А — PI-алгебра. Значения кратностей представляют собой более тонкую, по сравнению со значениями коразмерностей, характеристику тождеств, поскольку с_п(А) = ^2_xm\(A)d\, где d\ — размерность неприводимого подмодуля модуля Р_п(А) в разложении в прямую сумму неприводимых.

Последовательность коразмерностей {c_ra(V)}_ra>i характеризует количество тождеств, выполняющихся в алгебрах многообразия V. Говорят, что её асимптотическое поведение определяет рост многообразия V. Естественным образом выделяют экспоненциальный, подэкспоненциальный (полиномиальный или промежуточный между полиномиальным и экспоненциальным) и сверхэкспоненциальный типы роста. Если рост многообразия V не выше экспоненциального, то существуют нижняя и верхняя экспоненты exp(V) = lira ^/c_ra(V), exp(V) = lim ycJ^V). В случае их совпа-

га—s-oo га—s-oo

¹Regev, A. Existence of identities in A (g> В / A. Regev // Israel journal of mathematics. — 1972. — Vol. 11, №2. - P. 131-152.

дения exp(V) = exp(V) = exp(V) говорят об экспоненте (PI-экспоненте) exp(V) многообразия V. В качестве иллюстрации к сказанному отметим, что в результате продолжительного исследования²'³'⁴'⁵'⁶'⁷'⁸'⁹ идеалов тождеств ассоциативных алгебр, в том числе, было установлено, что рост любого многообразия V ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики является либо полиномиальным, с_п(у) = qn^k+0(n^k~^l), q — рациональное число, к — целое число, либо экспоненциальным, c_ra(V) > 2^ra_1, причем соответствующая PI-экспонента существует и является неотрицательным целым числом. При этом рост многообразия V полиномиальный тогда и только тогда, когда алгебра Грассмана G и алгебра UT₂ верхнетреугольных матриц порядка 2 не принадлежат V.

Наименьшим из возможных типов роста характеризуются нильпотентные многообразия. Многообразие V нильпотентно, если c_ra(V) = 0, начиная с некоторого п. Ненильпотентное многообразие, все собственные подмногообразия которого являются нильпотентными, называют почти нильпотентным. Почти нильпотентные многообразия обладают свойством минимальности в указанном смысле, поэтому задача поиска и описания таких многообразий в различных классах алгебр представляет отдельный интерес. В общем случае данная задача видится неразрешимой, однако в ряде классов алгебр над полем нулевой характеристики было получено описание всех почти нильпотентных многообразий.

Известно, что в классе ассоциативных алгебр существует только одно почти ниль-потентное многообразие — многообразие ассоциативно-коммутативных алгебр. Очевидно, что все коразмерности данного многообразия равны единице. Также в классе алгебр Ли существует только одно почти нильпотентное многообразие — это многообразие А² всех метабелевых алгебр Ли. Числовые характеристики многообразия А² также хорошо известны¹⁰. В частности, известно равенство с_га(А²) = п — 1 для любого п > 2.

²Regev, A. Existence of identities in A (g> В / A. Regev // Israel journal of mathematics. — 1972. — Vol. 11, №2. - P. 131-152.

³Латышев, В. H. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр / В. Н. Латышев // Успехи математических наук. — 1972. — Т. 27, №4(166). — С. 213-214.

⁴Krakowski, D. The polynomial identities of the Grassmann algebra / D. Krakowski, A. Regev // Transactions of the American mathematical society. — 1973. — Vol. 181. — P. 429-438.

⁵Latyshev, V. N. Complexity of nonmatrix varieties of associative algebras. I / V. N. Latyshev // Algebra and logic. - 1977. - Vol. 16, №2. - P. 98-122.

^eKemer, A. R. T-ideals with power growth of the codimensions are Specht / A. R. Kemer // Siberian mathematical journal. - 1978. - Vol. 19, №1. - P. 37-48.

⁷Drensky, V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals / V. Drensky // Contemporary mathematics. — 1992. — Vol. 131.2. — P. 285-300.

⁸Giambruno, A. On codimension growth of finitely generated associative algebras / A. Giambruno, M. Zaicev // Advances in mathematics. — 1998. — Vol. 140, №2. — P. 145-155.

⁹Giambruno, A. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate / A. Giambruno, M. Zaicev // Advances in mathematics. — 1999. — Vol. 142, №2. — P. 221-243.

¹⁰Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли / Ю. А. Бахтурин. — М. : Наука, 1985. — 448 с.

Определены¹¹ все почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница. Их ровно два: А² и многообразие (обозначим его 2NL) алгебр Лейбница, удовлетворяющих тождеству x(yz) = 0. Отметим, что многообразие 2NL было подробно описано¹² ранее. В частности, установлены равенства c_ra(2NL) = п, п > 2.

Все почти нильпотентные многообразия алгебр с тождеством x(yz) = 0 были описаны только при условии ограниченности роста. Доказано¹³, что в данном классе алгебр существует ровно два почти нильпотентных многообразия подэкспоненциаль-ного роста. Первое — это многообразие 2NL, второе — подмногообразие всех алгебр, удовлетворяющих тождеству {xy)z = — {xz)y. Отметим, что все значения коразмерностей данных многообразий совпадают.

Незначительный рост может показаться естественным свойством почти нильпотентных многообразий. Однако в классе алгебр с тождеством x(yz) = 0 известно¹⁴ почти нильпотентное многообразие экспоненциального роста с экспонентой, равной двум. Носителем данного многообразия является бесконечномерная алгебра, которую обозначим А₂. Многообразию var(A₂) посвящены две работы¹⁴'¹⁵. По аналогии с многообразием var(A₂) для каждого т = 3,4,... было определено¹⁶ многообразие var(A_m), экспонента которого, как и экспонента любого ненильпотентного подмногообразия, равна т, и доказано, что в каждом многообразии var(A_m) найдется почти нильпотентное подмногообразие. Последнее утверждение основано на следующей теореме.

Теорема¹⁴. В любом ненильпотентном многообразии линейных алгебр найдется почти нильпотентное подмногообразие.

Позже похожим образом было установлено¹⁷ существование бесконечного множества почти нильпотентных многообразий с разными целыми экспонентами в классе коммутативных метабелевых алгебр.

Определение алгебры А₂ также стало идейной основой определения¹⁸ новой ал-

¹¹ Фролова, Ю. Ю. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница / Ю. Ю. Фролова, О. В. Шулежко // Прикладная дискретная математика. — 2015. — №2(28). — С. 30-36.

¹²Drensky, V. Varieties of metabelian Leibniz algebras / V. Drensky, G. M. P. Cattaneo // Journal of algebra and its applications. — 2002. — Vol. 1, №1. — P. 31-50.

¹³Mishchenko, S. On almost nilpotent varieties of subexponential growth / S. Mishchenko, A. Valenti // Journal of algebra. - 2015. - Vol. 423, №1. - P. 902-915.

¹⁴Mishchenko, S. An almost nilpotent variety of exponent 2 / S. Mishchenko, A. Valenti // Israel journal of mathematics. — 2014. — Vol. 199, №1. — P. 241-257.

¹⁵Шулежко, О. В. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два / О. В. Шулежко // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2014. - Т. 14, №3. - С. 316-320.

¹⁶Мищенко, СП. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты /СП. Мищенко, О. В. Шулежко // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2015. — № 2. - С. 53-57.

¹⁷Мищенко, С. П. О почти нильпотентных многообразиях в классе коммутативных метабелевых алгебр / С. П. Мищенко, О. В. Шулежко // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. — 2015. №3(125). — С. 21-28.

¹⁸Мищенко, С. П. Почти нильпотентные многообразия дробной экспоненты существуют / С. П. Мищенко // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 2016. — № 3. — С. 42-46.

гебры с тождеством x(yz) = 0, порождающей многообразие, верхняя и нижняя экспоненты которого (как и экспоненты любого его ненильпотентного подмногообразия) принадлежат интервалу (1, 2). И с помощью приведенной теоремы было доказано существование почти нильпотентного многообразия, верхняя и нижняя экспоненты которого не являются целыми числами.

В идейном плане примечательны определения¹⁹ факторалгебр однопорожденной метабелевой алгебры²⁰ \А. В алгебре \А все скобочные структуры в ненулевых мономах степени не меньше трех могут быть представлены с помощью композиций операторов левого и правого умножения на единственную образующую. Любая такая композиция операторов может быть естественным образом закодирована словом в алфавите из двух символов. Данная идея используется в определении множеств метабелевых алгебр с помощью двоичных бесконечных периодических слов и слов Штурма. Заданные алгебры порождают в случае бесконечных периодических слов счетное множество многообразий линейного роста, в случае слов Штурма — несчетное множество многообразий квадратичного роста. Таким образом, с помощью приведенной теоремы было доказано, что в классе метабелевых алгебр существует счетное множество почти нильпотентных многообразий, рост которых не выше линейного, и существует несчетное множество почти нильпотентных многообразий, рост которых не выше квадратичного. В результате дальнейшего исследования²¹ многообразий, заданных бесконечными периодическими словами, были получены их числовые характеристики и доказано, что они сами являются почти нильпотентными.

Некоторые результаты, касающиеся почти нильпотентных многообразий алгебр над полем нулевой характеристики можно найти в обзорной статье²² О. В. Шулежко.

Степень разработанности темы исследования. Направление исследований, связанное с изучением почти нильпотентных многообразий алгебр, является новым, и свойство почти нильпотентности многообразий мало изучено. Большинство результатов, полученных в данном направлении, представлено в течение последних десяти лет.

Так, в классе алгебр с тождеством x(yz) = 0 определены все почти нильпотент-ные многообразия подэкспоненциального роста. Но оставалась открытой аналогичная проблема определения многообразий в классах коммутативных метабелевых и антикоммутативных метабелевых алгебр.

¹⁹Mishchenko, S. P. An uncountable family of almost nilpotent varieties of polynomial growth / S. P. Mishchenko, A. Valenti // Journal of pure and applied algebra. — 2018. — Vol. 222, №7. — P. 1758-1764.

²⁰Мищенко, С. П. О многообразиях с тождествами однопорожденной свободной метабелевой алгебры / С. П. Мищенко, А. Б. Верёвкин // Чебышевский сборник. — 2016. — Т. 17, №2(58). — С. 21-55.

²¹ Мищенко, С. П. Бесконечные периодические слова и почти нильпотентные многообразия / С. П. Мищенко // Вестник Московского государственного университета. Серия 1. Математика. Механика. - 2017. - №4. - С. 62-66.

²²Шулежко, О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр / О. В. Шулежко // Чебышевский сборник. - 2015. - Т. 16, №1. - С. 67-88.

В классе алгебр, удовлетворяющих тождеству x(yz) = О, многообразия с целыми экспонентами, значения которых больше двух, мало изучены, в отличие от многообразия экспоненты два. Также оставался открытым вопрос о нильпотентности всех собственных подмногообразий данных многообразий.

В классе метабелевых алгебр известны характеристики почти нильпотентных многообразий, заданных бесконечными периодическими словами. При этом оставались неизвестными характеристики многообразий, заданных словами Штурма, в частности, был открытым вопрос об их почти нильпотентности.

Объект исследования. Объектом исследования являются почти нильпотентные многообразия алгебр над полем нулевой характеристики. Предмет исследования — носители и числовые характеристики почти нильпотентных многообразий.

Цель исследования. Основной целью исследования является изучение в случае основного поля нулевой характеристики почти нильпотентных многообразий различных типов роста.

Задачи исследования. Выполнить описание всех почти нильпотентных многообразий подэкспоненциального роста в классе коммутативных (антикоммутативных) метабелевых алгебр. В классе алгебр с тождеством x(yz) = 0 выполнить описание почти нильпотентных подмногообразий многообразий с разными целыми PI-экспонентами, большими двух. В классе метабелевых алгебр исследовать многообразия квадратичного роста, определенные на основе конструкции бесконечных слов Штурма; описать почти нильпотентные подмногообразия данных многообразий.

Научная новизна. Основные результаты исследования, касающиеся почти нильпотентных многообразий в различных классах алгебр над полем нулевой характеристики, являются новыми. В классах коммутативных метабелевых и антикоммутативных метабелевых алгебр доказано существование ровно двух почти нильпотентных многообразий подэкспоненциального роста. В классе алгебр, удовлетворяющих тождеству x(yz) = О, найдены и изучены носители, числовые характеристики и определяющие тождества почти нильпотентных многообразий со всевозможными целыми, большими двух, экспонентами. Определены числовые характеристики многообразий метабелевых алгебр, заданных с помощью конструкции слов Штурма. Доказано, что данные многообразия сами являются почти нильпотентными.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Представленные результаты могут быть полезны для специалистов в теории РІ-алгебр и включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, изучающих алгебры с полиномиальными тождествами.

Методология и методы исследования. Применяются комбинаторные методы, методы теории представлений симметрических групп, методы теории РІ-алгебр в случае поля нулевой характеристики.

Положения, выносимые на защиту.

1. Доказано существование в классе коммутативных (антикоммутативных) мета-белевых алгебр ровно двух почти нильпотентных многообразий подэкспонен-циального роста.

2. В классе алгебр, удовлетворяющих тождеству x(yz) = 0, найдены и изучены носители, числовые характеристики и определяющие тождества почти нильпотентных многообразий со всевозможными целыми, большими двух, экспонентами.

3. Предъявлено несчетное множество различных почти нильпотентных многообразий квадратичного роста, носители которых определены с помощью слов Штурма.

Степень достоверности. Достоверность обеспечивается корректностью применения методов исследования в доказательствах результатов.

Апробация результатов. Результаты диссертации представлены на следующих конференциях: 13-ой Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора С. С. Рышкова, Тула, 2015; International Russian-Chinese Conference "On Actual Problems of Applied Mathematics and Physics" and School for Young Scientists "Nonlocal Boundary Problems and Modern Problems of Algebra, Analysis and Informatics", Elbrus, Kabardino-Balkarian Republic, 2015; 14-ой Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной 70-летию со дня рождения Г. И. Архипова и С. М. Воронина, Саратов, 2016; Международной конференции "Мальцевские чтения", Новосибирск, 2017; Всероссийской конференции, посвященной 100-летию факультета математики и компьютерных наук Ивановского государственного университета, Иваново, 2018; Международной алгебраической конференции, посвященной 110-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша, Москва, 2018; Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Коробова Николая Михайловича, Тула, 2018.

Публикации. Результаты исследования представлены в 12 работах, из которых 5 опубликованы в журналах из перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Задача описания почти нильпотентных многообразий подэкспоненциального роста в классе коммутативных (антикоммутативных) мета-бел евых алгебр поставлена научным руководителем. Доля общего вклада автора в

решение данной задачи составляет не менее одной трети. Задача описания почти нильпотентных многообразий с разными целыми экспонентами в классе алгебр с тождеством x(yz) = 0 поставлена и решена автором. Задача описания заданных словами Штурма почти нильпотентных многообразий метабелевых алгебр поставлена научным руководителем. Доля вклада автора в решение данной задачи составляет не менее трех четвертей. Общая доля вклада автора в исследование составляет более двух третей.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав основной части, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Нумерация параграфов, формул, теорем и других утверждений выполняется в рамках главы, нумерация таблиц сквозная. Основная часть диссертации изложена на 90 страницах. Список литературы имеет 91 наименование.