Введение к работе
Актуальность темы.
Настоящая диссертация посвящена изучению комплексных редук-тнвных линейных групп G С GL(Y) со свободной алгеброй инвариантных полиномов - С[У]Сі Линейные группы G с таким свойством а также линейные представления, образ которых обладает этим свойством называются корегудярвьши. Интерес к корегулярным линейным группам происходит, в частности, из интереса к структуре ка-тегорных факторов V/G = SpecC[VjG редуктивных линейных групп, являющихся аффинными алгебраическими многообразиями,* ввиду теоремы Гильберта об инвариантах. Для корегулярных линейных групп категорный фактор изоморфен аффинному пространству Ап. В то же время, если исключить случаи, когда G - конечная группа или тор,, то оказывается, что среди линейных групп, для которых структура фактора может быть установлена, значительное большинство составляют именно корегулярные группы.
История изучения корегулярных групп насчитывает более 100 лет,
восходя к работам классиков теории инвариантов, исследовавших ин
варианты (конкомитанты, коварианты) конкретных групп, и в неко
торых случаях обнаруживших их корегулярность., Результаты этой
деятельности были использованы в данной работе. С;
Начало классификационному подходу в исследовании корегулярных групп было положено работой Шевалле ([7]), в которой был.устано-влено, что конечная линейная группа корегулярна тогда и только то-
[1] Кае V.G., Popov V.L., VJnberg Е.В. Sur les groupes algebriqnes, dont l'algebre des invariants est libre // Cr. Acad. sci. Paris -1976-283 ser.A--c.875-878.
[2] Адамович O.M., Головина E.O. Простые линейные группы, имеющие свободную алгебру инвйриаатов//Вопросы теории групп и гомол. алгебры. Ярославль, 1979 - с.3-41.
[3] Schwerz G.W. Representation of simple Lie groups with regular rings of invariants// Inv. Math. -1978-49-C.167-191.
[4] Винберг Э.Б., Попов ВЛ. Теория инвариантов// Итога иаухи-ЯТехники. ВИНИТИ. Соар. пробл. иатем. фундам. направл. - 1989 - т.55 - с.137-309.
[5] Патошев Д.И. О полупростых группах, допускающих конечное корегулярное расширение // Фун. анализ н его првдож. - 1993 - т.27 - вьга.3 - СІІ2-84.
[б] Винберг Э.Б., Окяшик АЛ. Семинар по группам Ли и алгебраическим груп
пам - М. Наука 1988 343 с. , ,
v
гда, когда она порождена отражениями.
Первыми примерами связных нерегулярных линейных групп, не исследованных классиками, следует, по-видимому, считать присоединенные группы редуктивных алгебраических групп, чья корегулярность была получена Шевалле (в тесной связи с приведенной выше теоремой) и группы изотропии симметрических пространств (Костант, Рал-лис). Начало классификационному подходу в теории связных корегу-лярных групп было положено в работой [1] З.Б.Вішберга, В.Г.Каца и В.Л.Попова, в которой была получена классификация неприводимых корегулярных представлений связных простых групп. Ответ был получен в виде списка. В работе было также доказано, что корегулярность редуктивной линейной группы влечет корегулярность слайс-представдений стабилизаторов всех полупростых точек. В сочетании с найденной там же оценкой на множество корегулярных линейных групп (вообще говоря, несвязных) с простой трехмерной алгеброй Ли это дало очень сильный и удобный метод доказательства некорегудяр-ности редуктивных линейных групп.
Вскоре почтя одновременно и независимо вышли работы Дж.Шварца ([3]) и О.М.Адамович и Е.О.Головинои ([2]), в которых был получен список приводимых корегулярных представлений связных простых групп. Следует отметить, что необходимая проверка некорегулярности линейных групп в обоих случаях выполнена в духе работы [1J, тогда как доказательство корегулярности потребовало исследования многих, ранее не рассматривавшихся случаев и разработки (особенно в работе [3]), новых методов.
Наконец, ІІЛиттельманном, в работе [8] было получен список неприводимых корегулярных представлении связных полупростых групп.
Дальнейшего развития классификационная работа для связных групп пока не получила, что связано, скорее всего, с необходимостью рассмотрения слишком большого количества случаев.
В классе бесконечных несвязных групп были "известны примеры ко-
[7] Chevalley С, Invariants of finite groups, generated by reflections, Amer.J.Math. -77-(1955),778-782.
(8] Littelmana P., Koregulare und aquidimensionale Darstellungen halbeiniacher Liegruppen, J.Algebra 123 - (1989),193-222..
[9] Nalcajima H. Representation of a reductive algebraic groups, whose algebra of .invariants are complete intersection//.), reine angew. math. - 1986 - 367. - c.115-138.
регулярных групп, однако классификационная работа в этом направлении до последнего времени не велась. Между тем уже при первом взгляде на предмет легко понять, что проблема для несвязных групп может быть разделена на две различные части. Имеется множество несвязных корегулярных групп G С GL(V) для которых связная компонента единицы G0 сама является корегулярнон. Это значит; что фактор V/lG изоморфен линейному пространству С" для некоторого п, причем действие на нем конечной группы G/G0 - линейное. Но существует естественный изоморфизм V/G = (V/G)/(G/G), и применяя теорему Шевалле (см. выше) получаем, что нерегулярность группы G равносильна порожденностя образа группы G/GP отражениями, при представлении последней в пространстве У/С0. Последнее условие нетрудно проверить для данной группы G0 и ее произвольного конечного
- расширения, если только известны образующие алгебры С[У]^. Таким образом, если в некотором классе редуктивных линейных групп
.- получена классификация связных корегулярных представителей, то в принципе нетрудно получить описание несвязных корегулярных групп G в этом классе с нерегулярной группой G0, единственный недостаток которого состоит в том, что для многих связных групп описание всех их конечных корегулярных расширений займет очень много места. Поэтому автор решил оставить пока эту часть задачи без рассмотрения, удовлетворившись идейной ясностью ситуации, и заняться рассмотрением второй возможности - несвязных-корегулярных групп с некорегулярной связной компонентой. Для этого автор ввел следующее определение:
Определение. Линейная алгебраическая группа G называется ква-зикорегулярной, если она допускает конечное корегулярное расширение; линейное представление называется квазикорегулярным, если таков его образ.
Теперь может быть сформулирована цель работы.
Цель диссертации. Цель диссертации заключается в исследовании квазикорегулярных и некорегулярных связных редуктивных линейных групп и их корегулярных конечных расширений.
Методы исследования. В работе используются методы геометрической теории инвариантов, теории представлений редуктивных групп и
классической теории инвариантов.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми п состоят в следующем:
-
Получен критерии корегулярностп несвязной подупростой группы G в терминах действия группы G(GP в касательном пространстве W к фактормногообразшо V/G" в точке - образе начала координат и естественного вложения V/G0 С W. \
-
В качестве следствий п.1, получены:
новое, более простое доказательство того, что фактор по действию связной квазикорегулярной полупростой линейной группы является полным пересечением, что было ранее доказано в [5] (напомним, что аффинное алгебраическое многообразие ХС А" размерности 's называется полным пересечением, если идеал 1(Х) порожден п— s элементами).
дополнительные условия, необходимые для существования конечного
нерегулярного расширения связной подупростой группы, полученного
с помощью циклической (соотв. абелевой и абелевой, централизующей
связную компоненту) конечной группы.. '-.. ;
3. Получен пример квазикорегулярной связной неполупростой ре-
дуктивной линейной группы, фактор по действию которой не является
полным пересечением.
4. Для любого представления ж группы G обозначим через С[;г] алгег
бру регулярных функций иа пространстве представления, и положим:
Ц*) = {9 Є N(z(G))\C{x]c С [*}<>}.
Группа /(я-) является некоторым расширением группы jt(G). Доказано, что почти для всех квазикорегулярных и некорегулярных представлении іг связной простой группы G это расширение тривиально. Для двух случаев, когда око нетривиально, оно найдено (см. теорему 0.2). Для произвольной] связной редуктивной группы G получено утверждение,' сводящее описание конечных корегулярных расширений группы p{G), где р = р++ра, представление ро тривиально, ар+ не содержит тривиальных компонент, к соответствующему вопросу для p+{G) и знанию группы 1{р+)-
о. Методы доказательства некорегудярности, полученные в [1] развиты до соответствующих методов доказательства неквазакорегуляр-
ности редуктивных линейных групп. Доказано, что для связной простой линейной группы G и ее представления р конечное корегуляр-ное расширение группы p{G), централизующее эту группу может быть получено с помощью операторов, действующих скалярно на каждой изотипной компоненте представления р ( в частности абелево ), если только (G, р) ф (Sin, Vi + 2v?i). В сочетании со вторым следствием пз п.2 это дало новый сильный.метод доказательства неквазикорегуляр-ности простых линейных групп.
6. Получен основной результат диссертации: список всех квазикоре-гулярных но не корегулярных представлений связных простых групп G за исключением трех линейных представлений, для образов которых вопрос о квазикорегулярности пока не решен. Для каждого представления р из списка найдены: группа 1(р), все конечные корегулярные расширения группы p{G), образующие алгебры C[p]G инвариантов группы G и соотношение между ними (единственное в каждом случае).
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть аспользованы в теории инвариантов линейных алгебраических групп.
Аппробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории инвариантов кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, а также на конференции по алгет . браической геометрии, имевшей место 14-28 августа 1994 года в Международном центре теоретической физики (I.C.T.P.) в г.Трнест (Италия).
Публикации. Полученные результаты опубликованы в трех работах автора, указанных в конце-автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти параграфов. Список литературы насчитывает 31 работу. Объем диссертации 72 страницы, включая 11 страниц таблиц и 1 страницу с рисунками.