Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Категория плоских структур Ходжа-Тейта 12
1.1 Категории Тейта 13
1.1.1 Связные алгебры Хопфа и категории Тейта 13
1.1.2 Связные алгебры Хопфа со связностью 15
1.1.3 Категории Тейта со связностью 16
1.2 Связность Гаусса-Манина на структурах Ходжа-Тейта 18
1.2.1 Категория структур Ходжа-Тейта 19
1.2.2 Плоские структуры Ходжа-Тейта 19
1.2.3 Таннакиева категория плоских структур Ходжа-Тейта 21
Глава 2. Операции из К-теорий Моравы 23
2.1 Ориентированные теории когомологий 23
2.2 Классы Черна ориентированных теорий 26
2.3 Операции, поли-операции и их производные
2.3.1 Производные операций 31
2.3.2 Внешние произведения операций
2.4 Мультипликативные операции 33
2.5 Операции из теорий рационального типа 34
2.5.1 Теорема Вишика для аддитивных операций 37
2.6 Операции из К-теории Ко 38
2.7 Некоторые следствия из теоремы Вишика
2.7.1 Центральность операций Адамса 40
2.7.2 Локализация неаддитивных операций
2.8 Типические формальные групповые законы 44
2.9 Определение К-теорий Моравы и их свойства 49
2.10 Операции из К-теорий Моравы в группы Чжоу 52
2.10.1 Одна алгебраическая лемма 53
2.10.2 Аддитивные операции из К(п) в группы Чжоу 57
2.10.3 Индуктивная конструкция классов Черна 62
2.10.4 Классы Черна свободно порождают операции
2.11 Теорема Римана-Роха 74
2.12 Фильтрация Черна на кольце операций 75
2.13 Классы Черна в типических теориях 78
2.14 Единственность п -ой К-теории Моравы 84
2.15 Гамма-фильтрация на К-теориях Моравы
2.15.1 Определения и свойства 88
2.15.2 Единственность гамма-фильтрации 92
2.16 Приложения операций из К-теории Моравы 93
2.16.1 Фильтрация на кольце Витта и К-теории Моравы 93
2.16.2 Гамма-фильтрация на расщепимой квадрике 97
Заключение 101
Список литературы
- Связность Гаусса-Манина на структурах Ходжа-Тейта
- Операции, поли-операции и их производные
- Типические формальные групповые законы
- Единственность гамма-фильтрации
Связность Гаусса-Манина на структурах Ходжа-Тейта
Приведём несколько примеров о.о.т.к. и когомологических теорий, не являющихся обобщёнными ориентированными теориями когомологиями в смысле определения выше. 1. Пусть - простое число. Тогда этальные когомологий t(—;QP) обла дают естественной структурой прямых образов (см. [23]), которая, однако, не удовлетворяет свойству локализации. Если = С - поле комплексных чисел, то же верно и в отношениии теории сингулярных когомологий І (—; ) для любой абелевой группы . 2. Функтор, сопоставляющий многообразию кольцо Чжоу , обладают обладают естественной структурой прямых образов (см. [5, с. 22]) и является о.о.т.к. (op. cit.). 3. Кольцо алгебраических классов по модулю алгебраической эквивалентности 1д наследует структуру прямых образов с кольца Чжоу (op.cit.). 4. К-теория векторных рассслоений 0 обладает естественной структурой прямых образов и является о.о.т.к. ([20, Пример 1.1.5]). 5Этот прямой предел существует, и, более того, совпадает с пределом по конечной диаграмме собственных отображений - см. [32, Предл. 7.7] 5. Алгебраические кобордизмы Левина-Мореля П являются универсальной о.о.т.к. ([20, Теорема 1.2.6]), т.е. для любой о.о.т.к. А существует единственный морфизм функторов П — А , согласованный со структурой прямых образов.
Многие о.о.т.к. являются градуированными, т.е. на коммутативном кольце значений для каждого многообразия существует градуировка, согласованная с морфизмами ограничений, а также согласованная с морфизмами прямых образом в определённом смысле. Например, группы Чжоу и алгебраические кобордизмы являются градуированными теориями.
Однако, К-теория Ко и К-теории Моравы, которые мы будем исследовать, не являются градуированными. Для единообразия обозначений, тем не менее, о.о.т.к. мы будем обозначать А , чтобы отличать их от соответствующих колец коэффициентов А = A (Speck) .
Замечание 2.1.4. Объекты, называемые обобщёнными ориентированными теориями когомологий, появляются также в алгебраической топологии ([7]) и мо-тивной теории гомотопий ([24, 3.5]). Не вдаваясь в детали определений этих объектов и категорий, к которым они принадлежат, обозначим взаимосвязь между ними и изучаемыми нами о.о.т.к.
Если А є Spc(k) - мотивный спектр, представляющий мотивную ориентированную теорию когомологий, то функтор X — L0[X Л S 2n n, А] обладает естественной структурой прямых образов и является о.о.т.к. в смысле определения 2.1.3.
Если і : к — С - вложение полей, то существует естественная конструкция (функтор на подходящей категории) г , сопоставляющая каждой мотивной ориентированной теории когомологий обобшённую ориентированную теорию комогологий в алгебраической топологии.
Классическая конструкция классов Черна векторных расслоений со значениями в группах Чжоу ([15]) может быть обобщена для значений в произвольной о.о.т.к. Мы суммируем основные свойства этой конструкции в следующей теореме.
Теорема 2.2.1 (См., например, [24, Теорема 3.3.3]). Пусть А - о.о.т.к. Тогда для векторного расслоения Е на гладком многообразии X можно определить элементы cf(E) є А (Х) для і 1 , называющиеся классами Черна Е . Элементы cf должны удовлетворять следующим свойствам и однозначно ими определяются: 1. если Е = O(D) - линейное расслоение, соответствующее гладкому дивизору і:Й4І, то cf(E) = г1д ; 2. для любого линейного расслоения L на X с нулевым сечением s : X — L верно, что cf(L) = s s 1x ; 3. классы Черна cf согласованы с пуллбэками, т.е. для любого отображения гладких многообразий / : X — Y и векторного расслоения Е на Y выполнено равенство cf(rE) = rcf(E); 4- для любой точной последовательности векторных расслоений 0 — Е — Е — Е" — 0 и любого натурального числа п 2 выполнена формула Картана: га—1 [(Е) = cf(E ) + cf(E") + cf(E)ctt(E"); Сп г=1 „At 5. если векторное расслоение Е имеет ранг п , то cf(E) = 0 при г п; 6. элементы cf(E) являются нильпотентами кольца А (Х) . Используя первые классы Черна cf с каждой о.о.т.к. А можно связать формальный групповой закон следующим образом. Теорема 2.2.2 ([20, Лемма 1.1.3]). Пусть А - о.о.т.к., обозначим А := A (Spec к) - кольцо её коэффициентов.
Операции, поли-операции и их производные
Общая идея конструкции классов Черна из К-теорий Моравы в группы Чжоу состоит в том, чтобы найти формулы, связывающие операции Q С характером Черна как операции в СН Q . В случае классических классов Черна из К0 в СН эти формулы выглядят так: (log(l + сш))п = (п - l)\chn, (2.11) 2 3 где ctot = С1+С2+С3+... , log(l+x) = ж+ - + " + - и индекс п обозначает п -ую компоненту градуировки. К сожалению, для конструируемых нами операций СІ : К{п) — СН Z(p) мы не можем явно предъявить аналогичные формулы, тем не менее мы строим операции так, чтобы такие формулы существовали.
Точнее говоря, мы строим классы Черна индуктивно, и г -ый класс Q определяется как сумма многочлена РІ от операций ci,...,Cj_i и аддитивной операции в г -ую группу Чжоу. Более того, многочлен РІ в действительности однозначно определён формулой Картана.
Заметим, что согласно следствию 2.10.8 компонента класса Черна chi является порождающей аддитивных операций в СНг Q , и поэтому такая индуктивная конструкция предполагает наличие формул аналогичных 2.11. Техническая сложность конструкции состоит в том, что Pi , вообще говоря, имеет рациональные коэффициенты, и поэтому такое определение Q при произвольном выборе аддитивной операции задаёт лишь операцию в СНг Q , а не в СНг Z(p) . Используя результаты раздела , мы можем показать, что существует способ подобрать аддитивную операцию в формуле для Q таким образом, чтобы СІ действовало целочисленно на произведениях проективных пространств. Тогда теорема Вишика 2.5.5 позволяет построить операции Q СО значениями в СНг Z(p) .
Прежде чем приступать к конструкции, сделаем одно замечание относительно формулы Картана. Поскольку область значений (ещё не построенной) операции ct0t является градуированной теорией, то формула Картана распадается в бесконечное число формул, каждая из которых соответствует одной градуировочной компоненте. Так, для градуировки г мы получаем, что производная операции СІ выражается как многочлен от операций ci,...,Cj_i . Например, для г = рп мы получаем Vті — 1 д1срп(х,у) :=срп(х + у)-срп(х)-срп(у) = Л ) (ci( ))4ci(?/))? " V j=1 \г/
Поскольку производная операции определяет её с точностью до аддитивной операции, то для того, чтобы для классов Черна Q была выполнена формула Картана необходимо, чтобы Q равнялся сумме "интеграла" от производной, т.е. некоторого многочлена Pi от операций с\,..., Q_I , и аддитивной операции.
Заметим, что многочлен РІ є Q[c\,..., Q-i] определённый в разделе согласно формуле Рі = Сі — 0-ёк(п) ctot)i, является "интегралом" Q , т.е. д1Рі = д1Сі , где производные в левой и правой части вычисляются в предположении выполненности формулы Картана для классов Черна. Действительно, согласно формуле Картана log ) ctot является аддитивной операцией, поэтому её производная равна нулю, а, значит, производные РІ и СІ совпадают по определению. Таким образом наши новые обозначения согласованы с указанными ранее. Построение классов Черна. Индукцией по г мы строим операции Q , удовлетворяющие свойствам і) и іі) теоремы 2.10.1 и следующему свойству: iiibis) образующая фі аддитивных операций из К(п) в СНг Z(p) выражается как р -целочисленный многочлен от операций с\,..., СІ . База индукции. Для 1 г рп — 1 определим Q как какую-то образующую одномерного Z(p) -модуля [Х(?г) , СЯг Z(p)]a M . Согласно Предложению 2.10.8 свойство і) для Q выполнено. Поскольку ф.г.з. FK(n (x,y) не имеет слагаемых а у-7 при 1 г + j рп , то формула Картана для операции Q утверждает, что эта операция аддитивна при 1 г рп — 1 (другими словами, в обозначениях выше Pj = 0 ). Таким образом свойство іі) также выполнено, а свойство iiibis) выполнено по определению. Шаг индукции. Пусть г рп — 1 и предположим, что операции Сі, с2,... Cj_i , удовлетворяющие і) и іі), построены. В частности, это означает, что производные операции с,- при j г мы можем вычислять как многочлены от операций Cfc , k j . Лемма 2.10.12. Пусть ЦІ = max(0, — up(Pi)) . Тогда существует аддитивная операция фі , являющаяся порождающей модуля [К(п) ,СНі %(p)]add , т.ч. операция СІ : К(п) - СН 1 Q ; определяемая формулой Ci = P(Cl, Cj-i) Н — действует р -целочисленно на произведениях проективных пространств. Благодаря теореме 2.5.5, операция Q , определяемая в этой лемме, может быть поднята единственным образом до операции в СНг Z(p) .
Заметим также, что операция РДсі,..., CJ_I+ ) для любой аддитивной операции 0j , имеет производную равную д1Сі (здесь имеется в виду многочлен от операций С\,... ,СІ , определяемый формулой Картана). Таким образом, операция СІ , определяемая с помощью леммы выше, удовлетворяет формуле Картана. А, согласно теореме 2.5.5, и её р -целочисленное поднятие также будет удовлетворять формуле Картана. Докажем, что операция Q , существование которой следует из Леммы 2.10.12, также удовлетворяет свойствам і) и iiibis).
Выберем j / г mod рп — 1 . Тогда согласно Лемме 2.10.3 многочлен Pi равен нулю, если положить переменные cs равными нулю при s = j ф і mod (рп — 1) . Значит, по предположению индукции операция Р , будучи ограниченной на К(пУ , зануляется. Согласно следствию 2.10.8 аддитивная операция -&Т также имеет носителем К(п)г , а, значит, свойство і) для операции Q выполнено.
Свойство iiibis) выполнено согласно рассуждениям в разделе . Докажем теперь Лемму 2.10.12. Для начала нам понадобится следующее утверждение. Лемма 2.10.13. Предположим, что для некоторых ц 0 , а Є Q операция р Рг + афг действует р -целочисленно на произведениях проективных пространств, а, следовательно, согласно Теореме 2.5.5, определяет операцию тт:К(п) - СН1Ъ{р) . Тогда ж пропорциональна операции фі по модулю р , где фі - образующая аддитивных операций в СНг Z(p) . Доказательство. Доказательство состоит из трёх шагов. 1. Операция 7г mod р является аддитивной. Действительно, д1п = р д1Рі . Однако, д1Рі = д1Сг - р -целочисленный многочлен от операций Сі,..., Ci-i , а, значит, по предположению индукции задающий р -целочисленную операцию. Поскольку ц 0 , то д1ж = 0 mod р . 2. Операция 7г является градуируемой. По построению операции с,- удовлетворяют формуле в лемме 2.10.12. Заметим, что произведение градуируемых операций в количестве, сравнимом с 1 по модулю рп — 1 , также является градуируемой операцией. Кроме того, сумма градуируемых операций также градуируема. Поскольку многочлен Pj является слагаемым в градиуруемом ряду log ,- (ctot) , то в него входят только мономы, имеющие степень, сравнимую с 1 по модулю рп — 1 . Аддитивная операция является градуируемой согласно следствию 2.10.8.
Типические формальные групповые законы
Проведём конструкцию операций Q ПО индукции. База индукции. Возьмём в качестве Q образующую аддитивных операций фі для і : 1 і рп - 1 . Шаг индукции. Предположим, что операции с\,..., Q_I построены и удовлетворяют свойствам Предложения. Будем определять операцию Q как сумму многочлена от операций ci,...,Cj_i и аддитивной операции, леж;ащей в г -ом члене фильтрации Черна. Как обычно, обозначим Д := Q - ( ogK (ci + с2 + ...) Є Q[ci,..., Q_I] , /ІІ = max(0, -ир(Р{)) . По предполож;ению индукции операция, определяемая многочленом Pi от операций Cj , j і , лежит в г -ом члене фильтрации Черна. Более того, из Определения Обрезания ОЧеВИДНО, ЧТО tTiPi(Ci, . . . , Cj_i) = Pi(triCi, . . . , trj_iCj_i) = РІ(С\Н, cfJ{) Из Предложения 2.13.1 следует, что существует аддитивная операция фі , т.ч. её обрезание ЇТіфі равно аддитивной образующей операций в СНг Z(p) , определённой по формуле рМі(сря - Pi(cfH,... ,с [)) . Тогда операция Pi + р фі является операцией в ВР{п} Q , лежащей в г -ом члене фильтрации Черна и т.ч. её г -ое обрезание равно cfH . Дадим набросок доказательства конструкции операции фі в Предложении 2.13.1, т.ч. существует ЬІ Є Q , т.ч. для ф% = ф% + J2j ibi4 i операция РІ + р фі является целочисленной.
Предположим, что мы нашли числа &г+ъ г+fc Е Q ; т-4- операция Рі-\-р фі действует целочисленно на произведениях проективных пространств вплоть до (і + к) -ого члена фильтрации и знаменатели в этом члене фильтрации не более, чем pN . Ясно, что операция pN (РІ + р фі) является целочисленной вплоть до (і + к) -го члена фильтрации и таким образом, можно посмотреть на её редукцию по модулю р, Ft+k . Поскольку операция РІ цело-численна, эта редукция будет градуируемой целочисленной операцией, которая может быть приближена с помощью фі к Уменьшая число N , мы таким образом находим 6i+fc .
Ясно, что операция Рі+р фі лежит в і -ом члене фильтрации Черна, поэтому можно определить СІ равной ей и шаг индукции завершён. Формула Картана выполнена по определению многочленов РІ . А по скольку многочлен РІ имеет степень і (вычисляемой с учётом степеней клас сов Черна), то по индукции эта операция принимает значение в ВР{п}г , а, следовательно, и операция Q . Предложение 2.13.4. Пусть А - рп -типическая теория, т.ч. А является свободным Z(p) -модулем. Тогда все операции из К(п) в А единственным образом выражаются как ряды от классов Черна, т. е. [К(п) ,А ] = А[[Сі,...,сг,...]]. Более того, аналогичное утверждение верно для поли-операций. Доказательство. Поскольку предпучок абелевых групп СН А изоморфен прямой сумме предпучков СН Z(p) , то ясно, что А -модуль операций [К(п) ,СН 0 А] изоморфен А [К(п)\ СН Z(p)] . Из Предложения 2.7.4 следует, что последний модуль свободно порож ден многочленами степени і от классов Черна, которые согласно конструкции классов Черна в А являются і -ыми обрезаниями многочленов от операций СІ степени і . Утверждение теперь следует из Предложения 2.12.4. 2.14 Единственность п -ой К-теории Моравы
В разделе для каждого простого числа р и каждого натурального п мы определили свободную теорию Левина-Мореля К(п) , называющуюся п -ой К-теорией Моравы. Естественный вопрос состоит в том, являются ли эти теории различными как предпучки колец и как предпучки абелевых групп.
Несложно проверить, что сущствуют рп -типический формальные групповые законы над Z(p) высоты п , не являющиеся изоморфными. Следовательно, между соответствующими им п -ыми К-теориями Моравы не существует обратимой мультипликативной операции, т.е. они различны как функторы из категории гладких многообразий в категорию колец.
Цель этого раздела доказать, что между любыми двумя п -ыми К-теориями Моравы существует обратимая аддитивная операция. Кажется, что для этой операции нет канонического выбора, а потому мы не можем утверждать, что существует некоторая единственная (каноническая) п -ая К-теория Моравы, являющаяся предпучком абелевых групп на категории гладких многообразий.
Предложение 2.14.1. Пусть фі : К(п) — К(п) - порождающие аддитивных эндоопераций п -ой К-теории Моравы, т.ч. фі лежит в і -ом члене фильтрации Черна. Тогда аддитивная эндо-операция ф := а,іфі является обратимой, если и только если щ Є 1 \ для 1 і рп — 1 . Доказательство. Обозначим через (Зі,Ьгк коэффициенты в разложении операции ф2 по порождающим фі : ф2 = /Зіфі + J2k i КФк Ключевым наблюдением для доказательства будет следующая Лемма 2.14.2. /З» Є Z?\ для і рп , и (ЗІ Є рЩр) для і рп . Доказательство леммы. Во-первых, выразим числа [ЗІ через ряды Gi , задающие аддитивную операцию согласно разделу . Очевидно, что операция ф2 лежит в г -ом члене фильтрации Черна, и таким образом представляется как линейная комбинация операций ф с j і . Ряд Gi , соответствующий операции фі , равен fcz1 Zj+слагаемые высших порядков , а для операции ф ряд Gi имеет степень не менее, чем j . Таким образом, для операции ф2 ряд Gi равен ft2z1Zi с точностью до слагаемых высших степеней, откуда очевидно, что операция ф2 — /Зіфі лежит в (г + 1) -ом члене фильтрации Черна, а, значит, является линейной комбинацией операций ф с j і . Напомним, что обрезания порождающих аддитивных операций из К(п) в ВР{п} являются порождающими аддитивных операций в СН Z(p) , и то же верно для их композициии К(п) — ВР{п} — К(п) . Следовательно, нам достаточно показать, что для порождающей аддитивных операций К(п) — CHl(B)Z(p) СООТВеТСТВуЮЩИЙ МНОГОЧЛеН Gi Имеет ВИД /3jZ1 Zi , где /ЗІ является обратимым числом в Z(p) тогда и только тогда, когда г рп . Из рассуждений выше и этого утверждения также будет следовать, что утверждение Леммы не зависит от выбора порождающих фі .
Единственность гамма-фильтрации
Предложение 2.16.4 (Семёнов, [29, Предл. 6.14]). Пусть q - невырожденная квадратичная форма, т.ч. её класс в кольце Витта лежит в 1п+2 , обозначим через Q соответствующую квадрику, через Q = Q Хр F - расширение скаляров.
Тогда естественное отображение ограничения относительно расширения скаляров K(m) (Q) — K(m) ( ) является изоморфизмом для 1 т п .
Набросок доказательства. Доказательство состоит в сведении случая произвольной квадратичной формы q к случаю квадратичной формы Пфистера.
Для квадрик Пфистера алгебраические кобордизмы были вычислены А. Вишиком и Н. Ягитой в [34], а именно ими было показано, что отображение ограничения ас : BP (Q) — BP ( ) является вложением, а также вычислен его образ. Поскольку кольцо BP ( ) является полиномиальной алгеброй над ВР , то образ ас равен прямой сумме некоторых явно описываемых идеалов в ВР , откуда следует утверждение Предложения для квадрик Пфистера относительно факторизации отображения ас для подходящих К-теорий Моравы.
Как следует из доказательства Теоремы 2.10 [35] для любого класса ани зотропной квадрики в 1п+2 существует конечная башня расширений поля ми функций произведений квадрик Пфистера из 1п+2 , т.ч. после расширения класс квадратичной формы в кольце Витта становится равен классу анизотроп ной квадрики Пфистера. Остаётся только доказать, что отображения ограниче ния на К-теориях Моравы при расширениях коэффициентов относительно та ких полей являются изоморфизмами. Ключевым для этого является свойство локализации К-теорий Моравы и уже доказанное утверждение для квадрик Пфистера. Замечание 2.16.5. Несмотря на то, что Семёнов использовал п -ую К-теорию Моравы с конкретным (единственным для даннного р и п ) формальным групповым законом, из Теоремы 2.14.3 следует, что это утверждение верно для всех К-теорий Моравы определённых в этой работе. Следствие 2.16.6. Отображение расширения скаляров задаёт изоморфизмы для і 0 : gr]K(ny(Q) gr]K(n) (Q). Существуют сюрьективные отображения абелевых групп grjK{ny{Q) CW{Q)Z{2)) для 1 і 2п . Доказательство. Изоморфизмы следуют из функториальности гамма-фильтрации. Сюрьективные отображения являются композициями обратных к ука занным изоморфизмам и классов Черна (см. Предложение 2.15.2). Данное следствие вместе с сюрьективностью "малых" классов Черна позволяет строить оценки на группы Чжоу CH%(Q) S Z(2) указанных квадрик для г 2п . А именно, эти оценки получаются с помощью вычисления присоединённых факторов гамма-фильтрации полностью расщеплённой квадрики Q , проделанных в следующем разделе.
Обозначим через Q расщепимую квадрику размерности 2d , и пусть d 2ra+1 — 1 . Согласно Главной Теореме Арасона-Пфистера анизотропные квадрики, классы которых лежат в 1п+2 , имеют размерность не менее 2га+2 — 2 , поэтому этого предположения о размерности будет достаточно для приложений. Обозначим через г : Fd — Q вложение максимального линейного подпространства в квадрику. Предложение 2.16.7. Имеется точная последовательность абелевых групп: О -+ ЄІОЗДІ K(n) (Q) Z(2)[tf]/(tfd+1) -). О, в которой отображение ж является морфизмом колец. Доказательство. Пусть (У, q) - расщепимое векторное пространство размерности 2d + 2 с квадратичной формой q . Обозначим через W какое-нибудь векторное подпространство в V размерности d+І равное своему ортогональному дополнению.
Билинейное отображение, индуцированное квадратичной формой, задаёт линейное отображение V — W , ядром которого является W . Проективиза-ция этого линейного отображения задаёт морфизм F(V) \ F(W) — F(W ) , слои которого являются торсором над (тривиальным) векторным расслоением W над P(W ) . Ограничение торсора на квадрику Q С F(V) без линейного подпространства P(W) является торсором над векторным расслоением К , слой которого над прямой ф є W равен Кегф .
Из аксиомы гомотопической инвариантности для о.о.т.к. следует, что отображение р : K(n) (Q \ F(W) — K(n) {F(W )) является изоморфизмом. Из аксиомы локализации получаем существование следующей точной справа последовательности: 0t„Z(2) » K{n)\Q) Z{2)[H]/(Hd+l) -». О, где г : (W) — Q , 7г - композиция ограничения на Q\ F(W) и изомор физма (р )-1 . Для того, чтобы доказать, что отображение слева инъективно достаточно оценить ранг K(n) (Q) , который может быть вычислен рациональ но. Поскольку характер Черна устанавливает изоморфизм K(n) (Q) Q — CH (Q) Q , то из классических результатов о размерности CH (Q) Q сле дует, что dim Q К(п) (Q) Q = 2d + 2 . Инъективность отображения доказа на.
Отображение 7г Предложения 2.16.7 индуцирует сюрьективные отображения абелевых групп gr]K(n) (Q) — gr]K(n) (Fd) . Поскольку на абелевой группе K(n) (Fd) гамма-фильтрация совпадает с топологической, то легко видеть, что абелевы группы gr]K(n) (Fd) равны Z(2) для 1 г d и равны О для г d . Нас будут интересовать группы дг]К(п) при г 2п d , по-рождающей свободной части которых является Нг , а кручение сосредоточено в группе gr]K(n) (Q) П Im г .
Введём обозначение У = yK(n) (Q) для г 1 , d = d0 mod 2ті — 1 , где 1 do 2n—1 . Заметим, что из свойства 4 Предложения 2.15.2 следует, что ld-j Є 7 - i - -) mod 2" 1 , где число (d — j) mod 2n — 1 лежит в отрезке [l;2ra —1] . Будем называть число к допустимым для lj , если j — к(2п — 1) 1 . Предложение 2.16.8. Пусть d = 1 mod 2п — 1 . Тогда Id Є 72 , 22"/d є 72" _1 u ld-k(2n-i) Є 72" _1 лл допустимых к 1 . Также ld-j Є і -? +2П_1 для j d . Таким образом, Tors gr = 0 при 1 г 2га — 1 7 и Tors gr2 является фактором группы Z/22 . Доказательство. Во-первых, докажем, что ld-k(2-i) Є 72 Для всех допустимых к 0 . Для этого достаточно использовать операцию С2" . Действительно, согласно Лемме 2.15.3 и Теореме Римана-Роха 2.11.1 C2"(ld-k(2"-l) ) = С2«(І (Н )) = І (Н + . . .) = ld-k(2"-l) + / ,fijh-j(2n-l) j k для некоторых j3j Є Z(p) (зависящих от fc ). Тогда по индукции, начиная с допустимого ld-k(2n-i) с наибольшим А; , получаем утверждение. Во-вторых, /f2n+fc(2n-1) . id g 2" -1 дЛЯ к 0 , поскольку ld Є 72" Отсюда получаем, что Id-k +i) Є 72" _1 Для допустимых к 1 .