О некоторых арифметических задачах, связанных с героновыми треугольниками Кожегельдинов, Сагдулла Шаяхметович

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Рассматриваются задача Герона и некоторые арифметические задачи, связанные с ней.

Задача Герона является классической. В ней требуется найти все треугольники, у каждого из которых стороны и площадь выражаются натуральными числами. Такие треугольники называются героновъши треугольниками. Геронов треугольник (ГТ) (х, у, z; S), где x,y,z - стороны, S - площадь, называется основным, если (x,y,z) = 1, т.е. если x.,y,z - взаимно простые числа.

Далее, разумеется, знание прямоугольного рационального треугольника определяет пифагоров треугольник и, наоборот, знание пифагорова треугольника определяет прямоугольный рациональный треугольник. Тем не менее, известно, какое значение имеет отыскание основных пифагоровых треугольников [3 - 6]. Поэтому, хотя знание рационального треугольника определяет геронов треугольник и, наоборот, знание геронова треугольника определяет рациональный треугольник, вполне естественной является постановка и решение следующей задачи.

Постановка задачи. Пусть {{x,y,z;S)\ (x,y,z) — 1} или, более подробно, пусть

{(х, у, z; S)\ x,y,z,S 6N,(i,!/,z) = 1, x -

множество всех основных ГТ. Требуется найти общую формулу, описывающую все эти треугольники. При этом ставится задача, чтобы число целых параметров, входящих в общую формулу всех основных ГТ, не превышало четырех.

В дальнейшем, если нет специальной оговорки, то краткая история вопроса излагается в соответствии с [1].

Отысканием рациональных треугольников занимались Герон и многие другие математики. Но наибольший интерес представляет работа, Эйлера.

Л. Эйлер заметил, что в любом треугольнике с рациональными сторонами а, Ь,си рациональной площадью выполняется следующее соотношение:

{ps±qr)(pr^qs) р² + д² г² + s²

а : о : с= . , (¹)

pqrs pq - rs

при этом каждая пара сторон образует отношение двух чисел

а² + Ъ² аЬ

поскольку

. г² + S² х² + у²

а : о = : ,

rs ху

если х — ps±qr, у = pr^f qs, откуда х² -f у² = (р² + 2)(»"² + s²).

Часть работы Эйлера, в которой содержится его вывод соотношения (1), утеряна. Вероятно, что Эйлер использовал метод Баше совмещения двух прямоугольных треугольников, используя треугольники со сторонами

Р² + д² p²-q². ₀ r² + s² r²-s²
pq pq rs rs

и получая соотношение (1) с верхним или нижним вариантами знаков в зависимости от того, накладываются друг на друга или нет компоненты этих треугольников. (Опубликовано в 1849 г.).

Брахмагупта (род. в 598 г. н.э.) заметил, что для любых рациональных чисел а, b и с величины

КН'КН -кн⁺кн.

являются длинами сторон косоугольного треугольника (высоты и площадь которого рациональны и который образован из двух прямоугольных треугольников с общей стороной а).

С. Курциус сформулировал следующую задачу: три стрелка из лука А, Б и С стоят на одинаковых расстояниях от попугая, при этом расстояние между стрелками В и С составляет 66 футов, расстояние между В и А - 50 футов, а расстояние между А и С - 104 фута; если попугай поднимется на 156 футов над землей, то на каком расстоянии должны стоять лучники для того, чтобы поразить попугая? Он заметил, что лучники стоят в вершинах треугольника, у которого радиус описанной окружности равен 65 футам, при этом попугай расположен в 156 футах над центром описанной окружности. Поскольку 65² + 156² = 169²,

то каждый стрелок располагается от попугая на расстоянии, равном 169 футов. Оказалось достаточно затруднительным объяснить, почему радиус оказался целым числом. (Опубликовано в 1617 г.).

К.Ф. Гаусс, внимание которого к задаче Курциуса было привлечено Шумахером, сформулировал утверждение, что стороны любого такого треугольника, что каждая сторона и радиус г описанной окружности являются целыми числами, имеют вид:

4abfg(a² + Ь% ±4ab(f + g)(a²f - b²g), 4ab(a²f~ + b²g²),

где a, b, /,g — положительные целые числа, a r = (a² + 6²) (a²/² + b²g²). Значения, полученные Курциусом, можно получить, если в качестве a,b,f,g взять а = д = 1, b — 2, / = 10 и всюду удалить общий множитель 8. (Опубликовано в 1863 г., письмо от 21 октября 1847 г.). Формула Гаусса была выведена многими авторами: Гретшель, Розенбергер, Фюрстенан, Шрадер и другие.

В.М. Брадис, А.Ф. Сычиков [2] утверждают, что задача Герона далека от полного разрешения.

О. Оре [3] утверждает, что хотя известно значительное число ГТ, не существует общей формулы, описывающей все эти треугольники.

В. Литцманн [4] получает ГТ с помощью пифагоровых треугольников. При этом получает не стороны ГТ, а их отношения.

В. Серпинский [5] доказал, что любой рациональный треугольник может быть получен путем соединения двух прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, кроме того, показал, что не каждый ГТ получается соединением двух пифагоровых треугольников.

Уже это обуславливает актуальность темы настоящего исследования.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в параметризации всех героновых треугольников со взамно простыми сторонами и исследовании диофанто-вых уравнений, связанных с такими треугольниками.

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются арифметические функции, введенные автором, на роль которых в данной работе обратил внимание С. М. Воронин.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы заключается в том, что в ней впервые рассматриваются:

1. шесть общих формул всех основных (а следовательно и всех ) ГТ, полученных с помощью арифметических функций, и эквивалентность этих формул;

2. формулы полупериметров основных ГТ;

3. новые множества, возникшие в связи с отысканием всех основных ГТ, и равенства соответствущих множеств;

4. общая формула всех основных пифагоровых треугольников со сторонами x,y,z и площадью S (x,y,z — равноправны);

5. формулы основных ГТ, длины сторон каждого из которых составляют арифметическую прогрессию;

6. формулы основных равнобедренных ГТ;

7. новые диофантовы уравнения, связанные с общими формулами всех основных ГТ, и их эквивалентность;

8. наибольшая и наименьшая стороны любого основного ГТ;

9. парамеризация бесконечного множества основных ГТ, у каждого из которых площадь выражается квадратом натурального числа;

10. леммы о делимости на 3 длин сторон;

11. бесконечность множества основных ГТ, у которых ни одна сторона не делится на 3;

12. формулы, связанные с общими формулами всех ГТ, и их эквивалентность;

13. Эквивалентные формулы, каждая из которых представляет собой параметризацию всех решений задачи Курциуса.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных диофанто-вым уравнениям, а таюкс при разработке и чтении спецкурсов в вузах и при проведении внеклассных и внеаудиторных занятий с учащимися старших классов средней школы и со студентами.

ПУБЛИКАЦИИ. По результатам выполненных исследований имеется 13 публикаций, список которых приложен в конце автореферата. Все работы написаны автором самостоятельно. В работах [9 - 13] со-

автору принадлежат лишь блок-схемы нахождения Н.О.Д. и приложения: программа на языке БЭЙСИК.

АППРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты работы докладывались на Республиканской конференции по проблемам вычислительной математики и автоматизации научных исследований (Алма -Ата, 1988), на Всесоюзной школе "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" (Минск, 1989), на Республиканской научно - теоретической конференции "Теория чисел и ее приложения" (Ташкент, 1990), на Межвузовской научно - практической конференции "Абайские чтения" (Семипалатинск, 1991), на научно - исследовательских семинарах кафедры теории чисел и кафедры алгебры МГПИ им. В. И. Ленина в 1989 и в 1990 годах, кафедры теории чисел и кафедры математического анализа МГУ им. М. В. Ломоносова в 1989, 1990, 1992 и 1993 годах.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация изложена на 107 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, разбитых на 14 параграфов, и библиографии, содержащей 41 наименование.