Введение к работе
Предмет исследования. Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел. Здесь оценивается сверху величина наименьшего натурального числа N, представимого в виде
а(р) + Ъ(п) = N,
где N находится в арифметической прогрессии Dx + I, х = 0,1,..., и функция а(р) является многочленом, аргумент которого последовательные простые или натуральные числа с условием р < N, а функция Ь(п) равна либо [an*], где а — вещественное иррациональное число и к — натуральное число; либо b(q) = [<ЗД], при тех же самых условиях на числа а и q < N пробегает последовательные простые числа, кроме того, получена оценка длины короткого промежутка в окрестности числа N такого, что внутрь его попадает обобщенное гольдбахово число
p+[aq).
Эти задачи можно рассматривать как тернарные аддитивные проблемы теории чисел, возможность решения которых с помощью метода тригонометрических сумм была открыта И.М.Виноградовым1.
Актуальность темы. Бинарные аддитивные задачи с простыми числами, т.е. задачи о базисных свойствах последовательности простых чисел или некоторых арифметических функций на этой последовательности ранга 2 постоянно привлекают внимание многих математиков, в особенности после работ по методам решета и теории тригонометрических сумм В. Вруна, И. М. Виноградова,2 А. Куна, А. Сельберга, Ю. В. Линника,3 А. Реньи, Э. Бомбьери, А. И. Виноградова, Чень Джин-рун,4 А. А. Карацубы,5 Г. И. Архипова, К. Буриева,
'Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел. Изв. ДАН СССР, 1937 Т.15, с. 291-294
Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М. Наука, 1980
3Линник Ю. В. Избранные труды Л. наука, 1980
4 Chen Jing-um On the divisor problem for <*з(п). Sci. Sinica 1965 v. 14 p. 19-29
"Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел М. Наука, 1983
В. Н. Чубарикова,6 3. X. Рахмонова,7 О. В. Попова,8 и др. Исследования этих авторов дали возможность изучать распределение обобщенных чисел Гольдбаха и Харди - Литтлвуда в арифметических последовательностях. В частности, ряд авторов получили оценки наименьших чисел Гольдбаха в арифметических прогрессиях при различных условиях и предположениях: Ю. В. Линник,3 К. Прахар,9 Ю. Ванг,10 М. Ютила,11 3. X. Рахмонов7 и др. В настоящей работе мы продолжаем их исследования.
Цель исследования. Оценки сверху для наименьших обобщенных чисел Харди - Литтлвуда и Гольдбаха в арифметических прогрессиях, а также получиние оценки сверху длины интервала , в котором находится хотя бы одно обобщенное число Гольдбаха.
Общая методика исследования. В диссертации используютя методы аналитической терии чисел, метод тригонометрических сумм, и теории диофантовых приближений.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика исследования могут быть использованы в различных задачах аналитической теории чисел, связанных с оценками тригонометрических сумм, в частности, по простым числам.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством профессора А. А. Карацубы, и на семинарах под руководством профессороф Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова в 1998-2000 г.
6Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н. О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами Труды мат. инст. им. В.А. Стеклова 1997 Т.218 с. 28-57
7Рахмонов 3. X. Распределение значении характеров Дирихле Диссертация на соиск. ... канд. физ. - матем. наук МГУ. 1985, с. 1-78
8Попов О. В. Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени Диссертация на соиск. ... канд. физ. - матем. наук МГУ 1995
9Prachar К. uber die anwendung einer metode van Linnik, acta arith. 1976, v. 29 p. 367-376
10Wang Y. On Linnik method concerning the Goldbach's number, Sci - Sinica, 1977, v. 20 p. 16-30
!IJutila M. On the last Goldbach's number in an arithmetical progression with a prime difference, annales universitatis turkuensis, 1968, v. 118:5
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.
Структура и объем диссертаг^ии. Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы 71 компьютерных страниц, список литературы включает 53 названия.