Введение к работе
Актуальность темы. Пусть ЩХ] (или F[X]), где
Х = {хі,Ж2,... ,а:п,...} свободное ассоциативное кольцо (алгебра над полем F) со счетным числом некоммутирующих между собой переменных Хі, і Є N.
Положим /(^1^2,... ,ж„) Z[X] полином от переменных #1,... ,хп и R ассоциативное кольцо. Если для любых ах,... ,ап є R значения полинома f(xi,... , х„) при я,- = а,-, і = 1,2... , п равны нулю, т.е. /(аі,Ог,... ,ап) = 0, то говорят, что в кольце R выполнено (полиномиальное) тождество f(xi, Х2,... ,х„) = 0 или Я-кольцо с тождественными соотношениями.
В этом случае кольцо (алгебра) Л называется кольцом (алгеброй) с полиномиальным тождеством или,коротко>Р7-кольцом (алгеброй). Примерами Р7-колец (алгебр) являются все конечномерные алгебры, все нильпотентные кольца, все конечные кольца, все коммутативные кольца, и др.
В настоящее время теория колец (алгебр) с тождественными соотношениями является самостоятельной ветвью современной теории колец(алгебр). У истоков этой области стояли такие крупные математики как А.И. Мальцев, [37], (38], [39], Н.Джекобсон [18], И.Капланский
[22], Ш.А. Амицур [1], ДЖ. Левицкий [ б^А.И. Ширшов [57], [58] и др. В следующем поколении математиков весомый вклад внесли В.Н. Латышев [26]-[29], Ю.П.Размыслов [59] [60], А.Р.Кемер [24]-[25], Б.Форманек [64], С. Прочези [65], [66] и др.
Исторически первая работа о Pi-алгебрах вышла в свет в 1922 году [17], она была связана с проективной геометрией. Работа В. Шпехта [56], вышедшая в 1950 году, заложила начало дальнейшему развитию'этой области. Им был создан метод исследования тождеств в алгебрах с единицей над полем нулевой характеристики и указана некоторая система порождающих лолиномов>в настоящее время,/называема!' Вазой Шпехта. Там же поставлена знаменитая проблема
конечной порождаемости (как Г-идеала) Г-идеала тождеств произвольной PJ-алгебры. Касаясь этой проблематики, заметим следующее. Систематическое исследование проблемы Шпехта было начато В.Н.Латышевым и созданная им комбинаторная техника для исследования Т-идеалов [26]-[29] и др. эорюжила основу дальнейшего изучения в этом направлении. В его работах была охарактеризована сложность нематричных многообразий и решена проблема Шпехта для нематричных многообразий, порожденных алгеброй с конечным числом образующих, и ряд других результатов. Эта проблема решена А.Р. Кемером в [25] для алгебр над полем характеристики нуль. Заметим также, что созданная Гришиным А.В. техника исследования дифференциально замкнутых пространств (Г-пространств) свободной ассоциативной алгебры [3,0], [Зй] позволила ему решить проблему Шпехта в случае алгебртсонечным числом образующих над полем характеристики нуль. Стоит отметить, что для многообразий колец и алгебр над полем ненулевой характеристики эта проблема далека от своего завершения, например, даже в классе локально конечных многообразий, получены частичные результаты в работах: [32], [23], [61] и др.
Многообразие колец (алгебр) 9Л-это абстрактный класс колец (алгебр), удовлетворяющих фиксированной совокупности тождеств fi(x\,... ,х„) = 0, где і Є I. Изучение многообразий как абстрактного класса колец, замкнутого относительно взятия подколец, гомоморфных образов и прямых произведений, было начато Г. Биркгофом в работе [7]. Многообразие является языком изучения тождественных соотношений колец (алгебр) и средством классификации, описания строения колец (алгебр), родственных в смысле определяющих соотношений и порождающих колец (алгебр). На международном конгрессе А.И.Мальцев [37] отмечал общность постановки задач, идей и методов рассмотрения многообразий во всех алгебраических системах.
Заметим, что структурная теория (отдельно взятых) РІ-алгебр (колец) достаточно развита и важные результаты о примитивных РІ-
алгебрах, ниль PJ-алгебрах, первичных РГ-алгебрах, и др. вошли уже во все книги и монографии по теории колец.
Активное исследование многообразий колец в целом начато со второй половины 60-тых годов. В 1973 году появились работы И.В. Львова [32], [33] и Р.Крузе [23], в которых доказано, что идеал тождеств конечного ассоциативного кольца порождается конечным числом полиномов. Там же [32] описано локально конечное многообразие ассоциативных колец. Эти работы дали большой толчок дальнейшему исследованию в области многообразий колец. Результаты И.В.Львова и Р.Крузе показали параллелизм между теориями многообразий колец и групп. Заметим, что многообразия групп - очень развитая часть теории групп. В ее развитие большой вклад внесли сотрудники МГУ им. Ломоносова, а именно: А.И.Кострикин, А.Л.Шмелькин, А.Ю.Ольшанский, Ю.А.Бахтурин и др.
В выше упомянутых работах И.В.Львова и Р.Крузе показана важная роль критических колец как порождающих объектов многообразий, порожденных конечными кольцами, как, например, в классе локально конечных многообразий, а также указаны некоторые свойства критических колец. Последующим описанием критических колец занимались многие ученые. Критерии некритичности ассоциативных колец даны В.НчЛатышевым в [26], описание некоторых классов критических колец даны Г.К.Геновым, П.Н.Сидеровым, Ю.Н.Мальцевым и А.А.Нечаевым в работах [14], [15], [43], [46], [47], [50], [52], [62]. Описание критических (в том числе подпрямо нераз ложимых)колец двляется открытым вопросом (например, [40], вопрос 1.94).
Проведено также большое количество исследований по описанию многообразий с тем или иным свойством. А именно, описаны минимальные не нильпотентные, почти кроссовые многообразия в [33], почти энгеловы локально конечные многообразия в [42], хопфовы и почти хопфовы многообразия алгебр в [44], почти коммутативные многообразия в [43], [19], [87], минимальные многообразия в [55], многообразия алгебр с дистрибутивной решеткой подмногообразий в [5], много-
образия алгебр с почти дистрибутивной решеткой подмногообразий в [77], многообразия, решетка подмногообразий которых самодуальна или дуальна в [12], слабо нетеровы многообразия, почти слабонете-ровы многообразия алгебр с единицей в [63], локально слабо нетеровы многообразия алгебр над коммутативным нетеровым кольцом в [34]. Многообразия алгебр с условием максимальности для подмногообразий в [32]. Локально финитно аппроксимируемые, локально нредста-вимые многообразия колец и алгебр в [32], многообразия ассоциативных колец, все конечные кольца которых представимы матрицами над коммутативными кольцами, в [48], периодическое многообразие в [10], дистрибутивность и недистрибутивность решетки подмногообразий некоторых многообразий, удовлетворяющих тождествам конкретного типа, в [9], [45] и др.
Анализируя имеющиеся результаты исследований, мы можем сказать, что развитие теории многообразий ассоциативных колец идет в следующих направлениях:
-
Проблема конечной базируемое.- [32], [23], [26]-[29], [25], [30], [31], [59], [61] и др.
-
Описание тождеств конкретных колец (алгебр) и вопрос наличия тождеств в кольце: [1], [13], [14], [15], [42], [49], [53]и др.
-
Описание многообразия с тем или иным свойством (на языке порождающих колец или тождеств, операции над многообразиями, а также относительно свойства, решетки подмногообра-зии): [33], [43], [3], [4], [13], [16], [20], [21], [43], [44], [55], [63], [87], [77], [67], [9], [45], и др.
-
Изучение строения конкретных колец и алгебр с тождественными соотношениями (сюда же относятся представимость Р7-колец матрицами, свойства радикала, строение относительно свободных колец (алгебр) и критических колец и алгебр и др.): [6], [22], [23], [41], [46], [47], [48], [50*], [52], [57], [58], [60], [62], [104], [65], [66], [68], и др.
Заметим, что эта классификация формальна в том смысле, что четкое различие этих направлений очень трудно, так как в конкретном
исследовании эти аспекты имеют большое пересечение между собой. Настоящая диссертация посвящена описанию некоторых классов многообразий ассоциативных колец и описанию некоторых классов критических колец, т.е. основное содержание диссертации относится к вопросам типа 3) и 4) теории многообразий ассоциативных колец. Изучение ассоциативных колец на основе их тождественных соотношений является в настоящее время общепринятым.
Цель работы. Исследование свойств многообразий ассоциативных колец в следующих направлениях:
1) описание некоторых многообразий, обладающих свойством
разложимости в прямое объединение, свойством конечно
сти числом атомов и свойством экстремальности; "
-
описание строения колец, принадлежащих многообразию, порожденному конечными ассоциативными кольцами, и нахождение новых типов полезных тождеств;
-
изучение критических (подпрямо неразложимых) колец;
-
изучение свойств алгебры над полем, обладающей подалгеброй конечной коразмерности.
Основные методы исследования. Основным методом является описание многообразий путем нахождения определяющих их тождественных соотношений, в частности, построения базы'Г-идеала,соот-.ветствующего описываемому многообразию. Широко используются факты структурной теории колец и критические тождества.
Научная новизна. Все важнейшие результаты диссертации являются новыми.
- Автором введено понятие прямого разложения (объединения) многообразий. Дан критерий разложимости многообразия в прямое объединение своих подмногообразий и приведено полное описание п-атомного многообразия и некоторых многообразий ассициативных колец с эстремальными свойствами.
Установлены основные свойства главных факторов и их анну-ляторов для колец, принадлежащих многообразиям, порожденным конечными ассициативными кольцами. Применением этих результатов получено новое, описание кроссова многообразия и описание многообразия финитно аппроксимируемых колец (последнее получено независимо Маккензи и диссертантом).
Найдены новые классы критических колец, являющийся кольцами эндоморфизмов конечных абелевых р-групп, имеющие принципиальное значение для проблемы описания критических колец. Указаны критические тождества этих критических колец.
Изучены алгебры, обладающие подалгеброй конечной коразмерности (впервые'систематически изучены) и установлены их свойства, касающиеся примитивности, полупервичности, представимости матрицами над полем, аппроксимируемости конечномерными алгебрами и оценка коразмерности идеала алгебры, содержащегося в подалгебре конечной коразмерности.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в теории колец. Они могут бать использованы при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров в Университетах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной алгебраической конференции (Новосибирск 1977), Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Новосибирск 1981), Всемирном конгрессе математиков (Варшава 1983, Калифорния 1986), Международной конференции по алгебре (Новосибирск 1989), Международной конференции методіутеории модулей (Германия, Обервольфох 1993), Международной конференции по алгебре (Улан Батор 1990), и на научно-исследовательском семинаре по алгебре в МГУ (1983,1994), на семинаре по теории колец и модулей в МГУ (1983, 1985, 1989, 1993), на алгебраических семинарах Варшавского университета (1987), Университета Дюсельдорфа (1993),
Университета Билефельда (Германия 1993).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы
в работах автора, список которых приведен в конце автореферата, ия — 1э»Э.
Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы. Список литературы содержит 138 наименований. Полный объем диссертации занимает 180 страниц, написанных системой ТЕХ.