О линейных формах от значений дзета-функции Римана и гипергеометрической функции Гаусса Андросенко Валентина Александровна

Содержание к диссертации

Введение

1 Введение 4

1.1 История вопроса. Формулировка результатов, полученных в диссертации. 4

1.2 Вспомогательные утверждения . 18

2 Мера иррациональности числа 26

2.1 Интеграл Марковеккио и мера иррациональности числа 26

2.2 Идея симметрии и интеграл Марковеккио в новой интегральной конструкции 31

3 Оценка меры иррациональности числа log 153 + 2arctan 47 73

4 Линейные формыотчисел1,(2), (4)

4.1 Групповая структура четырехкратных интегралов 84

4.2 О линейных формах от чисел 1, (2), (4) 93

Заключение 113

Литература

• Вспомогательные утверждения
• Идея симметрии и интеграл Марковеккио в новой интегральной конструкции
• Оценка меры иррациональности числа log 153 + 2arctan
• О линейных формах от чисел 1, (2), (4)

Вспомогательные утверждения

Всевозможные комбинации этих преобразований образуют группу G, состоящую из 720 элементов.

Актуальность рассмотрения групповой структуры связана с проблемой оценки интеграла, а также оценки меры иррациональности значений дзета-функции Римана в целых точках.

Но в интеграле (1.12), в отличие от интегралов Бейкерса (1.6) и В. Н. Сорокина (1.8), на один свободный параметр больше. В результате всевозможных комбинаций пяти преобразований, которые лежат в основе групповой структуры интеграла (1.12), была получена группа G, состоящая из 288 элементов. Для интегралов (1.11) и (1.12) при определенных условиях на параметры справедливы теорема 4.1 и теорема 4.2 соответственно о представ Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 17 лении их в виде линейной формы (1.7). Сформулируем эти теоремы. Tеорема 4.1 Пусть для параметров интеграла (1.11) выполняются следующие условия: 1)c (22 + &2 + 1; 2) 22 + &2 &4 + &3! 3)c Й2 + &Ъ 4)шіп(аз, Q.4) + &2 тгп{а\ + &і, 22 + &2)5 5)таж(аз, &4) + &2 тах{а\ + &і, 22 + &г) Тогда интеграл (1.11) можно представить в виде линейной формы (1.7). Аналогично для интеграла (1.12). Tеорема 4.2 Интеграл (1.12) представим в виде линейной формы (1.7), если для его параметров справедливы следующие условия: 1)&4 а2, 2 Q-i — Оі\, Й2 С Ь 2)йі + &1 Й4 + &2Ї 3)«1 &1, 22 + &2 &3 + 4] 4)й2 + &2 + Ь\ = (1\ + 6з + &4, где а]5 = тіп(а,і, скі), а = тах(аі, скі), а = тіп(а2, &з). Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [1]—[7].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук В.Х. Салихову за интересную тему, постановку задач и постоянное внимание к работе.

Сформулируем коротко вспомогательные результаты, которые понадобятся для исследования. Стандартным приемом, который используется при построении рациональных приближений , является конструирование линейных форм и исследование поведения коэффициентов этих линейных форм при значении параметра, стремящемся к бесконечности. Используя этот способ будем опираться на следующую лемму, которая принадлежит М. Хата [44, замечание 2.1].

В настоящей работе применяются асимптотические методы и основные идеи метода Чудновского — Рухадзе — Хата ”сокращения простых”. Сформулируем основные моменты одной из схем ” сокращения простых”, рассмотренных Е. А. Рухадзе [24].

Для исследования асимптотического поведения интегралов в работе будут применяться такие методы как метод Лапласа, метод перевала и двойной метод перевала. Приведем основные идеи этих методов (см. [31]). Интегралами Лапласа называются интегралы вида F{\) = / f(x)e x dx, (1.13) где S(x) — вещественная функция, А — большой положительный параметр, f(x) может принимать и комплексные значения. Пусть / — некоторый ин Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 21 тервал, С[1] — класс непрерывных на / функций, Сг[1] — класс г раз непрерывно дифференцируемых на / функций.

Теорема 1.1 [31, теорема 1.3, с. 39] Пусть I = [а, Ь] - конечный отрезок и выполнены условия: 1. /(ж), S(x) Є С [І]; 2. Максимум S(x) достигается только в точке Хо, а Хо 6; 3. /(ж), S(x) Є С при ж, близких к XQ и S (хо) Ф 0. Тогда при А — оо справедливо асимптотическое разложение л 2-7Г „ 1«т N F(\) ж —/(жо)е (1.14) До (жо) Аналогичное свойство будет выполнено в случае, если максимум подынтегральной функции достигается на конце отрезка интегрирования. Теорема 1.2 [31, теорема 1.4, с. 41] Пусть I = [а, Ь] - конечный отрезок и выполнены условия: 1. j{x\ S(x) Є С [І]; 2. Максимум S(x) достигается только в точке Хо = а; 3. j{x) Є СУ [іJ, о{х) Є О [жо, Хо + dj, д 0 и о (хо) ф 0. Тогда при А — оо имеет место асимптотическое равенство / V 1 27Г Ао/ ч ічА) - — j(a)e у . 2 Ао (а) Метод Лапласа является частным случаем более общего метода исследования асимптотики комплексных интегралов - метода перевала.

В настоящей работе возможно применение двойного метода перевала, но в силу того, что он является технически сложным и ненаглядным, для исследования асимптотического поведения интегралов была рассмотрена некая конструкция, с помощью которой получены необходимые результаты.

Идея симметрии и интеграл Марковеккио в новой интегральной конструкции

Коэффициенты Qn и Rn линейной формы (2.20) рациональные. Оценим их общий знаменатель.

Для уточнения оценки знаменателя коэффициентов линейных форм воспользуемся методом, который впервые наиболее полно был предложен в статье К. Виолы и Дж. Рина (см. [53]).

В лемме 1.2 были сформулированы результаты К. Виолы, Дж. Рина [53] и М. Хата [44], необходимые при доказательстве теоремы 2.2. Обозначим для N Є N d - наименьшее общее кратное чисел 1,2,..., 7V. Стандартным образом, например, как у Р. Марковеккио [51, с. 173 -174] получим фрагмент общего знаменателя (імп коэффициентов линейной формы (2.20) и аналогичных линейных форм, представленных интегралами (2.15), где Мп = тах{2(/ + к — j), 2/г, 2к, h + j — к, к + т — /г, /,т, j, q}.

Точный вид знаменателя будет указан чуть ниже в лемме 2.2. Для простых чисел р у/Мп, априори входящих в знаменатель коэффици Г п\ ентов линейной формы (2.20), из (2.15) для ш = — были получены P неравенства (2.16), аналогичные неравенствам, полученным в работе [51, неравенства (31)]. Если для простого числа р у/Мп выполняется хотя бы одно из неравенств (2.16), то это число можно исключить из знаменателя, что позволяет значительно уменьшить оценку знаменателя.

Пусть А - произведение всех простых чисел р у/Мп таких, что и Глава 2. МЕРА ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЛА —= 45 л/3 удовлетворяет хотя бы одному из неравенств (2.16). Докажем следующее утверждение. Лемма 2.2. Для всех п Є N справедливо представление С учетом доказательства (2.11) и равенства (2.40), можно сделать вывод, что qn, j)neZ. В (2.40) амп можно заменить на—. Тем самым получаем представление (2.21). Лемма 2.2 доказана. Далее рассмотрим конструкцию, которая служит для того, чтобы избежать применения двойного метода перевала, так как он технически сложен и не является наглядным. где контур / по переменной t - окружность, проходящая в положительном направлении через точки Mi(l), M2(xs), М3 = i\/—xs, s 0. Очевидно, xs x 1, тогда для всех t, лежащих внутри контура /, будет выполняться Re(t — s) xs — s = s(x — 1) 0, т. е. точка t = х - единственная особая точка подынтегральной функции, лежащая внутри контура /. Полагаем D\(g(x)) = т7 т(5Чж))-Л! ахл Условие / j (см. (2.18)) обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость интеграла (2.41) по переменной s, и, следовательно, возможность дифференцирования по параметру х под знаком интеграла.

Домножая обе части последнего равенства на ж-7 и применяя оператор Dk+m_h, получим Dk+m-h(% 1 (Dh+j-k(g (%)))) = 11 (2.43) где мы заменили интегрирование по 1\ на интегрирование по прямой (гоо; —гоо). Это можно сделать, так как оба интеграла равны 27ГІ- Rest=x{G(s, t)), G(s,t) - подынтегральная функция интеграла (2.5).

Ряд (2.46) наряду с положительными слагаемыми содержит также отрицательные, но, начиная с s So = max{j — к,т — h} получаем положительный ряд. Подобные положительные ряды были рассмотрены в работах Ю. В. Нестеренко [22, с. 556-558] и Р. Марковеккио [51, с. 174-177],

Компьютерный перебор параметров позволил получить оптимальный набор, удовлетворяющий условиям (2.17), (2.18) и позволяющий доказать теорему 2.2. Найдем асимптотику максимального слагаемого As ряда (2.49) при s Є [2п; +оо). Согласно работе [22, с. 557] решим уравнение 4+ss+6s+33 1 т = 1- (2.51) s s s — 2 4 Уравнение (2.51) имеет единственный действительный корень, а именно s0 = 50.3057.... Тогда s = s0n(l + о(1)) и имеет место равенство (см. [22, с. 558]) lim —InAg = In n- +oo n Q = 36.079 ..., (2.52) При s Є [0; 2n—1] ряд (2.49) содержит отрицательные слагаемые. Покажем, что асимптотика модуля этой части слагаемых ряда (2.49) меньше асимптотики суммы положительных слагаемых. 2n-l s=0 Для s Є [0; 2п — 1] max\AS\ достигается при s = 2п — 1, lim -ln\A2n-i\ = 12/п2, а тогда 1 hm —In Решением системы уравнений (2.58) являются следующие пары чисел: s\ = 0.926..., t\ = 0.828...; S2 = —0.328 ... —Ю.707..., 2 = —0.169 .. .+І0.314...; S3 = —0.328 .. .+І0.707 ..., t% = —0.169 ...—І0.314....

Одним из решений системы уравнений (2.58) является пара действительных чисел (si]ti). Нетрудно показать, что значение ln\f{s\]t\)\ сов 1 падает со значением lim —lnQn, найденным в лемме 2.3. Таким образом, п- +оо п асимптотику коэффициента Qn можно получить избежав метода перевала.

Оценка меры иррациональности числа log 153 + 2arctan

С помощью интеграла Бейкерса и иного выбора параметров была улучшена оценка меры иррациональности 7Г2. Были также предприняты различные попытки обобщения интегралов Бейкерса для изучения дзета -функции Римана в целых точках.

В свою очередь, Рином и Виолой [54] для получения более точной оценки меры иррациональности (3) была рассмотрена групповая структура интеграла.

Как оказалось, исследование групповой структуры является важ Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 14 ным элементом получения оценки меры иррациональности значений дзета-функции Римана в целых точках. В 1990 году О. Н. Василенко [9] рассмотрел интеграл т Y[ x i(l — Xi)nd,Xi I = / — Ti (1.6) (1 — X\ + X\X2 — . . . + ( — l)mX\ . . . Xm)n+L [0,l]m который при m = 2 совпадает с интегралом Бейкерса. Д. В. Васильев [12] доказал, что при т = 4 интеграл (1.6) представим в виде линейной формы от чисел 1, С(2), С(4), т.е. I = _РС(4) + С(2) + т, (1.7) где p,q,r Є Q. Для этого интеграла им была получена следующая оценка: 0 4 / DAn 7 (4) /Зп, где /3 = —21z2 + 75z — 40, z Є [0,1] — корень уравнения z3 — 3z2 + 1 = 0, [5 0.02 .... В 1998 году В. Н. Сорокин [29] ввел в рассмотрение интеграл вида f Хл{1 — жі)пЖо(1 — X2)nxJ\(1 — Xs)ndxidx2(ixs 1 = . (1.8) (1 — Ж1Ж2) (1 X\X2Xz)n+l [0Д]3 Интеграл (1.8) равен интегралу, рассматриваемому ранее Бейкерсом, а затем Д. В. Васильевым. Это было доказано С. Фишлером [41] и С. А. Зло-биным [17].

В. В. Зудилин [19] рассмотрел s - кратный интеграл вида П х? (1 — Xj)bj aj ldxi ... dxs I(a,b) = / 7 7 7 і (1.9) (1 — ЖЦІ — Х2\- (1 — Xs-\{1 — Xs)) a [ОД]8 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 15 который является естественным обобщением интеграла (1.6). При Rebj Reaj 0, j = 1,... , s, Reb\ Re{a\ + 2o) интеграл (1.9) сходится абсолютно. Если все а и Ъ целые, положительные параметры, которые удовлетворяют дополнительному условию Ъ\ + а.2 = = bs-i + aS, то интеграл (1.9) есть Q-линейная форма от дзета-значений одинаковой четности. В свою очередь, С. А. Злобин [15], [16] доказал (в наиболее общих предположениях), что заменой переменных при z = 1 интеграл (1.9) может быть приведен к форме П х? (1 — Xj)bj aj ldxi ... dxs S(z) = / — , (1.10) ю iis П (1 — zx± ХГІ)СІ где 1 Г\ ... rm = s. Интеграл (1.10) является обобщением интеграла, введенного ранее В. Н. Сорокиным. В четвертой главе диссертации рассмотрен четырехкратный интеграл, представимый в виде линейной формы (1.7) Т\ х (1 — Xi)bi ldxidx2dx dx4 Г(й2 + 02 — с)Г(с) f i=l I = , (1.11) Г(й2)Г(02) (1 — Х\ + Х\Х2\[ — Х Х )))0 [ОД]4 параметры которого удовлетворяют следующим условиям: а , ЬІ,С Є N,i = 1, 4, d\ + Ъ\ = Й4 + 62, 0-2 + &2 = &3 + &4. Для интеграла (1.11) получены четыре преобразования, которые лежат в Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 16 основе групповой структуры. Всевозможные комбинации этих преобразований образуют группу G, состоящую из 720 элементов. Актуальность рассмотрения групповой структуры связана с проблемой оценки интеграла, а также оценки меры иррациональности значений дзета-функции Римана в целых точках. Также рассмотрен интеграл типа интеграла (1.8) В. Н. Сорокина [29], который имеет вид 1? (1 Тл) Т (1 іг„) 2_іліа2т( 2 (1 Тч)а _ / = / X (1 — X X )0/1 [ОД]4 х43 1(1 — ХЛЬА 1(1Х х 1 (1.12) (1 — Х\{1 — Х2Хз)))Л где dx = dxidx dx- dx , ai bi aj Є N,г = l,4,j = 1,2. При m = 4 и соответствующей замене переменных, а именно и = 1— з 1 — Ж3Ж4, v = интеграл (1.6) представим в виде (1.12). 1 — Х3Х4 Но в интеграле (1.12), в отличие от интегралов Бейкерса (1.6) и В. Н. Сорокина (1.8), на один свободный параметр больше.

В результате всевозможных комбинаций пяти преобразований, которые лежат в основе групповой структуры интеграла (1.12), была получена группа G, состоящая из 288 элементов.

Для интегралов (1.11) и (1.12) при определенных условиях на параметры справедливы теорема 4.1 и теорема 4.2 соответственно о представ Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 17 лении их в виде линейной формы (1.7). Сформулируем эти теоремы. Tеорема 4.1 Пусть для параметров интеграла (1.11) выполняются следующие условия: 1)c (22 + &2 + 1; 2) 22 + &2 &4 + &3! 3)c Й2 + &Ъ 4)шіп(аз, Q.4) + &2 тгп{а\ + &і, 22 + &2)5 5)таж(аз, &4) + &2 тах{а\ + &і, 22 + &г) Тогда интеграл (1.11) можно представить в виде линейной формы (1.7). Аналогично для интеграла (1.12). Tеорема 4.2 Интеграл (1.12) представим в виде линейной формы (1.7), если для его параметров справедливы следующие условия: 1)&4 а2, 2 Q-i — Оі\, Й2 С Ь 2)йі + &1 Й4 + &2Ї 3)«1 &1, 22 + &2 &3 + 4] 4)й2 + &2 + Ь\ = (1\ + 6з + &4, где а]5 = тіп(а,і, скі), а = тах(аі, скі), а = тіп(а2, &з). Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [1]—[7].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук В.Х. Салихову за интересную тему, постановку задач и постоянное внимание к работе.

Сформулируем коротко вспомогательные результаты, которые понадобятся для исследования. Стандартным приемом, который используется при построении рациональных приближений , является конструирование линейных форм и исследование поведения коэффициентов этих линейных форм при значении параметра, стремящемся к бесконечности. Используя этот способ будем опираться на следующую лемму, которая принадлежит М. Хата [44, замечание 2.1].

О линейных формах от чисел 1, (2), (4)

Метод Лапласа является частным случаем более общего метода исследования асимптотики комплексных интегралов - метода перевала.

Рассмотрим интеграл F(X) = f(z)e z dz, где A\: 7 — кусочно - гладкая кривая в комплексной плоскости z; А2: функции f(z),S(z) голоморфны в окрестности кривой 7; А%: при Л 0 выполнено условие /(z)e z \dz 00.

Введем определение точки перевала. Точка ZQ называется точкой перевала функции o{z), если Ь [ZQ) = 0. Порядок точки перевала равен п 1, если Ь (zo) = ... = оу (ZQ) = О, S{ [ZQ) ф 0. При п = 1 точка перевала называется простой. Лемма 1.4 [31, лемма 1.2, с. 166] Пусть ZQ - точка перевала порядка п функции S{z). В малой окрестности U точки ZQ линия уровня RS(z) = RS(zo) состоит изп+1 аналитических кривых, которые пересекаются в точке ZQ и разбивают и на2п + 2 секторов с углами при вершине. п + 1

В соседних секторах знаки функции ffi[S(z) — S(zo)] различны. Теорема 1.3 [31, теорема 1.3, с. 170] Пусть max ffiS(z) достигает-ся только в точке ZQ, которая является внутренней точкой контура Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 23 и простой точкой перевала функции S(z) и выполнено условие AQ: В окрестности точки перевала ZQ контур 7 проходит через два различных сектора, в которых RS(z) RS(zo). Тогда при А — +оо F(X) = f(z)e z dz е (z \ ak\ і. { k=o

Это асимптотическое разложение можно дифференцировать любое чис ло раз. Главный член асимптотики /л 2-7Г , ч \Я(? \ h I \) = f I Zc\ )р XS"(ZQ) а остаточный член имеет вид ОА 2 е z . Выбор ветви корня при этом такой, что arg у—о {ZQ) равен углу между положительным направлением касательной к 7 в точке ZQ и положительным направлением вещественной Для метода перевала в многомерном случае рассмотрим интеграл Лапласа вида F{\) = / f(z)e z dz. (1.15) Здесь z = (zi,..., zn) Є Cn, dz = dz\... dzn, 7 есть n — мерное гладкое многообразие (возможно с краем), А — большой положительный параметр. Функции f(z),S(z) голоморфны в некоторой окрестности контура 7. Считаем, что f(z) ф 0, S(z) Ф const.

В настоящей работе возможно применение двойного метода перевала, но в силу того, что он является технически сложным и ненаглядным, для исследования асимптотического поведения интегралов была рассмотрена некая конструкция, с помощью которой получены необходимые результаты.

Основная идея метода перевала в многомерном случае та же, что и в одномерном. Рассмотрим интеграл Fi(A) = / exp[XS(z)]dz. (1.16) 7о где 7о компактное многообразие с краем. Будем полагать, что можно ограничиться только такими 7 Є Г, для которых V(7) С = const. Допустим, что существует 7 Є Г такое, на котором достигается минимакс minmax ReS(z). (1.17) 7ЄГ -гЄ7 Если 7 минимаксный контур (см.[31, лемма 1.2, с.253]), то max ,гЄ7 ReS(z) достигается либо на краю этого многообразия, либо в точке ZQ такой, что Sz(z ) = 0. (1.18) Такая точка z называется точкой перевала функции S(z). Точка перевала z функции S(z) называется невырожденной, если detSzz(z) 7 0. Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 25 Рассмотрим интеграл F(X) вида (1.15), где 7 есть п - мерное гладкое компактное многообразие с краем, функции f(z),S(z) голоморфны при z Є 7. Теорема 1.4 [31, теорема 1.1, с. 258] Пусть max ReS(z) достига-ется только в точке z Є 7, которая является невырожденной точкой перевала и внутренней точкой контура 7. Тогда при X — +оо