Введение к работе
Актуальность темы. Квадратичнмо метаплектичвские формы на группе SU2.R) известны с давних пор. Важнейший пример - классическая квадратичная тэта функция -
6(z) » Y. exp(n(rtzz). ml
Более обшо, в трудах К. Зятеля, А. Войля и многих других автороо рассматрявалясь квадратичные кетаплектические форны на сикплек-тическхх группах Sp(2n, R). Но лишь сравнительно недавно, в бОых годах. Т. Кубота нашел возможность определить метаплектичвские формы произвольной степени (Eln а г 11 timet I scher Satz uber elne Mat ri zengruppe, J.Relne Angew. Math., 1965, vol.222, 55-57; On automorphlc functions and reciprocity law In a number theory, Lect. In Math. Kyoto Univ., 1969, vol.2 ( МатеМ. сб. Пор. 1970, 14:6, 3-37)). Т. Кубота рассматривал нетаплектнчеснио формы на линейных группах ( полных я специальных ) второго порядка. Его исследования были продолжены Паттерсоном (A cubic analofiue оГ the theta series 1,11, J.Relne Angew. Math., 1978, vol.303, 125 -161, 217-220) и Делинек ( Somraes dc Gauss cubiques et revrte-menle de SL(2) d'apres S.J.Patterson, Sem. Bourbalc I, Loot. Notes In Math., 770 (1980), 244-277), сумевшими найти коэффициенты Фурье кубической тэта функции на группе SL(2,C). Практически в то же время, в работах Иаиуното (Sur 1es sous-groupes arithme-tlques des groupes seml-s Imp 1 ее deployes, Ann. scln. Ec. Norm. Sup., 1962, 1-62(, Мура (Group extensions of p-adlc and adellc linear groups, Publ. Mathem. IHES, 35, 1968, 157-222), Басса. Инлнора И Ceppa (Solution of the congruence subgroup problem for SLn(nt3) and Sp2f|(n=2), Publ. Math. IHES, 33, )967, 59-137) была подготовлена почва для построения более обвей теории мэга-плектических форм на широком классе групп. Первая попытка реализовать новые возможности была предпринята автором в 1983 году, її). Вскоре появилось обширное исследование Каждана и Паттергоиа о метаплоктических формах на полных линейных группах (Metaplastic forms, Publ. Math. IHES, 59, 1984. 35-142), а затем И другие
публикации-Бампа, Хофштеїіна (Cubic met ар lect Ic forms on CL(3), Invent, math. 84, 1986, 481-505; Some Euler products associated With cubic metaplectic forms or. GL3, Duke Math. J. 1986, vol.53, 1047-1072), Савина (An analogue of the Weil representation for C2, preprint Yale Univ., 1991), Фликера и Каждана (Metapiectlc Correspondence, Publ. Math. HIES, 64, 1987, 53-110) и других авторов. Котаплектические формы привлекают асе большие внимание исследователей, однако, теория, в целом, є що очень далека от завершенности.
Цель работы Исследование метаплектических рядов Эйзенштейна, построение кубических тэта функций на прэстых комплексных группах ранга 2, вычисление их коэффициентов Фурье.
Общая методика исследования. В работе используются: теория групп Ли (разложения Нвасавы, Брюа, представленим нкльпотоктных групп): дискретные подгруппы групп Л»; теории рядов Эйзенштейна (по Сельбергу, Ленглендсу); теория алгебраических чисел (символ кубического вычета, закон взаимности, сунны Гаусса, дзета функция Дадекинда).
Научная новизна. Кубические тэта функции, определенные к исследованные автором диссертации, ранее не были известны. Новыми являются все полученные в работе результаты, за исключением торрамы о мэроморфноЯ продолжимости рядов Дирихле с квадратами кубических сумм Гаусса в качестве коэффициентов. Зта, последняя, теорема была получена ранее Паттерсоном с помопыи метода Ранкнна -Сильберга. Новым является метол описания двойных классов, о котором будет сказано ниже в разделе 'Содержание работы', применяемый для вычисления коэффициентов Фурье рядов Эйзенштейна. Что касается группы G2, то не только кетаплектические, но и, вообще, какио бы то ни было автонорфные фунициии на этой группе ранее ив изучались.
Практическая ценность. Найденные автором кубические тога функции ногут быть использованы как ядра интегральных операторов для построении соотвитствии Шимуры ме*лу аитоморфными формами на
различных группах. Разработанная автором техника вычисления коэффициентов Фурье рядов Эйзенштейна может быть с успехом применена и для вычисления коэффициентов Фурье некоторых других ав-томорфных функций, рядов Пуанкаре, например; прячем, не обязательно нетаплектических. Результаты диссертации, в особенности в части относящейся к метаплектическнн формам на группэ Sp(4,C), указывают метод преодоления трудностей стоявшк на путя построения общей теории кеталлоктичоских форм.
Апробация работы. Об исследованиях, составляющих диссерт*-цию, автор докладывал на семинарах а Санкт-Петербургском отделении Математического института РАИ, на Международной конгрессе математиков в Варшаве, на международной конференции а Оберволь-фахэ я Всесоюзной конференции а Минске, на семинарах в университетах Геттингена и Бклефельда.
Публикации. К теме' диссертации относятся 10 авторских публикаций в различных математических журналах, включая 2 препринта, тезисы доклада на международной конференция я краткое сообщение на Международной конгресса нагенатпков. Все публикация -- без соавторов.
объем работк. Работа состоит из введеная, четырех г/тай комментариев к списка литературы. Она занимает 224 страницы Список литературы содержит 42 наименования.