Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Гипотеза Герстена для алгебр Адзумая в равнохарактеристическом случае 12
1. Комплекс Герстена для алгебр Адзумая 12
2. Теорема Попеску 15
3. Одна лемма об алгебрах Адзумая 17
4. Несколько лемм о KA-когомологиях 19
4.1. KA-когомологии в геометрическом случае 19
4.2. KA-когомологии в равнохарактеристическом случае . 24
5. Доказательство гипотезы Герстена 25
Глава 2. Гипотеза Герстена для пучков с трансферами в равнохарактеристическом случае 28
6. Комплекс Герстена для пучков с трансферами 28
7. Непрерывные пучки с трансферами на нетеровых схемах 39
8. Некоторые леммы о равнохарактеристических кольцах 42
8.1. Гладкие дивизоры на равнохарактеристической схеме 42
8.2. Раздутие равнохарактеристической схемы 43
9. Конструкция дифференциала Герстена в частном случае 47
10. Некоторые свойства гомоморфизма Гизина 52
11. Согласованность гомоморфизма Гизина и трансфера 55
11.1 Категория относительных мотивов 56
11.2 Согласованность в категории относительных мотивах 63
11.3 Функторы между категориями относительных мотивов 67
11.4 Совпадение гомоморфизма Гизина в трансфера в DM(k)...71
12. Дифференциал Герстена на раздутии 72
13. Определение дифференциала Герстена 75
14. Гипотеза Герстена в равнохарактеристическом случае 81
Заключение 84
Список литературы
- Одна лемма об алгебрах Адзумая
- KA-когомологии в равнохарактеристическом случае
- Гладкие дивизоры на равнохарактеристической схеме
- Функторы между категориями относительных мотивов
Одна лемма об алгебрах Адзумая
В этом параграфе мы определим комплекс Герстена для алгебры Адзумая А над нетеровым кольцом S. Подробнее об алгебрах Адзумая можно узнать в [23]. Сначала мы напомним некоторые определения.
Определение 1.1. Пусть X схема над полем к. Алгеброй Адзумая А на X называется локально свободный пучок Є х-алгебр такой, что для любой замкнутой точки х Є X слой Ах является центральной простой алгеброй над полем к(х).
Замечание 1.2. Алгебра Адзумая А на аффинной схеме Spec S определяется алгеброй своих глобальных сечений, поэтому говоря об аффинных схемах мы часто будем считать, что алгебра Адзумая является просто S-алгеброй, имея ввиду кольцо глобальных сечений над Spec S.
Определение 1.3. Если А алгебра Адзумая на X, /: У -л X, то можно определить алгебру Адзумая f A на У. Для морфизма аффинных схем /: Spec А — Spec В алгебра f A совпадает с тензорным произведением А 8 в А. Для отображения произвольных схем f A получается склеиванием пучков на аффинных подсхемах. Если У — замкнутая подсхема X, то вместо f A мы будем снова писать Ау, для открытой подсхемы U вХ отображение / - это ограничение пучка, будем обозначать его А\и.
Замечание 1.4. Иногда, чтобы не усложнять обозначения, мы будем использовать символ А для обозначения f A на некоторой подсхеме X. Пусть S нетерово кольцо, А алгебра Адзумая над S. Напомним, что і -группами алгебры Адзумая Кг(А) называются i -группы Кг(Т(А)) категории V(A) конечно-порожденных проективных Д-модулей. Аналогично К 1(A) определяются как iC-группы категории всех конечно порожденных Л-модулей Mod(A). Если S кольцо функций гладкого аффинного многообразия над к или локальное кольцо точки гладкого многообразия, то Щ(А) = КІ(Л).
Теорема 1.5. Пусть А - алгебра Адзумая на регулярной схеме X, Z С X - замкнутая подсхема, U = X-Z - дополнение. Тогда имеется длинная точная последовательность К-групп ... - Кп+1(Л\и) А Kn(AY) - Кп(А) - Кп(Л\и) Л.... Доказательство. Теорема доказана в [4]. П Пусть А алгебра Адзумая на регулярной X. Допустим, что сУс! - замкнутые подсхемы в схеме X, codimxy = і, codimxZi = г+1. По предыдущей теореме для пары Zx С Y дифференциал d действует из Kn(A\Y-Zl) в Kn_i{AZi). Будем наращивать Zb заменяя его на Zx U ... U Z, где Z% подсхемы той же размерности, что и Zh и выбрасывать подсхемы меньшей размерности. В результате, переходя к пределу, мы получим отображение д: Кп(Ау) 0 Kn+l(Az), zeYW где Ау, Az — слои пучка А в соответствующих точках, Y — множество точек У коразмерности 1. Рассматривая такие отображения для всех неприводимых подсхем, мы получим комплекс Герстена для схемы X gf(X) = [ 0 - Kn(Av) Л 0 Кп_х(Ах) 0 п-2(Л) где 7] — общая точка X. Утверждение 1.6. Квадрат дифференциала в комплексе Герстена является нулевым. Доказательство. Пусть Z С У С X, codimxy = 1, codimxZ = 2. Рассмотрим отображение длинных точных последовательностей К-групп для вложения пар (X - Z, X - Y) С (X, X - Y): ... Кп+1(Лх-г) +1 Kn(AY) Кп(Лх) Кп(Лх-г) дп дп+Kn+l{Ax-r) +1Kn{AY-z) Kn{AX-z) Kn{AX-Y) Из этой диаграммы дифференциал дп+1: Kn+l(Ax-Y) - Kn(AY-z) пропускается через Кп(Ау), а значит, композиция Кп+1(Лх-у) Kn(AY-z) Kn.x(Az) является нулевой. Переходя к пределу, мы получим, что композиция дифференциалов Герстена д од: Кп+1(Ах) -+ 0 Кп_х (Л) нулевая. П Теорема 1.7. Пусть S — полулокальное регулярное кольцо геометрического типа, то есть кольцо рациональных функций регулярных в нескольких точках гладкого к-многообразия. Пусть А - алгебра Адзумая над S. Тогда комплекс Герстена для алгебры А О - Kn(Av) - 0 Кп+1(АХ) - 0 Кп+2(Ау) - ... является резольвентой группы Кп{А). Доказательство. Теорема доказана в [30]. Введем еще некоторое обозначение. Пусть А алгебра Адзумая на многообразии X = Spec S. Через Кп будем обозначать пучок, ассоциированный с предпучком, который ставит в соответствие аффинному открытому U = Spec В на X группу Kn(A(U)). Из теоремы 1.7 нетрудно вывести
Следствие 1.8. Пусть А - алгебра Адзумая на неприводимом многообразии X. Тогда комплекс пучков где через Kn-i{Ax) обозначен постоянный пучок на точке х Є X, а отображение іх: х X — вложение точки, является резольвентой пучка К . Пусть X — спектр регулярного локального кольца R, f Є R - локальный параметр, Л - алгебра Адзумая над X, Z - неприводимая замкнутая регулярная подсхема.
Определение 1.10. Пусть X схема, Л алгебра Адзумая над X. Определим пучок на категории схем над X следующим образом. Морфиз-му /: У - X сопоставим группы Kn(f A) и рассмотрим ассоциированный пучок в топологии Зарисского. Его мы тоже будем обозначать К , поскольку в ограничении на малый сайт Зарисского X этой пучок совпадает с К, который определялся ранее.
Определение 2.1. Пусть R нетерово локальное кольцо. Оно называется равнохарактеристическим, если характеристика его поля вычетов совпадает с характеристикой его поля частных.
Важнейшим фактом о равнохарактеристических кольцах является следующая теорема Попеску. Теорема 2.2. Пусть R — регулярное равнохарактеристическое кольцо. Тогда существует совершенное поле к, содержащееся в R, и для каждого такого поля к кольцо R представимо в виде направленного индуктивного предела R = НцііГ, где Ra - гладкие конечно порожденные к-алгебры.
В самом деле, тд = Итта, и так как / тд, то существует а такой, что fp m для любого (3 а. Потому имеем еще индуктивный предел Rf = lir S , где fa — локальный параметр в Sa. Это будет существенно в дальнейшем.
Замечание 2.4. Все сказанное можно переформулировать на языке аффинных схем. А именно, имеем проективный предел X = Jmla, где X = Spec R, Ха = Spec Sa. Кроме того, выбрав локальные параметры fa є Sa такие, что (fia(fa) = f, получаем предел Xf = HmXj f . 3. Одна лемма об алгебрах Адзумая
Схема нашего доказательства совпадает с рассуждением статьи [10]. Отличие состоит в том, что для представления R = limSa и алгебры Адзумая Л в данном случае требуется найти алгебру Адзумая Ла над Sa, для которой А = Ла 8 R. Нельзя просто рассмотреть алгебру Л как алгебру над Sa, по-скольку в этом случае алгебра Д, вообще говоря, не будет алгеброй Адзумая над Sa. Это видно даже в случае центральных простых алгебр. Действительно, пусть D — центральная простая алгебра над К. Любое поле, очевидно, является индуктивным пределом своих подполей относительно вложения. Будучи рассмотренной над подполем к С К, она, вообще говоря, перестанет быть центральной. Утверждение о существовании алгебры Адзумая Ла над Sa будет доказано в лемме 3.1.
KA-когомологии в равнохарактеристическом случае
Обратим внимание на то, что расщепление функториально по U. Теперь заметим, что дивизор U xs X х 1 с U xs X х Gm соответствует образующей 1 Є Z = Pic(U xs X х Р1). Потому комплекс C Z?r[X х G 1} квазиизоморфен пучку U 0 (UxsX), который совпадает с представимым пучком RomSm/s(-,Rx/s(GmjX)). 2) Пучок Rx/si m.x) является строго гомотопически инвариантным. Это можно доказать так же, как и в теореме 11.12. Поэтому он квазиизоморфен MS(X х G ) по теореме 11.5. Следствие 11.17. Пусть X конечно и этально над S. Тогда 1) RomDM{s)(Ms(S)(l)}Ms(X)(l)) = RomDM{s)(Ms(S)}Ms(X))} 2) RomDM{s)(Ms(X)(l)}Ms(X)(l)) = RomDM{s)(Ms(X)}Ms(X)). Доказательство. Докажем пункт 1. Предположим для простоты, что X неприводимо. Для приводимых многообразий доказательство аналогично. В правой части по следствию 11.13 в этом случае стоит просто Z. По предыдущей теореме мотив MS(X)(1) квазиизоморфен пучку, представимому схемой Rx/si x), а MS(S){1) представим схемой S х Gm в категории гладких многообразий над S. В результате группа из левой части вкладывается в HomSm/s(S х GmiRx/si&mj)), что соответствует всем морфизмам пучков без учета трансферов и абелевой структуры. Это множество по свойству сопряженности функтора ограничения Вейля совпадает с Z 0 к[Х] . Нетрудно понять, что морфизмы согласованные с абелевой структурой и трансферами — это просто группа Z. Доказательство пункта 2 аналогично. Теорема 11.18. Существует изоморфизм MS(S х Р1) MS(S) 0 MS(S)(1)[2], где отображение т задается элементом Є (1) Є Ріс Р1 = H2 \F\Z). Доказательство. Аналогично доказательству теоремы о вычислении мотива проективного пространства из [18]. Кроме того, может быть выведена из теоремы 11.15. 11.2. Согласованность в категории относительных мотивах
В этом параграфе мы докажем согласованность гомоморфизма Гизина и трансфера для конечного этального отображения достаточно малых многообразий в подходящей категории DM(Y). В начале мы зафиксируем некоторое многообразие У и построим гомоморфизмы Гизина для некоторых морфиз-мов в этой категории. Теорема 11.19. Пусть char к = О, /: X -+ У - конечный морфизм гладких неприводимых аффинных многообразий над к. Тогда существуют такие открытые подмножества U С X, V С У, что f\v: U -+ V и k[U] = k[V][t]/F(t), где F(t) - неприводимый многочлен со старшим коэффициентом!.
Доказательство. Поскольку char к = О, расширение к(Х)/к(У) сепа-рабельно и, значит, является простым. То есть к(Х) = k(Y)[t]/F(t), где F(t) многочлен от t с коэффициентами из к (У) и старшим коэффициентом 1. Выкинув из У нули знаменателей коэффициентов F{t) и старшего члена и их полные прообразы из X, получим то же соотношение для колец функций открытых подмножеств X и У. В случае приводимого X перемножим многочлены для неприводимых компонент.
Теорема 11.20. Пусть f: X -+ У - конечный этальный морфизм, полученный в предыдущем утверждении, то есть k[X] = k[Y][t]/F(t) для неприводимого многочлена F(t) степени п со старшим коэффициентом 1. Тогда, уменьшая У и, соответственно, X = Spec k[Y][t]/F(t), можем считать, что существует конечный этальный морфизм g: Z - У такой, п что Z xYX Л (J Z.
Доказательство. Пусть ah ..., ап корни F(t) в алгебраическом замыкании k{Y). Для каждого ОІІ можно построить многообразие Zj, конечное и этальное над У,, (УІ С У — открытое подмножество), так же, как и в предыдущем утверждении. Пересечем все У;, и уменьшим Zi, взяв прообраз пересечения всех Y{. Возьмем в качестве Z расслоенное произведение всех Z{ над пересечением всех Y{. П
Далее мы будем считать, что /: X -+ Y и многообразие Z такие, как в предыдущем утверждении.
Замечание 11.21. Из построения видно, что поля k{Y) и к{Х) можно представить в виде пределов k(Y) = Ьщ кЩ, к(Х) = Щ pk[Uр\Щ /F {t), где F(t) — неприводимый многочлен со старшим коэффициентом 1. Причем пределы берутся по одному множеству индексов /З Є /, и для конечного эталь-ного отображения Vp = Spec k[Up][t]/F(t) - Up существует многообразие Zp MY(Y х А М ЦУ х l)t) MYxQ{X x A1), где a — вложение прямого слагаемого из утверждения 11.18, отображение е — изоморфизм вырезания (теорема 11.7), (У х P:)t - пространство деформации к нормальному расслоению для вложения X - - Y х Р1 (его конструкция есть в статье [11]), (р изоморфизм из теоремы 11.10. По пункту 1 следствия 11.17 имеется изоморфизм RomDM{Y)(MY(Y)(l)[2],MY(X)(l)[2]) = RomDM{Y)(MY(Y),MY(X)), и мы можем «открутить» отображение на (1)[2]. Это и будет GY(f). Нам потребуется отображение GY(Z xY f): MY(Z) - MY(Z xY X) для морфизма Z xY f: Z xY X -+ Z. Расслоенно умножая на Z разложение І ч У x f! 4 F морфизма / в композицию вложения и проекции, мы получим такое же разложение для Z xY f. Подкрученный гомоморфизм Ги-зина GY(Z xY /)(1)[2] определяется той же конструкцией, а «открутить» позволяет пункт 2 следствия 11.17, поскольку Z xY X \\ Z. Теорема 11.22. Гомоморфизм Гизина совпадает с диагональным отображением. Доказательство. В случае гомоморфизма Гизина в ориентированных теориях когомологий [12] аналогичное утверждение следовало бы из следующих двух: 1) гомоморфизм Гизина для отображения приводимого многообразия является суммой гомоморфизмов Гизина его неприводимых компонент, 2) гомоморфизм Гизина для изоморфизма и: Z -+ Z это обратный образ (и-1) .
Пункт 1 доказывается аналогично [12, п. 2.4.9]. Пункт 2 следует из свойства перестановочности гомоморфизмов Гизина с обратными образами для декартового квадрата. В интересующем нас случае можно действовать так же. Перестановочность требуется доказать для случая одного декартового квадрата
Гладкие дивизоры на равнохарактеристической схеме
Напомним, что в этой главе основное поле к имеет характеристику 0. В этом параграфе это требование будет существенным. Поскольку результат этого параграфа является ключевым для определения дифференциала Герстена, мы вынуждены предполагать, что равнохарактеристическое кольцо содержит поле характеристики 0 на протяжении всей главы.
Обозначение 11.1. Пусть /: X - У конечный морфизм. График отображения Г/ С X х У можно рассматривать как элемент Согк(Х,У). Тогда транспонированный график (Г/) лежит в Согк(У, X), а значит, задает морфизм М(У) - М(Х), будем называть его трансфером. Если Т пучок с трансферами, то отображение Т{Х) - T(Y), индуцированное (Г/) , будем обозначать Tr(f).
Весь этот параграфа посвящен доказательству следующего утверждения. Его можно назвать еще одним свойством гомоморфизма Гизина, и было бы логично включить его в предыдущий параграф. Мы не делаем этого по причине нетривиальности этой теоремы, доказательство приведено в пунктах 11.1-11.4 этого параграфа. Эта часть диссертационной работы опубликована в статье [25].
Теорема. Пусть/: X - У - конечный морфизм гладких многообразий над полем к характеристики 0, J- — гомотопически инвариантный пучок Нисневича с трансферами. Обозначим через G(f): M(Y) - М(Х) гомоморфизм Гизина для /. Тогда отображения T(G(f)),Tr(f): Т(Х) - F{Y) совпадают.
О категории относительных мотивов можно узнать из статьи [1], но мы введем основные понятия и сформулируем утверждения, которые нам понадобятся. Целью этого параграфа является доказательство утверждений 11.12, 11.16, 11.17. В этом параграфе S неприводимое аффинное многообразие, гладкое над к.
Определение 11.2. Категорией соответствий Cors над многообразием S будем называть следующую категорию: 1) ее объекты - квазипроективные многообразия, гладкие над S; 2) для X, У Є Ob Cors морфизмы из X в Y это свободная абелева группа, порожденная подмногообразиями Z сХ xsW, конечными над X; 3) композиция морфизмов индуцирована расслоенным произведением. Определение 11.3. Предпучком с б -трансферами будем называть функ тор Т: {Cors)op - АЬ. Обозначим через D{NShwTs) производную категорию пучков Нисневича с б -трансферами на категории многообразий над S. Если X гладкое многообразие над S, обозначим Zfr[X](U) = Cors(U}X). Утверждение 11.4. Для любого X Є Sm/S предпучок Ъ%\Х\ является пучком в топологии Нисневича на категории гладких многообразий над S. Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 6.12. Пусть A(S) — толстая подкатегория в D(NSwTs), порожденная конусами морфизмов 7ЩГ [X х 0] - Zfr [X х А1]. Комплекс А пучков с б -трансферами будем называть -локальным, если его пучки когомологий Ы{А) строго го-мотопически инварианты (то есть для любого г все когомологии Нисневича пучков ti{A) гомотопически инварианты). Пусть DM{S) полная подкатегория в D(NSwTs), состоящая из -локальных объектов. Известно, что существует точный функтор Lf: D{NSwTs) -+ DM(S) такой, что он переводит подкатегорию A(S) в 0 и отождествляет факторкатегорию D(NSwTs)/A(S) с категорией DM(S). Функтор bf является левым сопряженным к функтору вложения г: DM D{NSwTs), то есть для комплекса В Є D{NSwTs) имеется морфизм В го L$(B), функториальный по В, конус которого лежит в A(S). Теорема 11.5. 1) Если Т(Х) - любая Аг-локальная замена (то есть комплекс в D(NSwTs), изоморфный X в факторкатегории DM(S)), то Т(Х) L(X) в категории D(NSwTs). 2) Для гладкого X над S, отображение ЪЦХ] -+ С ЪЦХ] является изоморфизмом в DM(S). 3) Пусть Lp-.T rQ- морфизм пучков из D(NSwTs). Отображение р является изоморфизмом в DM(S) тогда и только тогда, когда С р: C F C Q - изоморфизм в категории D(NSwTs). Доказательство. Пункты 1,2- стандартные факты о локализации категорий, доказательство можно найти в [6]. Доказательство пункта 3 можно найти, например, в параграфе 5.2 препринта [1]. Теорема 11.6. Пусть X - гладкое многообразие над S, Z С X - замкнутое подмножество. Тогда в DM(S) имеет место выделенный тре угольник MS(X -Z) MS(X) M#(X) MS(X - Z)[1]. Доказательство. Пусть Z С X замкнутое подмножество, U его дополнение. Последовательность 0 - Z%[и] Z%[х] Zstr[x]/Zstr[u] - 0 по определению является точной. Благодаря точности функтора L получаем утверждение теоремы. Теорема 11.7. Пусть тг: X -+ X - этальный морфизм, Z С X -замкнутое подмножество и п: ТГ 1 (Z) Z - изоморфизм. Тогда отображение Ms(7r):Ml(X ) Ml(X) изоморфизм. Доказательство. Аналогично доказательству соответствующего утверждения в случае мотивов над полем в [18]. Теорема 11.8. В категории имеется тензорное произведе ние, которое мы будем обозначать g . При этом 1) функтор A S fr — тензорного умножения на комплекс А является точным, 2) Z%(Х) 8 Zi(W) = Z%(Х х W). Доказательство. Аналогично построению тензорного произведения в категории мотивов Воеводского DM (к) в статье [18]. Следствие 11.9. Тензорное произведение в категории D(NSwTs) индуцирует тензорное произведение в DM(S), и функтор bA согласован с тензорным произведением. Утверждение 11.10. Пусть X многообразие над S. Тогда существует изоморфизм Ms(X)(l)[2] Msx(Xxhl). Доказательство. Легко получается из 11.6. Лемма 11.11. Пусть /: X -+ X - покрытие Нисневича многообразия X над S. Тогда последовательность пучков Нисневича О - Ъ1\Х\ А Ъ1\Х\ Ы Ы Ъ1\Х х1 ]ь... точна. П Аналогично доказательству соответствующего утверждения для случая поля в [18]. Теорема 11.12. Пусть X конечно этально над S. Тогда мотив MS{X) квазиизоморфен пучку ЪЦХ]. Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что пучок Ъ%\Х\ строго гомотопически инвариантен. Обозначим, структурный морфизм /: X -л S. Теперь заметим, что пучок 1 Г\Х\ совпадает с / Z. Пусть S гладкое над S, X = S Xs X. Рассмотрим спектральную последовательность Лере: HP(S ,B?f %) = № (Х ,%). Росток {Rqf Z)s для s Є S совпадает с H {X S,,Z), где X s, = {S s,)h xs X . Когомологии Hi(Xfs,,Z) нулевые для і 0, так как X конечно над S . Значит, когомологии Hp+q(X , Z) просто совпадают с когомологиями HP(S , / Z). Откуда мы получаем гомотопическую инвариантность последних. П
Пусть S - нормальная аффинная схема, X - гладкая аффинная неприводимая схема относительной размерности 1 над S. Предположим также, что существуют нормальная собственная S-схема X с одномерными слоями и вложение X X, причем схема Y = X — X имеет аффинную окрестность. Рассмотрим комплекс
Функторы между категориями относительных мотивов
Доказательство. Напомним для начала определения дифференциалов д и д. Они индуцированы некоторыми морфизмами в мотивах алгебраических многообразий. Чтобы не усложнять обозначения, их мы тоже будем обозначать через д и д, так же, как и отображение в выделенном треугольнике тройки, соответствующее дифференциалу в последовательности тройки, тоже будем обозначать d. Итак, отображение д определяется диаграммой в которой вертикальные стрелки являются гомоморфизмами Гизина для вложения. Если мы применим к этому морфизму д функтор HomDM(k){- ), то получим дифференциал Герстена, который фигурирует в формулировке теоремы. Аналогично, дифференциал д определяется диаграммой
Чтобы доказать утверждение теоремы, нам нужно объединить две этих диаграммы с помощью гомоморфизма Гизина для раздутия G(p). Получается следующая кубическая диаграмма в которой горизонтальные отображения являются изоморфизмами Гизина для соответствующих вложений. Нам нужно доказать коммутативность правой боковой грани. Это верно, если все остальные грани коммутативны. А это так. Действительно, левая боковая грань коммутативна по следствию 10.7, остальные три грани коммутативны благодаря согласованности гомоморфизмов Гизина с композицией. Заметим, кроме того, что по следствию 11.31 при применении функтора HomDM{k)(-,F) отображение F{G{p\ )) совпадает с Tr(p\z). Это завершает доказательство теоремы.
Напомним, что из параграфа 9 нам известно каноническое определение дифференциала для случая кольца дискретного нормирования. Пусть R — произвольное регулярное равнохарактеристическое кольцо, X = Spec R, и пусть Z cY С X неприводимые подсхемы, codinix Y = і, codinix Z = і + 1. Определим дифференциал д: Т_{(к(У)) - F-i_i{k(Z)) для гомотопически инвариантного непрерывного пучка с трансферами, определенного на категории регулярных &-схем, следующим образом. Локализуем X и Y в Z и разрешим особенности кривой Yz внутри Xz с помощью раздутий в замкнутых точках, обозначим разрешение Yz С Xz и проекцию р: Xz — Х . Обозначим через z\,...,zn пересечения Yz с исключительным дивизором, и через Tr,: Jli-ife) - -І-І( ) - трансферы для конечного отображения pZi. Локализуя Yz в каждом (чтобы Yz стало локальным) и пользуясь определением для кольца дискретного нормирования, получим дифференциал ду. T_i(k(Y)) - F-i-i{k(zj)). Определим дифференциал Герстена д: F_i(h(Y)) -+ J"_,_i(A;(Z)) как сумму композиций Тгх о дх + ... + Тгп о дп.
Замечание 13.1. Из определения непонятно, почему введенный таким образом дифференциал не зависит от разрешения особенностей. Кроме того, факт того, что такое отображение удовлетворяет условию д2 = 0, требует некоторого доказательства. Оба вопроса решаются путем доказательства совпадения определенного так дифференциала с некоторым предельным дифференциалом, который получается с помощью теоремы Попеску.
Замечание 13.2. Можно было определить дифференциала, рассмотрев в качества Yz нормализацию кривой Yz. Но для доказательства свойства д2 = О дифференциала Герстена нам все равно понадобится схема Xz, поэтому мы включаем разрешение особенностей в определение.
В пункте 8.2 мы ввели схемы Xа, Ya, Za. Напомним их конструкцию. Из теоремы Попеску кольцо R представимо в виде индуктивного предела lir S" колец функций гладких аффинных многообразий над полем к, обозначим через ра/3: Sa - S? связывающие гомоморфизмы, ра: Sa - R отображение в предел. Пусть m С R максимальный идеал в Я, обозначим через pа С Sa прообраз (p l(m). Можно проверить, что кольцо R представи мо в виде предела lir Sp. Обозначим Ra = Sp и Xа = Spec Ra. Подсхемы Za С Ya С Xа получаются следующим образом. Выберем какие либо системы образующих идеалов схем Z и У, и рассмотрим идеалы, задаваемые их прообразами. Это и будут Za и Ya. Для некоторого а0 будет выполнено Za cYa, Za,Ya — неприводимы для а а0.
Доказательство. Случай 1. Пусть кривая Y неособа в z. Тогда для некоторого «о при любом а ао кратность ez»Ya = 1. В геометрическом случае по следствию 12.2 имеем коммутативную диаграмму F(Ya-Za) HlZa{ya,F) в которой через Ga обозначен гомоморфизм Гизина для вложения %а\ Za — Ya. Согласно замечанию 8.6 в данном случае конструкция гомоморфизма Гизина является функториальной, другими словами имеет место следующая коммутативная диаграмма:
Случай 2. Обозначим через тг: X - X вложенное разрешение особенностей Y. По следствию 8.9 оно представляется в виде предела X = HmXa для а «о, где 7га: Xа — Xа — композиция соответствующих раздутий. Обозначим через Y, Ya собственные прообразы Y, Ya соответственно, z, Z — пересечения У, Ya с исключительным дивизором соответственно.
По теореме 12.3 из предыдущего параграфа имеет место следующая коммутативная диаграмма
Доказательство. Мы будем проводить индукцию по круллевской размерности d кольца R. 1) База индукции. Пусть dim R = 1, / Є R локальный параметр. Утверждение следует предыдущей леммы поскольку в этом случае Xf = Spec(K). 2) Переход индукции. Пусть dim R 2 и теорема выполняется для любого регулярного равнохарактеристического кольца размерности меньше, чем d. Пусть, как обычно, / Є m — локальный параметр, Z = V(f) — множество нулей, dim Z = d - 1, дополнение Xf до Z изоморфно как схема Spec Rf. Размерность dim Xf меньше d, поскольку любая цепочка неприводимых подмногообразий X наибольшей длины заканчивалась точкой, соответствующей максимальному идеалу m, который не принадлежит Xf. Лемма 13.6 дает нам точную последовательность
Комплекс g{Z,T-{) является резольвентой группы T-\{Z), поскольку к схеме Z применимо предположение индукции. Отсюда №{g{Z,F_i)[-l]) = 0 для р 2 и H\g(Z,T-{)[-\]) = T-X{Z). Схема Xf имеет размерность меньшую, чем X, но не является локальной. Тем не менее, справедливость гипотезы Герстена для локальных колец схемы Xf (так как их размерность меньше d) влечет то, что комплекс пучков g(Xf,J7) является резольвентой пучка Т на Xf. Комплекс g(Xf, J7) состоит из вялых пучков, а комплекс его глобальных сечений - это g(Xf,F), поэтому №{g{Xf,F)) = IP (Xf,F).
Из леммы 14.2 нам известно, что HP{g{Xf,F)) = 0 для р 1. Рассматривая длинную точную последовательность когомологий, получаем, что № (д(Х,?)) = 0 для всехр 2, а группы Н(д(Х),Т) и Н1{д{Х) ) связаны точной последовательностью
Сравнивая эту последовательность с точной последовательностью из теоре-мы 9.7, получаем Н(д(Х,Т)) = T(R), Н\д(Х,?)) = 0. П Заключение
В перспективе хотелось бы избавиться от условия характеристики 0 в доказательстве гипотезы Герстена для пучков с трансферами в равнохарак-теристическом случае, и доказать соответствующее утверждение в предположении совершенности основного поля k, которое является стандартным для работы с мотивами Воеводского и пучками с трансферами. Для этого достаточно доказать следующую теорему сокращения в категории относительных мотивов, которая обобщает следствие 11.17 из данной диссертационной работы.