Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Классификация кватернарных кубических форм необщего положения II
1. Предварительные сведения II
2. tk -стратификация II
3. Случай G»SLOrt,V=SS( 4. Описание *bV. -стратов G^ и G^ 15 5. ък -страт G^ 18 ГЛАВА II. Инварианты кубических форм от четырех переменных 31 1. Предварительные сведения 31 2. Геометрия поверхностей из S 32 3. Морфизм 9Г[$ : S —* V/S 33 4. Действие группы Ц на 5 34 5. Сечение S>A .35 6. Регулярные инварианты 36 7. Функции перехода от < к 5 37 8. Инварианты степени # к 39 9. Инварианты степени 8к + 4 41 10. Рациональность фактора .'.. 43 11. Группы проективных автоморфизмов неособых кубических поверхностей 45 ГЛАВА III. Алгебры инвариантов форм, являющиеся полными пересечениями 55 1. Основные результаты 55 2. Доказательство теоремы I 55 3. Доказательство теоремы 2 . 5 Введение к работе
Диссертация посвящена классификации кубических форм. Описа на стратификация Пале-Луны пространства кватернарных кубических форм S3(C ) относительно естественного действия группы. Изучены свойства двух сечении (линейных под пространств, трансвереально пересекающих орбиту точки общего положения ) в пространстве S ( ) » при помощи чего получено описание алгебры инвариантов кватернарных кубических форм. Кроме того, перечислены все пары (п ,t , для которых алгебра инвариантов к, -арных форм степени t является полным пересечением. Оказывается, что одним из трех случаев, когда алгебра инвариантов форм не свободна, но является полным пересечением, является случай кватернарных кубических форм. Два других - бинарные формы пятой и шестой степени. Дадим очерк истории вопроса. В 1861 году Сальмон . 20 , Г21 нашел шесть инвариантов кватернарных кубических форм (пять из которых алгебраически независимы ) , связанных одним соотношением. Параллельно с Сальмоном пять из этих шести инвариантов были найдены также Клебшем [ll \ . При этом Сальмон использовал результат Сильвестра о том, что кубическая форма общего положения представляется в виде суммы кубов пяти линейных форм. Нужно отметить, что классики считали, что любая неособая (то есть задающая неособую кубическую поверхность в Р ) кубическая сРорма представляется в таком виде. Это не так, см. главу II. Хотя найденная Сальмоном система инвариантов является полной (любой инвариант выражается как многочлен от найденных4) , Сальмон полноты не доказывает, а приводит более слабое утверждение, что лю -4 бой инвариант есть функция /которая может содержать дроби и дробные показатели степени, то есть, вообще говоря, неоднозначная) от найденных. Попытка классификации кватернарных кубических форм необщего положения была предпринята Пуанкаре в работе JJC8} . Метод Пуанкаре состоял в том, чтобы классифицировать формы из пространства неподвижных точек данного полупростого элемента группы SL(4). Однако он полностью реализовал эту идею лишь для тернарных форм. Классификация всех особых кватернарных кубических форм, или, эквивалентно, всех особых кубических поверхностей была получена Шлефли. в работе [22J , а также Кали в работе jjo] . С точки зре-ния современной теории особенностей [і] ЭТИ результаты были проинтерпретированы Брюсом и Уоллом в работе [б] . Кубические поверхности с нетривиальной группой проективных автоморфизмов изучались Бобеком в работах [32] , [зз] • 0н нашел все возможные порядки проективных автоморфизмов неособых кубик, описал конфигурацию прямых на таких кубиках и нашел такие группы автоморфизмов, которыми обладает или единственная кубика, или од-нопараметрическое семейство кубик. Перейдем к формулировке основных результатов диссертации. Диссертация содержит три главы. В первой главе находится страти -5 фикация Пале-Луны пространства кватернарных кубических форм относительно естественного действия группы SL (4 ) ; в основу положена идея, принадлежащая Пуанкаре [їв] . При этом используется техника, разработанная в статьях Э.Б.Бинберга [7] и Д.Луны [l4] . Основные результаты главы опубликованы в работе [4] . Определение I. Страт Пале-Луны (короче: PL -страт) есть множество (v.\/ \ G\y. сопряжена Н , где Н - фиксированная редуктивная подгруппа ( } . Эквивалентное определение дано в работе [l4] , аналогичным понятием в случае компактной группы преобразований пользовался Пале в работе Гібі . Мы будем рассматривать следующие два условия на вектор ve. V: ( МО divn C(V) =, la»k Q (Ml") w\ 5 (v) =rdiw\S(4i для любого 36 G. В этой главе описан способ явного нахождения tk -стратификации с использованием обобщенного критерия Гильберта-Мам-форда[73 ; далее находится PL -стратификация в случае 1. Предварительные сведения. Следующие утверждения можно найти в работе [?] . Предложение I. Вектор у удовлетворяет М1 тогда и то лько тогда, когда Т содержит максимальный тор из , при этом c/(VC(l ) й. diwv С fiV ) для любого %Є & Теорема I. Пусть v удовлетворяет MX . Тогда Следствие. Имеем !/ N тогда и только тогда, когда существует fyG такой, что Sttbb QV фо . Предложение 2. ( Критерий замкнутости орбиты ) . Пусть 1ґ удовлетворяет Mi . Орбита V- замкнута тогда и только тогда, когда (suf b liv} = о для-любого /leZcfT 0) } где Т - связная компонента группы Ту. . Предложение 3. Если V- удовлетворяет Ml , то У /у.) удовлетворяет М1 . 2. tk -стратификация. Обозначения. Пусть к ) - множество максимальных выпуклых k, -мерных многогранников в В, натянутых на веса и содержащих 0 (не обязательно внутри) М(н) множество максимальных выпуклых многогранников в Г , натянутых на веса и имеющих какой-либо многогранник из 7 (l ) в числе своих граней. Если М - многогранник в , то -12 пусть ЪС(М) = {v-eV\Suf p v М } . Это подпространство в V. Теорема 2. p. = U 61((/4 UN . Доказательство, Докажем, что ( Имеем WcG o ; если нет нулевого веса, то N = G o ) . Для любого 1А- .,, 4G1( (М имеем 7 к , так как S (и) о Г ДДЯ некоторого Г fTfJc) .В силу к. теоремы I и предложений I и З иг і и, dim S(v) = tankG --їанк6і,гйк., откуда v-е К s Докажем, что Рк с. м G ( М) U N . Заметим, что при К. / для любого МєМ(іс) имеем NcM , где И е 74.( - + 1) . Поэтому достаточно доказать, что (Гк CL 1 М(К\ GU( ) . Пусть v (ґк . Пусть e Gv удовлетворяет MX . Тогда / .) удовлетворяет М1 ( предложение 3 ) . Следовательно, m S(v-) = 4ankG KmkG» К. Поэтому S (V) содержится в некотором многограннике из Т(к), a SiApp V -в некотором многограннике из М. (к) . Тео рема доказана. Замечание. Имеем /V = г ,, G 11(14) , где М0 - мно /VJ./U0 жество максимальных выпуклых многогранников, натянутых на веса и не содержащих 0. 3. Случаи G = SL(4)} V = S3ft4) В качестве максимального тора Т в SL (4 ) выберем множество Ъ диагональных матриц с определителем I. Весовыми векторами являются мономы УА- Х- Х . . Система весов в " выглядит так: -13 Здесь точке і соответствует вес вектора X? ; все веса имеют кратность I. а ) . Найдем нульмногообразие, /V СГ0 . Множество М0 состоит из трех многогранников Мд , М w м СО Vk ..№ Форма из ZC(MQ ) приводится к виду с носителем, содержащимся в М 0Ш , то есть G % С М0Ш ) z Щ \( \ Действительно, форма из U(Mo]) имеет вид axf+xffaifo +XfffafaXji). ( здесь и далее ( - линейная, L - квадратичная, - кубическая форма) . Приводя преобразованием переменных Хх f х3 и х к виду ьХ +СХ3Х4 » получим, что носитель формы с точностью до действия группы Вейля содержится в М0 Аналогично, u fM0 \ ЪС(М0 ) . Действительно, форма из K(M0Z ) имеет вид Лх +/(х Х3) + Хд (х/)Хз)+Х ХьХз) + + ЬХХ ; приводя преобразованием переменных Xi и Х3 / к виду, не содержащему X, , получим, что носитель преобразо-ванной исходной формы содержится в М0 . Итак, А/= 6 СМ03 ) , и следовательно, /V непривод-имо. Размерность /V находится по формуле где 1 - точка общего положения в 1(М0 ) , Тган (vyu) = - 0б ? І (см. [27]). б) . Найдем Pi = Г0 и G"i По теореме 2, Р„ = J ..,vGW(M U W . Множество 5Г( ) состоит только из многогранника - носителя формы X, + хАх3Х . Множество М. (i) состоит из двух многогранников Любая форма из Ц (Т/ ) приводится к виду с носителем размерности 4=.{. . Действительно, форма из и(Г ) имеет вид axf + х 0, (хг (х3 и эквивалентна либо ах} + ь xz х3 Х » либо axf -/ I xb Х . Любая форма из % f r/ ) приводится к виду с «CtKi кЫ 2 f . , либо к виду с Mm ubb V- - X i и (subbv)0 о Действительно, форма из iL(rJ ) имеет вид i(xi} ) -h 1(х х )ххх =z v -Бели t- о .то Ліw\ subj v= і; если t . о » то С преобразо ванием переменных X., и хА приводится к виду ах1 , а исходная форма - к виду /, (xuxA) + a x m sw/ / V" I, (suf p v) о . Отсюда следует, что e z 0 tic -страт (Г3 По определению, он состоит из всех орбит, в замыкании которых лежит орбита с конечным стабилизатором, то есть (Г3 состоит из всех замкнутых орбит с конечным стабилизатором. Так как стабилизатор точки общего положения конечен, то действие SL(4i: 23(СМ стабильно, и, следова1 тельно, (Ґ3 непусто и открыто в &3 ((С4у . См..[Г?] . Описание tk. -стратов- (Г0 и (у, а) . Замкнутые орбиты в 0 . Если V- sG t6v= Gv\ то существует VQ Q v/ , такой, что Suf j V- с Tf , то есть V- есть форма вида oLx} p Ххх3Х , сс р, Ф о . Форма о dx1 -f j3X x3x удовлетворяет М4 . Стабилизатор каждой точки v = ocxj + х х3х4 oitp o , есть А3 X Т , где А3 - группа четных перестановок Хх , Х3 , X/, , Тх = 1 яіоо (-f 3 } 3 J . Действительно, Q оставля t ет гессиан формы v H(v) = f ((. ) неподвижным. С точностью до числового множителя, H(V) = xtx,x, х, » поэтому G у. переставляет и умножает на числа координатные функции Отсюда 6-v имеет указанный вид. Шеем Z fn =""[" -16 и, пользуясь критерием замкнутости орбиты, получаем, что при лю-бых cLi & Ф о орбита точки oix + fi x A замкнута. б). Пусть ЯҐ: V — V/(S - факторный морфизм. Слои Т тг(х)) где У (Tf , неприводимы. Действительно, ЯГ ігІґ(х) = GV а где Кл р- {ve К( Н\, ) I коэффициент 25- при Х равен } а при хххъ Хл равен J3 3 - линейное многообразие в пространстве форм. в) . Слои У 9?(х) , где хє СГ, , б? -изоморфны. Это следует из того, что tk -страт G есть PL -страт. См. [14 3 Пусть X (Г., -точка xj +ххх3х/( ; Т(х) -касательное пространство к орбите этой точки, Т (х) с \/ ;N(x)-Q -инвариантное дополнение к Т(х) в V ; Z нуль-многообразие действия в N (х) . Тогда каждый слой5Г Т(гг)} 1г 6 (Г , (S -изоморфен б Z . См. [141 . В нашем случае Т(х) натянуто на векторы бЗх -Х2х3Х4) х Хз , х х х3,х Ч, W x х3 х3%,ад ,х,Ч, , а N (х) натянуто на векторы (х? -хгХ3Х4 , Х 2" Wi « , х , х3 j хР » причем, очевидно, эти векторы весовые для максимального тора Т с бх . Система весов в N(х) выглядит так: Нульмногообразие имеет вид Z. = t, &v 11 (М) ; с точно ЛІЄ Mo х стьго до действия группы Вейля существует только один многогранниі М G Л10 . Таким образом, Z состоит из трех неприводимых компонент, одна из которых натянута на векторы Х Х х , х , , а две другие получаются из нее заменой Х или Х -17 на Х% Предложение 4 .Существует биективный конечный мор$изм С 2Лж -,Пхї - (Г, , где X е (Г, . %г С как группа корней 8-й степени из І. Б частности, dim 5Г1ГМ = Ж СҐ - /« », С = /? . Доказательство. Мы докажем ниже, что отображение : х Яґ (ії(;х) —$ (Г, , заданное формулой (Л ) = А у } есть эпиморфизм, причем А1ч.1 - з.Н тогда и только тогда, ког да у = 9 ч ,& - і Отсюда следует существование биектив ного морфизма {1 : С -, v T(x) —? G J . Многообразие G\ / с аффинно, неприводимо и гладко, так как (Tf непри-водимо и аффинно ( П = р fs/ ,а А/ в Р, имеет коразмерность I и замкнуто ) и так как (Г, есть PL -страт. См. [ї4 . Морфизм / является изоморфизмом, так как он бирационален, сюръективен и Сь,/ нормально. Далее, Ч 1 переводит замкнутые орбиты в замкнутые, слои конечны (тривиальны ) и / конечно (изоморфизм) . Отсюда следует, что ( 1 конечно (см. [ж] ). Докажем сформулированные выше свойства .Так как форма обх1 + 2 3 эквивалентна 0.( + х х ) для некоторого &- , то Ч - эпиморфизм. Так как переставляет слои, и, следовательно, замкнутые орбиты, то для доказательства второ го свойства достаточно рассмотреть случай, когда У? = +) Хл . Но любой элемент нормализатора этой точки представляется в виде y (&B) t или 1Ъ(УЁ) і , где »і - четная перестанов ка нижних трех строк матрицы, »v - нечетная, &4= 1 , У =-/ "t =" l x Доказательство закончено. Как векторное пространство, [S] -А @ А » гДе о " пространство симметрических многочленов степени 2\С}1С Ол1}1 А,, натянуто на однородные многочлены вида F-y-. , где d-ег F= %к+А , к-ол ... V- - определитель Вандермонда от с S - симметрический многочлен ОТ С: . Предложение 2. Множество точек 1/ , орбита которых не пересекает 0 , есть гиперповерхность J.—oJ а V. Доказательство. Морфизм Т . /ц ; S0/(-{ — V/ биращонален, слои его тривиальны, Г0/н и V/ нормальны и неприводимы, значит, 9TL /ц - открытое вложение. Допол нение к образу имеет несмешанную коразмерность I так как S0 аффинно. Пусть р - о 3 - какая-то компонента дополнения. (Г инвариант G } .Тогда {F = o3 П SO S Но ввиду того, что множество { р _ = о J коразмерности I в о и Н -инвариантно, то {FL-oi - {ї -о] . Поэтому (теорема о нулях) F]T = j/1 .Так как f I— j с CLV3 — С [Sl -вложение, то F = Т-Ао У е в С t V 3 Но Гх неприводим, так как это /-/ -инвари антный многочлен наименьшей степени, обращающийся в нуль только на 5 \ So Предложение доказано. 5. Сечение Si $ Нетрудно показать, что орбиты открытого множества точек S і 3 пересекают SA . Действительно, приводам форму C y -fC X преобразованием переменных Xf и Хд к виду Х Х +С Х и затем нормируем Х- . Значит, S - сечение. Предложение 3. Сечение Si пересекает орбиты открытого множества точек гиперповерхности 1 1лп = 0 J а V . Доказательство. Пусть П = {34-,Хі Хд + З Л aSYS J гиперплоскость в 1 . Размерность G П находится по фор муле C(LYY\G + dim П -dim Ttayy (v-0 П ) - і в , где Тгал(тг0)П)= {.в(Я I Jv-0 П j . см. [27] , U0 - точка об щего положения в П Гессиан формы — За Х Хч + с зх3 " + З4 XL, + ,5 1 П » где все af О , с точностью до чис лового множителя равен И (f) = xf С з хЗ" зхг+ Л з)4 + 3X X5- (З.х1 -Х%) ( здесь - = /a-L ). . На открытом множе стве /Ц , где у- ф о t ( =3,4,5, уравнение поверхности \J(f) =0 есть х} (d X d X + J X 1 )+Лх1-Х1 = о . Координаты особых точек H(f) -О в А4 удовлетворяют уравнениям: Система имеет решение, только если 3 н- і ( ) = О . Особыми точками /-/ ("X] = о на дополнении к М являются 7 точек Х1=Х-=Х;=0 Х, = Х/=Хс=о »и только они. Действи-тельно, координаты особых точек (-i(f)-o » лежащих в плоскости Х3 — о , удовлетворяют уравнениям Отсюда X X -0 , t= 2,4 или 5, или x =x -=o Аналогично находятся особые точки Н (f) = о , лежащие в плоскостях. Х = о и Х5- = о . Итак, особыми точками гессиана поверхности из открытого подмножества Л являются 7 точек - 1 = ]- -Y = Xs-o0 и только они. Таким образом, орбиты соответствующих точек П не пересекаются с S » т0 есть эти точки лежат в Г -о} . Следовательно, Q-fl = {lz0 — J : . Предложение доказано. Замечание. Геометрический смысл { J, = о } - вырождение пятигранника Сильвестра. 6. Регулярные инварианты. Ввиду следствия I имеет место вложение C[Sj С С (V) J то есть любой Н -инвариант Р на определяет ращ ональную функцию на V по формуле F6?s} = F(s) Для S $ , S У . Имеем F = R 1 » гДе Не ( [V 3 ( предложение 3 ) . Предложение 4. Пусть р - Ц -инвариант на S То-гда Рб (С v] тогда и только тогда, когда F регулярен на С, Доказательство. Пусть р регулярен на S± Тогда F регулярен на открытом множестве точек поверхности J. = о J (предложение 4") ; в то же время F с = F регулярен, поэ тому дивизор полюсов F содержится в {Т о- о } ( предло жение 3 ) . Поэтому F регулярен на V Предложение доказа но. Следствие 2. С [v3 {РёбГИИ \ р регулярна на S-, }. 7. Функции перехода от SA к S . Пусть а.- - координаты в , - координаты в S . Пусть X Si Выразим Q как, вообще говоря, многознач ные функции от а,- , полагая С; (Q;\ = { і -я координата пред ставителя Qx в S J , где a-, - координаты X в 5 . Если F С CS] , то р (V. fq .)) : будет однознач ной рациональной функцией на S , равной F I с . Пусть Х= 3 1 + vI 3xi + 3-%(Xt+...+X4feSt . Преобразованием переменных вида ас? (Х 4- 4 Л 4 =1 приводим форму х к виду эту форму преобразованием переменных вида х1 - х А - х/ х1= х1 +ха, j з = хз )- 4 = 4 » приводим к виду х13 + 4 + алх + х,3 -.«±1 +i)х, +(- A)xi+f3xs f; эту форму преобразованием переменных вида Л{ад (ЯҐ ЯҐ ЯҐ (Г )» приводим к виду Изучены свойства двух сечении (линейных под пространств, трансвереально пересекающих орбиту точки общего положения ) в пространстве S ( ) » при помощи чего получено описание алгебры инвариантов кватернарных кубических форм. Кроме того, перечислены все пары (п ,t , для которых алгебра инвариантов к, -арных форм степени t является полным пересечением. Оказывается, что одним из трех случаев, когда алгебра инвариантов форм не свободна, но является полным пересечением, является случай кватернарных кубических форм. Два других - бинарные формы пятой и шестой степени. Дадим очерк истории вопроса. В 1861 году Сальмон . 20 , Г21 нашел шесть инвариантов кватернарных кубических форм (пять из которых алгебраически независимы ) , связанных одним соотношением. Параллельно с Сальмоном пять из этих шести инвариантов были найдены также Клебшем [ll \ . При этом Сальмон использовал результат Сильвестра о том, что кубическая форма общего положения представляется в виде суммы кубов пяти линейных форм. Нужно отметить, что классики считали, что любая неособая (то есть задающая неособую кубическую поверхность в Р ) кубическая сРорма представляется в таком виде. Это не так, см. главу II. Хотя найденная Сальмоном система инвариантов является полной (любой инвариант выражается как многочлен от найденных4) , Сальмон полноты не доказывает, а приводит более слабое утверждение, что лю -4 бой инвариант есть функция /которая может содержать дроби и дробные показатели степени, то есть, вообще говоря, неоднозначная) от найденных. В 1932 году Юнг [зіЗ » используя свой метод диаграмм и символический метод, независимо от Сальмона нашел те же шесть инвариантов и доказал, что эта система инвариантов полна. Правда, Юнгу не удалось доказать, что один из инвариантов, Ъ , отличен от нуля. Это легко следует из работы Сальмона, который вычислил значения инвариантов на кубической скорме, приведенной к каноническо "" му виду Сильвестра = 21 С; Xt- , Кс-=-Х. Yi . Эдж [30J пишет, 1=( что впоследствии Юнг узнал об этой работе. Попытка классификации кватернарных кубических форм необщего положения была предпринята Пуанкаре в работе JJC8} . Метод Пуанкаре состоял в том, чтобы классифицировать формы из пространства неподвижных точек данного полупростого элемента группы SL(4). Однако он полностью реализовал эту идею лишь для тернарных форм. Классификация всех особых кватернарных кубических форм, или, эквивалентно, всех особых кубических поверхностей была получена Шлефли. в работе [22J , а также Кали в работе jjo] С точки зре-ния современной теории особенностей [і] ЭТИ результаты были проинтерпретированы Брюсом и Уоллом в работе [б] . Кубические поверхности с нетривиальной группой проективных автоморфизмов изучались Бобеком в работах [32] , [зз] 0н нашел все возможные порядки проективных автоморфизмов неособых кубик, описал конфигурацию прямых на таких кубиках и нашел такие группы автоморфизмов, которыми обладает или единственная кубика, или од-нопараметрическое семейство кубик. Перейдем к формулировке основных результатов диссертации. Диссертация содержит три главы. В первой главе находится страти фикация Пале-Луны пространства кватернарных кубических форм относительно естественного действия группы SL (4 ) ; в основу положена идея, принадлежащая Пуанкаре При этом используется техника, разработанная в статьях Э.Б.Бинберга [7] и Д.Луны [l4] . Основные результаты главы опубликованы в работе [4] . Дадим важнейшие определения и зафиксируем основные обозначения. Пусть (J QL (V) - представление редуктивной алгебраической группы над полем С комплексных чисел. Если V V , то пусть Q v - орбита точки 1ґ , Q V- - ее замыкание, Q - стационарная подгруппа точки v . Для всякого V& V определим вектор V в V как представитель единственной замк нутой орбиты, лежащей в &1У . Тогда класс сопряженности под группы 6,1. в G, определен однозначно. Определение I. Страт Пале-Луны (короче: PL -страт) есть множество (v.\/ \ G\y. сопряжена Н , где Н - фиксированная редуктивная подгруппа ( } . Эквивалентное определение дано в работе [l4] , аналогичным понятием в случае компактной группы преобразований пользовался Пале в работе Гібі .Случай G»SLOrt,V=SS(
Описание *bV. -стратов G^ и G^
Морфизм 9Г[$ : S —* V/S
Функции перехода от < к 5