Содержание к диссертации
Введение
1 Теорема жесткости по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц. 13
1.1 Жесткость Гельдера для совокупности всех квадратных матриц над телом 13
1.1.1 Нормирование и примеры 13
1.1.2 (Ci, ()-нормирования по Гельдеру. 16
1.1.3 Жесткость по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц 22
1.2 Существование (Сі, Сг)—нормирования па объединении колец матриц R = [JZoM^(D) 29
1.2.1 (Сі, Сг)—нормирования 29
1.2.2 (Сі, С2)-нормирование на кольце 30
1.3 Жесткость Гельдера для колец О ре. 33
1.3.1 Кольца Оре 33
1.3.2 Теорема о жесткости по Гельдеру для колец Ope 35
2 Теорема о жесткости по Гельдеру для пространственных матриц 40
2.1 Жесткость Гельдера для кубических матриц 40
2.1.1 Кубические матрицы 40
2.1.2 Детерминант кубической матрицы 44
2.1.3 Операции над кубическими матрицами 49
2.1.4 Нормирования на кубических матрицах.' 56
2.2 Жесткость Гельдера для пространственных матриц 65
2.2.1 Пространственные матрицы 65
2.2.2 Детерминант пространственной матрицы 68
2.2.3 Операции над пространственными матрицами 74
2.2.4 Нормирования на пространственных матрицах 77
Заключение 80
Литратура 82
- Существование (Сі, Сг)—нормирования па объединении колец матриц R = [JZoM^(D)
- Теорема о жесткости по Гельдеру для колец Ope
- Операции над кубическими матрицами
- Операции над пространственными матрицами
Введение к работе
Нормирования играют важную роль в теории полей, тел и колец. В этой области известны результаты О. Ф. Г. Шиллинга, П. М. Кона, М. Махдави Хезавеии, Ю.Л. Ершова, Н.Е. Дубровина, Е. Гарсиа и многих других. Понятие нормирования тела были впервые рассмотрены в 1945 году О. Ф. Г. Шиллингом ([20]). В [9] и [11]) это понятие расширено П. М. Коном для колец квадратных матриц над телом D. Для определения нормирования над телами частных нам полезно относительно матричное нормирование. Идея матричного нормирования была развита М. Махдави Хезавеии в [14,15,16].
Пусть R — кольцо. В [17] Гарсиа определил (Сі, СУ-нормирование Гель-дера на кольце R и доказал, что (Сі,Сг)-нормирование Гельдера на коммутативном кольце R (Cf, а)-эквивалентно по Гельдеру некоторому классическому нормированию, где Сі, Сі > 1 и a = (log(2Ci))-1.
Определение. Пусть R — поле действительных чисел, Ci,( > 1. Под (Сі,С2)-нормиров(тием по Гельдеру па совокупности всех квадрат-пых матриц M(D) над телом D понимается отображение [ \:M{D) —у RU {со}, удовлетворяющее следующим условиям: если Л є M„(D) и г(А) < п, то | А |= со; если А, В Mn{D)} 1 < j < n, Bj = —Aj, и Д = A{ для і ф j, 1 < і < п, то | А |=| В | ; если А, В Є Mn(D) и детерминантная сумма A\J В определена, то І А^В\>С2тт{\А\,\В\};
4. для любых А Є Mn(D), В Є Mm(D):
СГЧІ А | + | В |) <| А Є В |< СіСІ Л | + | В |);
5. I I \= 0, где I — единичная матрица.
Замечание. (1,1)-нормирование по Гельдеру является классическим нормированием.
Теорема (Жесткость по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц).
Пусть \ |i: M(D) —ї RU{oo} — {Сі^С^-пормирование no Гельдеру на совокупности всех квадратных матриц M{D), где С\ > 1, ( > 1. Тогда существует нормирование \ А |г ш M(D), которое (2, а)-эквивалентно по Гельдеру нормированию | [і, где а = (log2{2Ci))~~l.
В диссертация расмотрены свойства нормирований по Гельдеру над кольцами и телами, для колец квадратных матриц порядка п над телом D, для множества кубических матриц порядка п, а также пространственных матриц порядка п над полем Р.
Доказаны структурные теоремы жесткости Гельдера для этих алгебраических систем.
Цель работы. Изучение свойств матричных нормирований и жесткости по Гельдеру для нормирований Гельдера: для совокупности всех квадратных матриц над телом; для совокупности всех кубических матриц над полем; для пространственных матриц над полем; для колец Оре.
Методы исследований. В диссертации используются методы теории матриц, линейной алгебры, теории колец и теории нормирований колец.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Основными результатами являются следующие: : исследованы матричные нормирования и (Сі, С2)-нормировапия по Гельдеру для совокупности матриц (квадратных, кубических и пространственных); ^ доказана жесткость по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц; исследоваЕіьі (Сі, ()-нормирования на классах простых регулярных колец; доказана жесткость по Гельдеру для кольца Оре; доказана жесткость по Гельдеру для совокупности всех кубических матриц над полем. доказана жесткость по Гельдеру для пространственных матриц порядка п над полем.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по структурной теории нормирований колец. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам и аспирантам, занимающимся теорией нормирований колец.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на международной алгебраической конференции в МГУ, а также на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [22] -[25].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из двух глав, содержащих пять параграфов. Все основные результаты (леммы, теоремы, следствия и т.п.) имеют тройной индекс: первое число указывает на номер главы, второе — на номер раздела, а третье — на номер соответствующего результата. Объем диссертации 84 страницы, список литературы содержит 25 наименований.
Содержание диссертации
Во введении изложены краткие сведения о нормированиях на кольце Л, на кольце матриц Mn{D) над телом D, структурная теорема жесткости Гельдера для совокупности всех квадратных матриц M(D) над телом D, а также приведены основные определения, утверждения и примеры.
Первая глава посвящена доказательству жесткости по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц M(D) над телом D, существования (Ci, Cq)— нормирования на кольце R = Uf^QM2i{D)> доказательству жесткости Гельдера для кольца Оре.
В параграфе 1.1 рассмотрены необходимые свойства нормирований на кольцах R, на кольцах матриц Mn(D) над телом D, а также приведено доказательство жесткости по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц.
В пункте 1.1.1 даются обозначения, определения и примеры.
В пункте 1.1.2 приведены примеры матричного нормирования и {Си Сг)—нормирования по Гельдеру на совокупности всех квадратных матриц M{D) над телом D.
В пункте 1.1.3 доказывается основная теорема первой главы диссертации:
Теорема. Пусть \ \и M{D) —> RU {оо} — [С\,()-нормирование по Гельдеру на совокупности всех квадратных матриц M{D), где С\ > 1) Сч > 1. Тогда существует нормирование \ А І2 на M(D), которое (2, а)-эквивалентно по Гельдеру нормированию | |i, где а — (/( (2Ci))-1.
Для доказательства утверждений этой главы используются следующее основные леммы и предложения.
Лемма. Отображение \ \$: M{D) —> RU{oo} с | А |з=| А |^ является (2, &)-нормированием по Гельдеру па M(D).
Предложение. Пусть \ A \i— lircin—юо (| Є?Л |з)1/,г . Тогда :
2-1\A\3<\A\2<2\A\z.
Предложение. Отображение | J: M(D) —> Ж U {со} с | А І2= limft юо(| ф"А |з)1//п является классическим нормированием на M(D) .
В параграфе 1.2 приведено доказательство существования (СьСг)-нормирования на кольце R = U^qM^D) при наличии (СьСг)-нормирования на теле >.
В параграфе 1.3 приведено доказательство жесткости по Гельдеру для колец Оре.
Теорема. Пусть Я — левая область Оре и \\ \\ — (CitC2)-пормировапие на R. Тогда существует классическое нормирование \ \ па R , которое (Cfa, а)-эквивалентно по Гелъдеру {С\,С2)-пормированию \\ ||> где а — {Іод2(р.С\Сї))~1. Таким образом, для х Є R имеем : Cf4a jl х \\а<\х\<С}а || х ||а.
Вторая глава посвящена доказательству жесткости по Гельдеру для совокупности всех кубических матриц и пространственных матриц порядка п над полем Р.
Параграф 2.1 посвящен изучению элементарных свойств для множества кубических матриц порядка п над нолем Р, а также доказательству жесткости по Гельдеру матриц этого вида.
В пункте 2.1.1 изучаются свойства кубических матриц порядка п над полем Р.
В пункте 2.1.2 приведено определение детерминанта кубических матриц порядка п над полем Р.
В пункте 2.1.3 определены основные операции на множестве кубических матриц порядка п над полем Р, даны примеры.
В пункте 2.1.4 определяется (Сі, Сг)—нормирование по Гельдеру для кубических матриц порядка п над полем Р и доказывается основная теорема второй главы диссертации:
Теорема (жесткость по Гельдеру для множестве кубических матриц). Пусть | |і: М^(Р) —> Ж U {со} - (СЪС2) -нормирование по Гельдеру на множестве кубических матриц М(Р), где С\ > 1,Сг > 1. Тогда существует классическое нормирование \ А |г на множестве кубических матриц М^\Р), которое (2, а)-эквивалентно по Гельдеру нормированию | |ь где а = (/052(200)-1.
Параграф 2.2 этой главы посвящен изучению свойств пространственных матриц порядка п над полем р, а также доказательству жесткости по Гельдеру для таких матриц.
В пункте 2.2.1 изучаются свойства пространственных матриц порядка п над полем р.
В пункте 2.2.2 указаны разные определения детерминанта пространственных матриц порядка п над полем Р.
В пункте 2.2.3 определены некоторые операции на пространственных матрицах порядка п над полем Р.
В пункте 2.2.4 определено (Сі, Сг) — нормирование по Гельдеру для пространственных матриц порядка п над полем Р, доказывается теорема жесткости по Гельдеру для таких матриц:
Теорема (жесткость по Гельдеру для пространственных матриц). Пусть \ |і: М^(Р) —> R U {сю} — (Сі, С2)-нормирование Гельдера на co- вокупности пространственных матрицах М^{Р), где СЬС2 > 1. Тогда существует классическое нормирование \ А |г на совокупности пространственных матриц М^{Р), которое (2, а)-эквивалентно по Гелъдеру нормированию | |і, где а = (1од2(2С{})~1.
Благодарность. Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.и. профессору А.В. Михалеву за постановку задач, постоянное внимание к работе, полезные советы, многочисленные обсуждения и комментарии, а также за теплое отношение, сделавшее совместную работу очень приятной. Автор благодарен А.Э. Гутерману и Е.И. Буниной за внимание к работе и за ценные советы по её улучшению.
Существование (Сі, Сг)—нормирования па объединении колец матриц R = [JZoM^(D)
Пусть D — тело и является (Сі,С2)-нормированием на D. С помошыо этого (Сі, Сі)— нормирования на D, по индукции, докажем, что существует (Сі, С2)—нормирование [2 на М2 (1?), для кождого і Є N . После этого будем строить (Сі, С2)—нормирование на объединении колец матриц R — U0M2,(L ). Пусть D — тело. В статье Гарсии ([17]) определено (Сі, С2)-пормирование Гельдера на коммутативном кольце R, и в этом случае доказан аналог теоремы Гельдера. В этом параграфе, для каждого (Сі, Сг)—нормирования ] на D, по индукции, докажем, что существует (Сі, Сг)—нормирование [г« на M2i(D), для всех і Є N . После этого будем строить (Сі, Сг)—нормирование imR = UZ0M2i(D). Определение 1.2.1 Пусть Сі 1, Сг 1 и R — кольцо с единицей. (Сі, Сг)-нормированием на R называется отображение , удовлетваряюшее следующим сиойстоам: 1) Для любого х Є R :[ х \= 0 & х = 0; 2) ДЛЯ любых ж,у R : х + у C d х + у ); 3) ДЛЯ любых х,у Є R: Cf1 х ] у ху Сі х \\ у . Замечание 1.2.1 На кольце R (1,1)-нормирование Гельдера совпадает с классическим нормированием Теорема 1.2.1 Допустим, что : \ \: D —У R+ U {0} является {Ci C2)-иормированиелі на теле D. Тогда на простом регулярном кольце R = U 0M2i( ) существует такое {С\,С2) —нормирование, совпадающиее с (Сі, С2) —нормированием І2 па M2 (D), для всех г N.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится ряд вспомогательных утверждений. Лемма 1.2.1 Пусть \ — (Сі, Ся)-нормирование па теле D. Тогда отоб-paoiceuue \ 0 а : А + В 2«+1= А2п + В2» 2 Таким образом, эта лемма доказана. Доказателство теоремы 1.2.1 Предположим, что отображение ] : и 0М2і(Г ) — К+ U {0} определено следующим образом : Так как для каждого числа і N U 0, по лемме 1.2.1, 2 является (Сі, С2)—нормированием на М2 ( ),.то все условия 1),2),3) справедливы. Следовательно, А является (Сі, С2)— нормированием на кольце Таким образом, доказателство теоремы закончено. В статье Гарсии ([17]) определено (Сі,С2)-нормироваиие по Гсльдеру на коммутативном кольце R, и в этом случае доказан аналог теоремы Гелдера. В этом раздеде укажем подходящие условия, при которых аналогичные результаты возможны и для ряда некоммутативных колец без делителей нуля, удовлетворяющих следующему условию: Va,6 Є R : Raf]Rb ф {0}, где R = R - {0}. Такое кольцо будем называть левым колбцом Оре.
Определение 1.3.1 Элемент кольца R называется регулярным, если он не является ни левым, пи правым делителем нуля. Определение 1.3.2 КОЛЬЦО Q(R) Э R называется левым кольцом част ных для кольца R, если: 1). каждый регулярный элемент из R обратим в Q(R); 2). каждый элемент х Q{R) представим в виде а 1Ь, где а,Ь Є R и а - регулярный элемент. Определение 1.3.3 Кольцо без делителей пуля называют левой областью Оре, если любой два ненулевые элемента имеют ненулевое общее левое кратное, это означает, что для всех а,Ъ Є R : Raf]Rb ф {0}. Замечание 1.3.1 Если кольцо частных Q(R) существует, то в силу регулярности элемента b существует элемент аЬ г Є Q{R). Представим его в виде b [la\, где а\,Ъ\ Є R и элемент Ь\ регулярен, тогда получим ab — 6j а\, откуда аф = h\a, т. е. кольцо R является левым кольцом Оре. Теперь предположим, что R является левым кольцом Оре. Пусть М = {(а, Ь)\а,Ь Є R,bрегулярен}. Определим вМотношение и, полагая (a,b) (с, d), если существуют такие элементы &i, di Є R что d\a = Ьіс, d\b = bid и &i регулярен. Покажем, что тогда элемент d\ также будет регулярным и что отношение (а, 6) и (с, d) не зависит от выбора регулярных элементов &i, di, удовлетворяющих условию d\b = bid. Ясно, что d\ не является правым делителем нуля в R. Далее, используя регулярность элемента d и условие Оре, выберем элементы &2i d2 Є R так, чтобы выполнялорь равенство d2& = b d и чтобы элемент d2 был регулярным. Тогда существуют такие элементы Єі,Є2 Є Я, что ефі — ефі и Є2 регулярен. Отсюда находим следовательно,е 1 = 62d2. Так как элементы ег регулярны, то из последнего равенства следует, что diHe является левым делителем нуля, т. е. d\ регулярен. Пусть теперь 2,d2 — произвольные регулярные элементы, удовлетворяющие условию d2 = 62- Повторяя те же рассуждения, получим равенства с\Ь1 = еф2, ejdi = e2d2 для некоторых регулярных элементов еі,Є2. Отсюда Следовательно, d a = 62с Введенное отношение на М является отношением эквивалентности. Класс эквивалентности, которому принадлежит пара (а, Ь) обозначим через а/Ь. Пусть М - множество классов эквивалентности множества М; определим иаМ операции, которые превращают это множество в кольцо. Если a/b, c/d Є М, то положим a/b + c/d — {d\a + b]c)/(iid), где d\b — b\d и оба элемента bi,di регулярны. Аналогично определим (a/b)(c/d) — (a\c)/gib, где дій = aid и элемент /i регулярен. Можно проверить, что эти операции определены корректно и что М относительно этих операций оказывается ассоциативным кольцом. Если елементы кольца it! отождествить с их образами при каноническом вложении R —У М{а і—У ba/b), то для елемента a/b М будем иметь а/Ь &-1а. Следовательно, это кольцо удовлетио-ряет всем требованиям, предъявляемым к кольцу Q(R). Таким образом будем иметь следующую теорему. Теорема 1.3.1 Для того, чтобы кольцо R имело левое кольцо частных,
Теорема о жесткости по Гельдеру для колец Ope
Теорема 1.3.2 Пусть R — тело и : R —э- R U {0} - (Ci,C2) нормирование па R. Тогда существует классическое нормирование на R , которое (Cf,a)— эквивалентно по Гелъдеру (Ci, ()-нормированию j, где а = (о 5г2(2С2))-1 (т. е. для жй: Cf Л II з Г ж 1 Cf j re а (См. [17}))П Пусть теперь R — левая область Орс и является (Сі Сг)-нормированием на R. По Лемме 1.3.1, отображение II :D RU{0} IMI„ = \ШМЬ)\1 = IN і 11 11. Для всух х Є D, является (Cf, CJC2)-нормировании на теле D, Так как D = Qip(R) является телом, то по теореме 1.3.2 существует классическое нормирование 1 на D , которая (Cia, а)— эквивалентно по Гельдеру (Cf, С Сг)-нормированию р, где а — ( 0(/2(20))-1 (т. е. для всех х Є D : сґвміг м іі ііг. (її)) Предложение 1.3.1 Отображение : Л -4 IU {0}, t = p(t) \v, является классическим нормированием на R. Доказательство. Проверим условия 1) — 3) классического нормирования. 1) t = 0 4t (p(t) р= О & ip(t) = О 4 t = 0, так как отображение р — ипъективно. 2) Если t, s Є Я, то : t + s 1-І p(t + s) 1,,=1 ip(t) + p(s) \v p(t) \v+ p{s) IH 1 +) Если t, s Є R, то : I s 1=1 ( ) \v=\ tp(t) p{s) ,= 95(i) v p(s) \v=\ t\\s\. Неравенства (11) и определение j і = p{t) v показывают, что : Лемма 1.3.2 Vi Є Л : Cf4a а [ С4а і а . Теорема 1.3.3 Пусть и : R —э- R U {0} - (Ci,C2) нормирование па R. Тогда существует классическое нормирование на R , которое (Cf,a)— эквивалентно по Гелъдеру (Ci, ()-нормированию j, где а = (о 5г2(2С2))-1 (т. е. для жй: Cf Л II з Г ж 1 Cf j re а (См. [17}))П Пусть теперь R — левая область Орс и является (Сі Сг)-нормированием на R. По Лемме 1.3.1, отображение II :D RU{0} IMI„ = \ШМЬ)\1 = IN і 11 11. Для всух х Є D, является (Cf, CJC2)-нормировании на теле D, Так как D = Qip(R) является телом, то по теореме 1.3.2 существует классическое нормирование 1 на D , которая (Cia, а)— эквивалентно по Гельдеру (Cf, С Сг)-нормированию р, где а — ( 0(/2(20))-1 (т. е. для всех х Є D : сґвміг м іі ііг. (її)) Предложение 1.3.1 Отображение : Л -4 IU {0}, t = p(t) \v, является классическим нормированием на R. Доказательство. Проверим условия 1) — 3) классического нормирования. 1) t = 0 4t (p(t) р= О & ip(t) = О 4 t = 0, так как отображение р — ипъективно. 2) Если t, s Є Я, то : t + s 1-І p(t + s) 1,,=1 ip(t) + p(s) \v p(t) \v+ p{s) IH 1 +) Если t, s Є R, то : I s 1=1 ( ) \v=\ tp(t) p{s) ,= 95(i) v p(s) \v=\ t\\s\. Неравенства (11) и определение j і = p{t) v показывают, что : Лемма 1.3.2 Vi Є Л : Cf4a а [ С4а і а . Теорема 1.3.3 Пусть R — левая область Opt и - (Сі, Сг) пормирование на R. Тогда существует классическое нормирование \ \ па R , которое (Сfa, а)-эквивалентно по Гельдеру (Сі, С )-нормированию 7 где а = (/052(2С12С2))-1 (т. е. для всех х Є R : Cf4a ж а ж СЇ II Г) 14 Доказательство.
По лемме 1.3.1, v : D — Е U {0}, \\х\\ = \\ p(a)/ p(b)\\ = а/))&[[, является (С , С Сч)- нор мировая им на теле D. По теореме 1.3.2, существует классическое нормирование на D. По Предложению 1.3.1, [ t = ip{t) является классическим нормированием на R. По лемме 1.3.2, (Cfa,си)—эквивалентно по Гельдсру {СІ СЇ)-нормированию , где а = {1о92{ С\С2)) 1. Это завершает доказательсво теоремы. Определение 2.1.1.Пусть дано некоторое числовое поле Р. Всякая система из н3 элементов Ai,j,k(hj, k = 1, 2,..., її) поля Р определямых координатами i}jt к, называется трехмерной (кубической) матриг ей П-го порлка над Р и обозначается сокращенно символом \\Aijk\\ (i,j, = 1,2, ...,«) (1) Так, например, система 2і элементов Aijk{i,j,k R — левая область Opt и - (Сі, Сг) пормирование на R. Тогда существует классическое нормирование \ \ па R , которое (Сfa, а)-эквивалентно по Гельдеру (Сі, С )-нормированию 7 где а = (/052(2С12С2))-1 (т. е. для всех х Є R : Cf4a ж а ж СЇ II Г) 14 Доказательство. По лемме 1.3.1, v : D — Е U {0}, \\х\\ = \\ p(a)/ p(b)\\ = а/))&[[, является (С , С Сч)- нор мировая им на теле D. По теореме 1.3.2, существует классическое нормирование на D. По Предложению 1.3.1, [ t = ip{t) является классическим нормированием на R. По лемме 1.3.2, (Cfa,си)—эквивалентно по Гельдсру {СІ СЇ)-нормированию , где а = {1о92{ С\С2)) 1. Это завершает доказательсво теоремы. Определение 2.1.1.Пусть дано некоторое числовое поле Р. Всякая система из н3 элементов Ai,j,k(hj, k = 1, 2,..., її) поля Р определямых координатами i}jt к, называется трехмерной (кубической) матриг ей П-го порлка над Р и обозначается сокращенно символом \\Aijk\\ (i,j, = 1,2, ...,«) (1) Так, например, система 2і элементов Aijk{i,j,k = 1,2) поля Р, расположенных и виде куба t jif і і
Операции над кубическими матрицами
Свойство I. Трехмерный детерминант равен нулю, если одно из его простых сечений состоит из нулей (каждый член трехмерного детерминанта, в котором одно простое сечение состоит из нулей, входит один элемент из этого сечения). Свойство II. Детерминанты кубической матрицы А связаны с детерминантами транспонированной матрицы А 1 по двум индексам г, j, следующими соотношениями: где в каждом из равенств многоточиями заменены части сигнатур, не отличающиеся друг от друга. Действительно, для каждой пары элементов трехмерных n-го порядка матриц А и А(г,Я имеем: и все трапсвсрсали транспонированной матрицы А 1 получающейся из А путем замена соответственными сечениями ориентации (г) и (j), находятся среди трансверсалей исходной матрицы А. Наоборот, каждая трансверсаль матрицы А является трансверсалью матрицы А \ Таким образом, каждый член данного детерминанта матрицы А будет иметь равный себе член среди членов детерминанта матрицы А \ обладающего такой же сигнатурой, как и данный детерминант, или отличающейся от нее лишь знаками над индексами і и j, смотря по тому, имеют ли индексы і и j один и тот же или противоположный характер. Так как в каждом из рассматриваемых детерминантов все члены различны, а число их одно и то же, то эти детерминанты равны. Свойство III. От перестановки двух простых сечений одной и той же ориентации трехмерный детерминант не меняется, если ориентация неальтернативная, и меняет знак, если ориентация альтернативная. Свойство IV. Трехмерный детерминант не меняется от одинакового числа перестановок простых сечений каждой ориентации, Свойство V. Если в трехмерном детерминанте два простых сечения одной и той же ориентации одинаковы, то этот детерминант будет равен нулю, если ориентация альтернативная (и не обязам равней нулю, если ориентация неалътернатавная). Свойство VI. Если все элементы какого-либо простого сечения в трехмерном детерминанте умножить на некоторое число, то сам детерминант умножится на это число. Действительно, пусть все элементы некоторого простого сечения в трехмерном детерминанте умножены на число г. В каждый член детерминанта должен войти сомножителем один элемент рассматриваемого сечения, а следовательно, и число г, т. е. сам детерминант умножается па г. Это свойство допускает и такую формулировку: общий множитель всех элементов какого-либо простого сечения в трехмерном детерминанте можно вынести за знак, детерминанта. Свойство VII. Если в трехмерном детерминанте два простые сечения одной и той же ориентации пропорциональны, то этот детерминант будет равен нулю, если ориентация — альтернативная (и не будет необходимо равным нулю, если ориентация — неалътернативная). В самом деле, пусть в рассматриваемом трехмерном детерминанте элементы некоторого простого сечения какой-нибудь ориентации отличаются от соответственных элементов другого сечения той же ориентации одним и тем же множителем г. Вынося тогда, согласно свойству VI, общий множитель г за знак детерминанта, мы получим детерминант, в котором два простые сечения одной и той же ориентации одинаковы и к которому, следовательно, применимо свойство V. Замечание 2.1.1
Свойство V, а также свойство I являются, очевидно, частными случаями свойства VII, Свойство VIII. Если в трехмерном детерминанте п-го порядка каждый элемент некоторого простого сечения какой-нибудь ориентации, например -и-го (1 v п) сечения ориентации («), представлен в виде алгебраической суммы некоторого числа h слагаемых, т. е. то этот детерминант равен сумме h косигнатурных детерминантов, в которых все сечения ориентации (г), кроме и-го, такие же, как и в данном детерминанте, а и-е сечение в /1-м (1 v п) детерминанте состоит из элементов Л » ,,). Свойство IX. Если одно из простых сечений какой-нибудь ориентации в трехмерном детерминанорте есть линейная комбинация его других сечений той же ориентации, то детерминант будет равен нулю, если ориентация — альтернативная (и не обязательно равным нулю, если ориентация — неальтернативная). Следующее свойство, указанное Гегенбауером [19] , является обобщением теоремы Якоби, относящейся к обычным детерминантам. Свойство X. Если в трехмерном детерминанте к некоторому простому сечению какой-нибудь орентации прибавляется другое сечение той же ориентации, умноженное на какое-либо число, то детерминант не меняет
Операции над пространственными матрицами
Кождую пространственную матрицу с соответствующими пространственными матрицами Тогда матрицы Л и Л называются тооюдественно равными, если они одного и того оісс порядка и их соответственные элементы одинаковы, т. е. если Пространственная матрица В = г А называется произведением матрица А на число г. Замечание 2.2.4 Вместо А + (—В) будем сокращенно писать А — В и называть это выражение разностью матриц А и В. В [3] показана, что умножение по одному какому-либо индексу кубической матрицы п-го порядка на несколько квадратных матриц того же порядка равносильно умножению по тому же индексу кубический матрицы на квадратную, являющуюся призведением данных квадратных матриц. Аналогично получим следующее следствие. Следствие 2.2.7 (Произведение по какому-нибудь индексу пространственной ма-трицей А на квадратную матрицу а). n-го порядка А = \\АііІ2„Лр\\ (гьг2, -,гР = 1, 2, ...,п) над полем Р через обозначим с Мп(Р) = Мп „;П(Р). Определение 2.2.10 Диагональную сумму двух пространственных матрицах А Є MS?\P) и В Є М}(Р) определим как Определение 2.2.11 Допустим, что для двух матриц А = \\- ІІІ2-ІР\\ t В = Д-,г2..Лр Є Мп (Р) все их сечения ориентации (й), кроме s-того сечения ориентации (г і), совпадают, т. е. Ад ,,, = В\ ..лр для (Х,І2,\..,ір = 1,2, ...,п) и Хф г і. Тогда определим (детермипантная сумма по s-тому сеченему ориентации (і\)). Замечание 2.2.5 Аналогично MODICUO определить детерминантную сумму по s-тому сеченему ориентации (it), (2 t р)), для двух матриц А,ВЄМ (Р). Определение 2.2.12 Нормированием на совокупности пространственных матриц М (Р) над полем Р называется отображение \:М&\Р) —У Ж U {оо}; удовлетворяющее следующим условиям : 1) если А = А,- г.,л- II б Мп (Р) и А — вырожденная, то J А \= оо ; 2) если А = \\Аі1І2..Лр\\,В= \\Bili2tJp\\ Є М (Р), 1 А п, В\І2...ІР = -АХІ2...ІР и ВІ1І2-„ІР = АІ 2ІШШІР для if ) 1 S 2i ) S , mo A = \B\ ; 3) если A = ЦА .-лЛ # = iji2...ip Є Mn{P) и детермииантиая сумма A\j В определена, то \ А\? В \ min{\ А \, В }; 4) для любых А = ЛМз.„ , Є М Р), = s.V2-..iJI є М СР) ; t 5) / j= О, где I == Jn Є Мп (Р) — единичная пространственная матрица. Определение 2.2.13 Пусть С\,С2 1. Тогда {С С -нормированием на совокупности пространственных матриц сеченему ориентации (і\)). Замечание 2.2.5 Аналогично MODICUO определить детерминантную сумму по s-тому сеченему ориентации (it), (2 t р)), для двух матриц А,ВЄМ (Р). Определение 2.2.12 Нормированием на совокупности пространственных матриц М (Р) над полем Р называется отображение \:М&\Р) —У Ж U {оо}; удовлетворяющее следующим условиям : 1) если А = А,- г.,л- II б Мп (Р) и А — вырожденная, то J А \= оо ; 2) если А = \\Аі1І2..Лр\\,В= \\Bili2tJp\\ Є М (Р), 1 А п, В\І2...ІР = -АХІ2...ІР и ВІ1І2-„ІР = АІ 2ІШШІР для if ) 1 S 2i ) S , mo A = \B\ ; 3) если A = ЦА .-лЛ # = iji2...ip Є Mn{P) и детермииантиая сумма A\j В определена, то \ А\? В \ min{\ А \, В }; 4) для любых А = ЛМз.„ , Є М Р), = s.V2-..iJI є М СР) ; t 5) / j= О, где I == Jn Є Мп (Р) — единичная пространственная матрица. Определение 2.2.13
Пусть С\,С2 1. Тогда {С С -нормированием на совокупности пространственных матриц М&\Р) над полем Р называется отображение удовлетворяющее следующим условиялі : 1) если А = Л іі2...ір Є Мп (Р) и А — вирооїсденная, то \ А\= оо ; 2) если А = 4А..л, . = s i 2...«J Є М,{р)(Р); 1 А n, B\i2-..ip = Axi2„,jp, « -D ia—jp = Ajjig.,, УЛЛ г ф л, І г2і --) ) mo І А = В [ ; 3) если A = Ц-А .,. ]), І? = -В ,-2.,.,-р Є Мп(Р) и детерминаитная сумма А\7 В определена, то 4) для любых А = \\АІІІ2..Лр\\ Є л4р)(Р), В = ВМа... ; Є М$(Р) : 5) I I \ О, где J = In Є Mn (P) — единичная пространственная матрица. Замечание 2.2.6 Отметим, что (1,1)-нормирование на совокупности пространственных матриц М (Р) над полем Р является классическим нормированием. Пусть J i, [2 — нормирования на совокупности пространственных матриц М (Р) над полем Р. Тогда говорим, что они являются (CQ, а)-эквивалентнымщ если : Со-1 І А І2 1 & \\ Со ( Л f, для всех А в М Р)(Р). Используя детерминантной и диагональной суммы кубических матриц вместо соответствующих операций для обычных матриц полностью аналогично теореме 2.1.1 доказывается следующая : Теорема 2.2.1 (Жесткость по Гельдеру для пространственных матриц). Пусть i: М \Р) —V RU {со} — (Сі, С?) -нормирование Гельдера на совокупности пространственных лштриц ММ(Р), где СЪС2 1. Тогда существует классическое нормирование \ А г па совокупности простран ственных матриц которое (2, а)-эквивалентно М&\Р) над полем Р называется отображение удовлетворяющее следующим условиялі : 1) если А = Л іі2...ір Є Мп (Р) и А — вирооїсденная, то \ А\= оо ; 2) если А = 4А..л, . = s i 2...«J Є М,{р)(Р); 1 А n, B\i2-..ip = Axi2„,jp, « -D ia—jp = Ajjig.,, УЛЛ г ф л, І г2і --) ) mo І А = В [ ; 3) если A = Ц-А .,. ]), І? = -В ,-2.,.,-р Є Мп(Р) и детерминаитная сумма А\7 В определена, то 4) для любых А = \\АІІІ2..Лр\\ Є л4р)(Р), В = ВМа... ; Є М$(Р) : 5) I I \ О, где J = In Є Mn (P) — единичная пространственная матрица. Замечание 2.2.6 Отметим, что (1,1)-нормирование на совокупности пространственных матриц М (Р) над полем Р является классическим нормированием. Пусть J i, [2 — нормирования на совокупности пространственных матриц М (Р) над полем Р. Тогда говорим, что они являются (CQ, а)-эквивалентнымщ если : Со-1 І А І2 1 & \\ Со ( Л f, для всех А в М Р)(Р). Используя детерминантной и диагональной суммы кубических матриц вместо соответствующих операций для обычных матриц полностью аналогично теореме 2.1.1 доказывается следующая : Теорема 2.2.1 (Жесткость по Гельдеру для пространственных матриц). Пусть i: М \Р) —V RU {со} — (Сі, С?) -нормирование Гельдера на совокупности пространственных лштриц ММ(Р), где СЪС2 1. Тогда существует классическое нормирование \ А г па совокупности простран ственных матриц которое (2, а)-эквивалентно по Гелъдеру нор мированию 1; где а = (log2(2Ci)) 1. D