Введение к работе
Актуальность течи диссертации. Тема предлагаемой диссертационной работы связана,с одной стороны, с изучением групп с заданной системой подгрупп, а с другой - с описанием выделенных классов групп через подпрямые произведения групп, имеющих достаточно простое строение.
Изучение групп с заданной системой подгрупп определяет в настоящее время одно из перспективных направлений в развитии теории групп. В результате такого рода исследований были выделены и детально описаны многие классы групп, без которых нельзя представить современную теорию групп: группы Дедекинда, группы Фробениуса, группы ПМидта, вполне факторизуемые группы, t-грушш и так далее. Вместе с тем это направление обогатило абстрактную теорию групп важными общими результатами. Отмечая важность таких исследований, С.Н.Черников в монографии "Группы с заданными свойствами системы подгрупп" подчеркивает: "Выделение и конструктивное описание всех типов групп, в которых система подгрупп должна иметь заданные свойства, является главной целью исследований в рассматриваемом направлении". Этой целью и определяется содержание диссертационной работы.
Большое внимание в изучении групп с заданной системой подгрупп уделяется исследованию групп, в которых на некоторую систему подгрупп накладывается либо условие дополняемости, либо условие нормальности. Такими исследованиями занимались С.А.Чунихин, С.Н.Черников, Н.В.Черникова, Ю.М.Горчаков, Л.А.Шеметков, Д.И.Зайцев, Я.Г.Веркович, М.М.Каргаполов, В.А.Ведерников, С.А.Русаков, Ф.Холл, В.Гашюц, Б.Хупперт, Ц.Ян-ко и другие алгебраисты.
Известно, что любую конечную группу можно представить в виде подпрямого произведения групп, неразложимых в такое произведение. Поэтому конструктивное описание групп, неразложимых в подпрямое произведение,и полное описание классов групп через подпрямые произведения групп с хорошо изученными свойствами составляет одно из важнейших направлений в изучении прямых произведений групп. Прямые и подпрямые произведения постоянно привлекали и привлекают внимание многих алгебраистов. Интен-
4 -сивше исследования последних десятилетий классов групп, замкнутых относительно гомоморфных образов и подпрямых произведений, привели к возникновению теории формаций групп. Значительные результаты в исследовании этих произведений получены О.Ю.Шмидтом, Р.Ремаком, А.Г.Курошем, Л.Фуксом, Л.Я.Куликовым, С.Н.Черниковым, Ю.М.Горчаковым, Л.А.Шеметковым, В.А.Ведерниковым, А.Н.Скибой и другими.
Цели диссертационного исследования:
-
Конструктивное описание классов групп, обладающих некоторой системой дополняемых или добавляемых подгрупп;
-
Конструктивное описание класса групп, обладающих определенной системой нормальных подгрупп и характеризация таких групп через системы дополняемых и добавляемых подгрупп;
3. Характеризация рассмотренных классов групп через
подпрямые произведения монолитических групп.
Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием теоретика-групшвых методов исследования непростых конечных групп, в частности, тс-метода С.А.Чуни-хина и метода разложения групп в подпрямые произведения.
Новизна результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них:
-
Получено описание конечных х-сверхразрешимых групп с абелевыми силовскими тс-подгрушами через систему дополняемых примарних тс-подгруші, которые дополняемы в содержащих их силовских тг-подгруппах. Установлено, что такие группы являются подпрямыми произведениями примарних циклических іс-груші и групп Фробениуса, ядрами которых являются примарные циклические тс-подгруппы. Для этих групп найдена система образующих отношений;
-
Получено описание конечных ти-сверхразрешимых групп через систему добавляемых примарных циклических тс-подгрупп, которые добавляемы в содержащих их силовских тс-подгруппах. Приведена характеризация таких групп с помощью подпрямых произведений монолитических групп с определенной системой образующих элементов;
-
Получено описание конечных тс-разрешимых t -групп
- 5 -через подпрямое произведение определенных групп Фробениуса и найдена характеризация таких групп посредством систем дополняемых и добавляемых подгрупп.
Теоретическое и практическое значение. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения классов групп по заданным системам дополняемых подгрупп, а также при чтении специальных курсов в высших учебных заведениях, где ведутся исследования в области теории групп.
Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по теории групп: академика АН БССР С.А.Чунихина при Гомельском отделении Института математики АН БССР; член-корреспондента АН БССР Л.А.Ше-меткова при Гомельском университете; член-корреспондента АН УССР С.Н.Черникова при Институте математики АН УССР; кафедры алгебры Брянского госгодуниверситета, руководимом профессором В.А.Ведерниковым, а также на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Черкассах (1978г.); на VIII Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Сумах (1982г.); на XVII Всесоюзной алгебраической конференции в Минске (1983г.); на международной конференции по проблемам алгебры и кибернетики, посвященной памяти академика С.А.Чунихина в Гомеле (1995г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 114 страницах машинописного текста и состоит из введения (стр. 3-15) и трех глав, включающих в себя восемь параграфов (стр.16-Ш). Список литературы содержит 61 наименование .