Нормальное строение и автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиевых типов Мартынова, Лариса Александровна

Введение к работе

Актуальность темы. Вопросы описания автоморфизмов алгебраических систен, описания нормального отроения групп и решетки идеалов колец и алгебр всегда относились к числу центральных в исследованиях классических алгебраических систем о.г:.

В диссертации взаимосвязанно изучаются нормальные подгруппы уйипотентной подгруппы

группы Щївалле типа Ф над полем К ( Ф - неразложимая система корней) и идеалы ассоциированного кольца'Ли, а также автоморфизмы обобщенных унипотентных подгрупп.

Иэё*>стно, что группа, типа Л , изоморфна присоединенной группе (относительно присоединенного умноженім о<«В=сС+уЬ ~<Х^Ь ) кольца NT(n,K) нильтуеуголышч матриц степени и над К. В 1951 году Дюбит и Перлис сэ і описали идеалы алгебры NT(n,K) над полем К. Идеалы ассоциированного кольца Ли образуют существенно более широкие класс. В 1976 году В.М.Левчук доказал, что кпаог нормальных подгрупп присоединенной группы кольца МТ(п,К) совпадает с классом идеалов ассоциированного кольца Ли c-'i. Там же дано явное описание этих классоз. Вопрос описания нормальних подгрупп уннтреугольноп группа рассматривали также Уир, 1955 год ( максимальные абелевы нормальные подгруппы) и С.Д.Берман, 1969 год.

Возможность установления аналогичных связей для унипотентных подгрупп иФ(К) и их ассоциированных колец Ли выска-

1. Супруненко Д.А. Группы матриц. - М.-: Наука, 1972, 351 с.

2. Hahn A.J., James D.G., Weisfelier В. Hdrooinorphisms of algebraic and classical groups: a survey. - Can. Math. Soc, 1984, No 4, p. 249-296

3. Dubish R., Perlis S. On total nilpotent groups. - Amer. J. Math.. 1951 73, No 3, p. 439-452. -

4. Левчук З M. Некоторые локально нильпотентниа кольца и их присоедннейЯйв группы. - Мат. заиетки, 1987, 42,.К 5, с. 631-641.

зьшалась З.М.Леачукои в 1979 году. Установленні этих сзяэей началось в совместной работе сзз.

Близким направлением является исследов.ін.іе предельных групп. На этом пути были построены первые пинчеры р-группы, совпадающей с коммутантом (И.Д.Адо, 19'.3) и пример характеристически простой р-группы (Д.Маклейн,1954). Результаты работ и.ті о нормальных подгруппах и автоморфизмах унитреугольной группы l)T(n.K) переносились Е.Г.Космаком COJ на предельные унитрвугольные группы над конечным полем. В 1987 году В.М.Левчук [4] исслецовал нормальное строение и автоморфизмы в более общей ситуации - для кольца №Г(Г,К) и его присоединенной группы, где строки и столбцы нумеруются не конечным, а произвольным линейно упорядоченным множеством Г. (Группе, рабсматривівшейся Е.Г.Коспаном, здлсь соответствует случаи цепи Г натуральных чисел).

Традиционно ваі.ное направление в теории классических групп, а затем и групп Шевалле - изучение автоморфизмов и гомоморфизмов. В последние десятилетия (десь достигнуты успехи в рассмотрении самых общих ситуаций ( О'Нира, В.М.Левчук, В.М.Петечук, И.3.Голубчик и А.В.Михалев, Е.И.Зельманов, В.Н.Герасимов, Л.К.Васерштойн, Е.Абв).

В [7,4] были описаны автоморфизмы лиева кольца ИТ(Г,К) и ого присоедиенной группы для произвольной цепи Г и кольца К ~!Э делителей нуля. Более частные результаты в случае конечной цепи Г и конечного поля характеристики ^2, получили ра-

5. Левчук В.К., Ма'ігьм'зші Л.А. Нормальное строение унипстенткых подг! пл групп Шевалле и идеалы ассоциированного кольца Ли. - В сб.. Конструкции в алгебре и логике. Тверь: ТГУ. 1990, с. 60-'(.

6. Левчук В.М. ' <;группы унитреугольной группы. - Изв. АН СССР, сер. мат'к . 1974, 38, N б, с. 1202-1220, '

?. Левчук В.М Автоморфизмы некоторых нильлотентных матричных групп и колец. - ДАН СССР, 1975, 222, N 6, с. 1279-1282.

8. Косиам Б.Г. О силовских р-подгруппах предельной полной линейной группы над конечным полем. - Вопросы теории групп и гсшол. алгебры. Ярославль: 1982, с. 38-47.

нее ІЬП.Паалов [9.) и Уир ПОЗ. Позднее Гиббс ин и В.М.Левчук 021 описали автоморфизмы унипотен юй группы ЧФ(К) над произвольным полем К других типов Ф.

Отметим, что а [5} построены обобщении э лиевы кольца NG(K) типов OB_r,C_r,D_r.

Цель работы: изучение нормального строэния унипогентных групп типов Ти ,D_n,E^,l=6,7,8, и автоморфизмов предельной присоединенной группы ND_r(K), К - поле, Г - цепь натуральных чисел.

Научная новизна'. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методика исследования. Б работе использовались общая методы исследования теории групп, колец, алгебр Ли, использовалось специальное представление уннпотентных подгрупп типа D„, которое позволяет естественно рассматривать обобщенные (предельные) унипотетнтые подгруппы.

Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп, в теории колец, в различных вопросах, связанных со строен-ем групп лиевих типов.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах Московского государственного университета им. Н.В.Ломоносова, Красноярского государственного университета, на III Международной конференции по алгебре ( Красноярск, 1993), на XI симпозиуме по теории групп в Свердловске, на IV Бсесомэной школе

9. Павлов П.П. Силовские р-подгруппы полной линейной груп
пы над простим полем характеристики р. - Изв. АН СССР,
сер. Натем. 1952, 16, N 5, с. 437-458.

10. Weir A.J. Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristic p. - Proc. Amer. Soc. , 1955, 6. No 3, p.454-464.

11. Gibbs J.A. Automorphisms of certain unipotent groups. -J. Algebra, 1970, 14, No 2. p. 203-220.

12. Левчук В.И. Автоморфизмы уннпотентных подгрупп.групп Шевалле - Ллгебра и логика, 1990,29, N 3, с. 315-338.

по приманенії» лиевых алгебр в физике и математике (Казань.
1990). ' -

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2,3,4] , приведенных в г.онці» ав те реферата.

Структура и объем диссертации. Работа *фстоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 21 наименование, Обыэм диссертации 68 машинописных страниц.