Нитевые базисы и коммутаторные соотношения в группах Блудов, Василий Васильевич

Введение к работе

Актуальность темы. Процесс вычислений в группах часто зависит от выбора систем порождающих группы, особенно сильно это сказывается при вычислениях на компьютерах. Удачный выбор системы порождающих может существенно облегчить, как процесс вычислений, так и доказательство теоретических фактов. В конечно порожденных абелевых группах такой системой порождающих является обычный базис, в нильпотентных группах — мальцевская база [10], в свободных группах — базис Холла [38] (см. также [18, 17]). Известно [10, 15, 37], какое значение играет базис в теории конечно порожденных абелевых групп. Что касается базиса Холла, то трудно представить комбинаторную теорию групп без результатов работы Ф. Холла 1933 года [38]. Роль этой работы для развития комбинаторной теории групп подробно показана Б. Чандлером и В. Магнусом в книге [27]. Добавим к этому, что австралийскими математиками была создана компьютерная программа NQP [40], которая была основана на методах и идеях работы Ф. Холла [38]. С помощью программы NQP был получен ряд интересных результатов по теории берн-сайдовых групп малых показателей (см. обзорные работы [4], [43] и книгу [14]). Конструкция Холла позволила естественным образом построить базис свободной нильпотентной группы [18, 17] и свободной алгебры Ли [1, 20]. В работах Л. А. Бокутя [5] и А.Л. Шмелькина [29] построены базисы свободных полинильпотентных алгебр Ли и свободных полинильпотентных групп. Другая конструкция базиса свободной алгебры Ли была предложена А.И. Ширшовым [28] (см. также [1, 20]). Эта конструкция используется в пятой главе диссертации при построении примеров нильпотентных групп.

В теории конечно порожденных нильпотентных групп без кручения большую роль играют стандартные базы. Отметим один из последних результатов, полученный с помощью вычислений в маль-цевской базе — это описание систем относительно выпуклых (другими словами изолированных инвариантных) подгрупп свободной конечно порожденной нильпотентной группы, который был получен В.Ф. Клейменовым [11]. В этой же работе было получено следую-

щее интересное обобщение для мальцевской базы: "мальцевская база конечно порожденной свободной нильпотентной группы остается базой при любом упорядочении базисных элементов". Нитевые базисы нильпотентных групп рассматриваются в третьем параграфе второй главы. Здесь понятие мальцевской базы переносится на произвольные конечно порожденные нильпотентные группы и доказывается обобщение приведенного выше результата В.Ф. Клейменова.

Приведенные во второй главе диссертации результаты и примеры групп с нитевыми базисами показывают, что класс групп, обладающих нитевыми базисами достаточно широк — в него входят все разрешимые группы, свободные группы, группы с нормализаторным условием, группы матриц над конечными полями, группы подстановок S_n и А_п и другие. В тоже время неизвестно всякая ли группа (и даже всякая ли конечная) группа обладает нитевым базисом.

С базисами тесно связаны собирательные процессы, то есть алгоритмы для представления элементов в заданных базисах. Собирательные процессы по разрешимому и нижнему центральному рядам свободной группы и связанные с этими процессами коммутаторные соотношения впервые появились в упомянутой выше работе Ф. Холла [38]. Еще один собирательный процесс в свободной группе был предложен В.М. Копытовым в работе [13]. Собирательный процесс по разрешимому ряду группы используется в шестом параграфе второй главы для получения /n-базиса свободной группы.

В 1951 году А. Клиффорд опубликовал пример у-простой линейно упорядоченной группы [36]. В это время еще не было известно о существовании простых линейно упорядоченных групп — первый пример простой линейно упорядоченной группы был опубликован год спустя в работе К. Чехаты [35], а конструкция Ф. Холла, позволяющая вкладывать произвольную (линейно упорядоченную) группу в простую (линейно упорядоченную) группу, была получена в 1963 году [39]. Пример К. Чехаты имел достаточно сложное строение, поэтому долгое время стоял вопрос о построении других примеров простых линейно упорядоченных групп. Один из таких примеров найден в группе Клиффорда. Этот пример приведен во втором параграфе третьей главы. Ранее, в работе [2] пример Клиффорда был модифицирован автором для получения непростой У-простой линейно упорядоченной группы с двумя линейными порядками. Дальнейшее изучение примера Клиффорда привело диссертанта к понятию

клиффордовского базиса. Полученные в этом направлении результаты приводятся в третьей главе диссертации. В качестве приложения этих результатов к общей теории групп во втором параграфе третьей главы приведено отрицательное решение вопроса А.Н. Фомина и В.П. Шункова ([22], вопрос 10.66), показывающее, что критерий О. Кегеля непростоты конечной группы [42] не может быть распо-странеп на произвольные группы.

Такая конструкция, как свободное произведение групп с объединенной подгруппой, являясь мощным инструментом в комбинаторной теории групп, слабо используется в теории упорядочепных групп. Это связано во-первых с тем, что в общем случае свободное произведение упорядоченных групп с объединенной подгруппой может быть не упорядочиваемой группой, а во-вторых с отсутствием хорошего критерия упорядочиваемости свободного произведения упорядоченных групп с объединенной подгруппой. Мало исследован и вопрос: "при каких дополнительных ограничениях свободное произведение правоупорядоченных групп с объединенной подгруппой будет правоупорядочиваемой группой?" Здесь можно только отметить результат Г.М Бергмана [32], показывающий, что правоупорядочи-ваемость свободного произведения правоупорядоченных групп с объединенной подгруппой эквивалентна правоупорядочиваемости некоторой амальгамы этих групп. Однако такой критерий правой упорядочиваемости достаточно сложен для проверки. В четвертой главе диссертации приведены необходимые условия для того, чтобы свободное произведение правоупорядоченных групп с объединенной подгруппой было правоупорядочиваемой группой, и построены примеры правоупорядоченных групп, показывающие, что свободное произведение с объединенной подгруппой, может не быть правопорядочива-емой группой.

Во втором параграфе четвертой главы рассматриваются группы Фробениуса. Изучение этого класса групп (вне теории конечных групп) началось в работах Ю.М. Горчакова [8], А.И. Созутова и В.П. Шункова [24, 31]. В 1978 году в [22] В.П. Шунков поставил следующие вопросы: "Что можно сказать о ядре и дополнении фробе-ниусовой группы? В частности, какие группы могут выступать в качестве ядра? дополнения?" и "Построить пример бесконечной конеч-нопорожденной группы Фробениуса." (вопросы 6.53, 6.54). В работе [23] А.И. Созутов построил такой пример и описал слабо сопряженно

бипримитивно конечные группы, которые могут выступать в качестве дополнения некоторой группы Фробениуса с абелевым ядром, что дает частичный ответ на вопрос 6.53 В.П. Шункова. В развитие вопроса 6.53 в 1995 году А.И. Созутов в [22] (вопрос 13.54 б)) спросил "Верно ли, что любая группа вложима в ядро некоторой группы Фробениуса?" Положительный ответ на этот вопрос А.И. Созутова приводится во втором параграфе четвертой главы.

Большую роль при комбинаторных вычислениях в теории групп играют коммутаторные соотношения. Наиболее широко используются тождества Витта-Холла и тождество Якоби (см. [18, 26]). Основные результаты пятой и шестой глав диссертации также были получены с помощью комбинаторных преобразований коммутаторных слов. Естественным образом коммутаторные соотношения используются в диссертации для построения различных примеров.

Две последние главы диссертации посвящены локально нильпо-тентным группам. Этот класс групп и его различные подклассы (гиперцентральные группы, группы с нормализаторным условием и другие) до сих пор вызывают повышенный интерес. Классические результаты по локально нильпотентным группам приведены в обзорной работе Б.И. Плоткина [21] и книге А.Г. Куроша [15].

В пятой главе рассматриваются группы, свободные относительно функции нильпотентности. Эти группы были введены А.Ю. Ольшанским в связи с вопросом Б.И. Плоткина из [22] (вопрос 3.47). В классе локально конечных групп этот вопрос был решен положительно Е.М. Левичем и А.И. Токаренко [16]. Для решения этой задачи в общем случае А.Ю. Ольшанский в 1982 году поставил в "Коуровской тетради" [22] вопрос 8.56: "Пусть X — конечное множество, а / — функция, принимающая натуральные значения на его подмножествах. Потребуем, чтобы в группе с порождающем множеством X каждая подгруппа gr(l^), Y С-Х была нильпотентной ступени < /(У). Верно ли, что свободная относительно этого условия группа Gj не имеет кручения? Из утвердительного ответа на этот вопрос следует утвердительный ответ на вопрос 3.47." Однако, вопрос А.Ю. Ольшанского был решен отрицательно в 1988 году в работе [47]. Продолжение исследований свойств группы Gj привели к некоторым новым результатам, которые и представлены в пятой главе диссертации.

В шестой главе изучаются локально нильпотентные группы с условием минимальности для централизаторов. Класс групп с условием минимальности для централизаторов достаточно широк, он замкнут относительно конечных расширений, содержит свободные группы, конечные группы, линейные группы и другие. Отметим также, что свойства цетрализаторов подгрупп часто оказывают влияние на строение группы. Так, например, в работе [30] В.П. Шун-ков показал, что периодическая группа, имеющая элемент второго порядка с конечным централизатором, локально конечна и почти разрешима. P.M. Брайант и Б. Хартли изучали локально нильпотентные и периодические локально разрешимые группы с условием минимальности для централизаторов и установили, что эти группы разрешимы (см. [33], [34]). Ранее, А.Е. Залесский установил разрешимость периодических локально нильпотентных групп с условием минимальности для централизаторов, более того он указал в таких группах разрешимый ряд централизаторов [9]. В третьем параграфе шестой главы доказано существование гиперцентралыюго ряда в произвольных локально нильпотентных группах с условием минимальности для централизаторов. Ранее в работах [6] и [7] (см. также книги [25], [45]) М.С Гаращук и Д.А. Супруненко установили гиперцентральность линейных локально нильпотентных групп, а в работе [33] P.M. Брайант доказал гиперцентральность периодических локально нильпотентных групп с условием минимальности для централизаторов. Приведем для контрастности результат X. Хейнекена и И.Дж. Мохамеда [41] о том, что локально нильпотентпая группа с нормализаторным условием не обязательно гиперцентральна.

Цель работы. Основной целью работы является разработка теории нитевых базисов — удобных для вычислений систем порождающих групп. Другая цель — получение новых результатов в комбинаторной теории групп на основе вычислений коммутаторных соотношений.

Общая методика исследований.

В основном в работе используются методы комбинаторной теории групп: собирательные процессы, метод Рейдемейстера-Шрейера, коммутаторные соотношения, свободные произведения с объединенной подгруппой, сплетения групп и другие. В двух последних главах широко используются тождества Витта-Холла и тождество Якоби.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации получено:

1. Введено понятие нитевого базиса группы и его частных случаев /s-базиса, /n-базиса, клиффордовского базиса. Понятие мальцевско-го базиса обобщено на любые нильпотентные группы. Доказано существование нитевых базисов в знакопеременных группах А_п (пример 2.5), /s-базисов в общих линейных группах над конечными нолями (пример 2.6), /n-базисов в абелевыхи разрешимых группах (теорема 2.1, следствие 2.2), в группах, удовлетворяющих нормализатор-ному условию (теорема 2.2), и в свободных группах (пример 2.10). Приводятся теоремы о продолжении нитевых базисов на расширение (теорема 2.3) и прямое произведение групп (теорема 2.4) и теорема о переходе нитевого вполне упорядоченного /s-базиса на фактор-группу (теорема 2.5).

2. Введено понятие клиффордовского базиса и получены характеристические свойства таких базисов в линейно упорядоченных группах (теоремы 3.1 - 3.2). Показано, что класс групп имеющих клиф-фордовские базисы, не замкнут относительно взятия подгрупп. Найдена простая подгруппа группы Клиффорда (предложение 3.2) и показано, что простая линейно упорядоченная группа удовлетворяет критерию О. Кегеля [42] непростоты конечной группы (предложение 3.3), что дает отрицательный ответ на вопрос А.Н. Фомина и В.П. Шункова ([22], вопрос 10.66). Приведена конструкция, позволяющая строить у-простые линейно упорядоченные группы с клиффордовским базисом (теорема 3.3) и получена теорема вложения л.у. групп в у-простые л.у. группы (теорема 3.4). Построен пример л.у. группы с относительно выпуклой подгруппой, центр которой строго изолированная, но не относительно выпуклая подгруппа (пример 3.6), что дает отрицательный ответ на один из вопросов А.И. Кокорина и В.М. Копытова ([12], проблема 28).

3) Приведены необходимые условия для того, чтобы свободное
произведение правоупорядоченных групп с объединенной подгруп
пой было правоупорядоченной группой (теорема 4.1) и построены
два примера правоупорядоченных групп G\ и ( с изоморфными
подгруппами Н\ и Hi соответственно и таких, что свободное произ
ведение с объединенной подгруппой G?(Hi Д- ІІ-і) не допускает
никакого правого упорядочения (примеры 4.2 — 4.3). В примере 4.2

склеивающие изоморфизмы не монотонны, но результат не зависит от выбора изоморфизма ір. В другом примере изоморфизм <р монотонный.

4. Доказано, что всякая группа вкладывается в ядро подходящей группы Фробениуса (теорема 4.2). Этот результат дает положительный ответ па вопрос А.И. Созутова ([22], вопрос 13.54 б)).

5. Получены новые коммутаторные соотношения (леммы 5.1-5.5, предложения 5.7-5.8, следствие 5.2). Рассмотрены свойства группы Gj — свободной относительно функции нильпотентности / (предложения 5.1 - 5.6). Получено достаточное условие совпадения функции нильпотентности группы Gj с функцией / (теорема 5.1) и достаточное условие, накладываемое на функцию /, при котором группа G/ не имеет кручения (теорема 5.2). Приведено положительное решение вопроса Б.И. Плоткина ([22], вопрос 3.47) для гиперцентральных групп с гиперцентральным рядом, упорядоченным по типу натуральных чисел, (следствие 5.3) и получено новое решение этого вопроса для счетных локально нильпотентных групп (следствие 5.2). Получено достаточное условие (также в терминах функции /) и приведены примеры функций /, при котором группа G/ имеет кручение (предложение 5.9), что дает отрицательный ответ на вопрос А.Ю. Ольшанского ([22], вопрос 8.56). Построен пример локально нильпотентной группы G мощности Кг для которой не существует в классе групп вида G/ (или в классе групп с изолированной нижней центральной системой подгрупп) локально нильпотентной группы G без кручения, гомоморфно отображающейся на G (теорема 5.4), и приводится отрицательный ответ на аналог вопроса Б.И. Плоткина для колец Ли (следствие 5.5).

6) Введено понятие парацентрализатора элемента (подмноже
ства) и приведены его основные свойства (теорема 6.1). Доказано
существование разрешимого ряда централизаторов в локально ниль
потентных группах с условием минимальности для централизаторов
(теорема 6.2), что обобщает один из результатов А.Е. Залесского
[9]. Доказана гиперцентральность локально нильпотентных групп
с условием минимальности для централизаторов (теорема 6.3), что
дает положительный ответ на вопрос Ф.О. Вагнера ([22], вопрос
13.16). Показано, что для двуступенно разрешимой локально ниль
потентной группы с условием минимальности для централизаторов
и бесконечным гиперцентральным рядом порядковый тип этого ряда

равен wo + 1, где ыо обозначает порядковый тип ряда натуральных чисел (теорема 6.4).

7) Доказано существование максимальной нормальной нильпо-тентной подгруппы в группах с условием минимальности для централизаторов (теорема 6.5), что дает положительный ответ на другой вопрос Ф.О. Вагнера ([44], вторая часть вопроса 9).

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результыты, полученные в диссертации, могут использоваться при чтении специальных курсов и написании монографии. Эти результаты рекомендуется использовать в исследованиях по комбинаторной теории групп.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры высшей алгебры МГУ, кафедры алгебры, логики и кибернетики ИГУ, кафедры алгебры ОмГУ, семинарах "Теория групп" и "Алгебра и Логика" НГУ и ИМ СО РАН (Ноосибирск), красноярском городском алгебраическом семинаре, научных семинарах математических факультетов Монгольского университета, университетов городов Гамбурга и Киля (Германия), на всесоюзных и международных конференциях, симпозиумах и школах по алгебре и теории групп (Свердловск, 1988, Красноярск, 1993, Иркутск, 1993, Омск, 1995).

Публикации. Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [46] - [59]

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 178 страницах и состоит из введения, шести глав, указателя обозначений и списка литературы. Библиография содержит 92 названия, включая работы автора по теме диссертации.