Введение к работе
Актуальность темы
Иіученне структур, имеющих коммутативный закон умножения, является одной из наиболее важных задач алгебры с очень широким крутом прнложеппй. Ввиду этого полезно рассмотреть класс алгебраических объектов близких по своим свойствам к коммутативным, с одной стороны перенося їй него результаты коммутативного случая, а с другой - получая более общий подход к раду классических вопросов. Настоящая днесертащш, посвященная нильпотентяым алгебрам и линейным многообразиям матриц, служат выполнению указанной программы. Отметим при этом, что исследование нпльпотеїгпгьгх структур оказывается особенно полезным в теории матричных алгебр и многообразий, поскольку к выяснению их свойств сводится решение многих задач общего случая.
Изучение коммутативных матричных алгебр было начато з работах классиков Фробенпуса, Шура J16] и Жордана Ї13} как ввиду самостоятельного интереса н большой важности дайной темы, так н благодаря ей связям с другими вопросами математики. Получештые ігмн результаты развивались в дальнейшем во многих направлениях с нспользовашюм различных методов. Применение теории колец и модулей, осутцествлеиное Н. Джекобсовом [12], было продолжено рядом авторов [8], [9], [ 11]. А. И. Мальцев [4] с помощью систем корней растгространил теоремы Шура о кошгутативных подалгебрах полкой матричной алгебры на все простые алгебры Ли. В последнее время найдены связи матричных мяогообразкй различные типов с монокомпозицношшмп алгебрами, изучегоше А. Т. Гайповым [1]. Автором настоящей днесертащш были применены методы линейной атгебры, использование которых началось в работах М. Ф. Кравчука [2], [3] и продолжено Д. А. Супруненко и его школой [5], [б], [7]. Матричные методы
дали возможность решить ряд новых задач и получить иные подходы ко многим важным вопросам, средн которых особо выделим использование данной методики применительно к физическим теориям [14], (IS], 117]. В целом наличие интересных н многообещающих проблем, а также обширного спектра приложений, делает данную тематику весьма актуальной для изучения.
Цель работы
Целью диссертации является изучение абстрактных и матричных нильпотентных алгебр и многообразий близких по своем свойствам к коммутативным, включающее решение задач об изоморфизме, сопряжённости и размерности объектов этого типа.
Основные результаты работы
Главными результатами диссертации являются решение задачи о верхней границе размерности для введённых в работе анвуляторных подалгебр полной матричной алгебры, решение проблемы Шура -Мальцева о коммутативных нильпотентных и акгикоммутатнвных матричных многообразиях различных типов наивысшей размерности, а также описание с точностью до изоморфизма антикоммутативных ассоциативных алгебр размерности ds6 и описание с точностью до сопряженности максимальных антикоммутативных подмногообразий полной матричной алгебры М(п, К) при п <, 7 (случаи d = 6 и n = 7 рассмотрены для квадратичсски замкнутого поля К).
Методика исследований
В работе использованы методы линейной алгебры, теории алгебр н теории классических групп.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методика её исследований применимы в линейной алгебре, алгебраической геометрии, теории алгебр, теории групп и некоторых вопросах теоретической физики.
Апробация результатов диссертации
Результаты работы докладывались на научно-технической конференции 1993 года в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете и алгебранческом семинаре имени Д. К. Фадеева в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В. А. Стеклова Российской Академии Наук
Публикации
По теме диссертации автором опубликованы четыре работы 118|. 119], [20J, [211.
Объём и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трёх глав, разделённых на 7 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 42 позиции. Нумерация формул, лемм и теорем, а также параграфов ведётся отдельно для каждой главы. Диссертация занимает 135 страниц машинописного текста.
L