Введение к работе
Актуальность темы. Теория соответствий ("бинарных отношений) возникла в одно время с математической логикой: ее основные понятия были изложены Э.Юредером В "Алгебре логики" [481 и А.Уайтхедом, Б.Расселом в "Prlncipa Mathematlca" Г 52] па основе исследований О.Де Моргана, Ч.Пироа и Г.Фреге. Позже Ж.Риге в заметке [461 разработал элемоптн алгебры соответствий с целью упрощения изложения ряда математический дисциплин и широкого приложения теории соответствий в алгебре, геометрии, топологии и т.д. В наиболее систематизированном виде алгебраический аппарат теории соответствий описан В.Вагнером в работе (
Теория соответствий имеет широкие и разнообразные приложения в алгебре и математической логике. Общепризнано {111, что реализация абстрактных математических структур алгебрами соответствий является убедительным способом оправдания объектов изучения в такой аксиоматической науке, как алгебра.
Нччиняя с исследований О.Галуэ , одним из главных
направлений приложения теории соответствий в алгебре является
обобщенная теория Галуа, посвященная изучению математических
объектов путем исследования некоторіїх производных алгеор
зсответствий, специальным образом связанных с исходными
объектами. Здесь уже сложился традиционный круг вопросов:
іринципиальиое значение рмзет задача о том, насколько хорошо
іроизводная алгебра соответствий определяет исходный объект;
іатем исследуется, какими свойствами характеризуется
роизво.цная алгебра соответствий; наконец, с помощью
слученных результатов изучаются взаимосвязи свойств
сходного объекта и его производной алгебры соответствий.
акие вопроси для групп автоморфизмог алгебраических систем,
олугрупп эндоморфизмов графов, колец линейных преобразований
екторных пространств и других алгебр преобразований весьма
спешно решались Б.И.ГГлоткивым (151, Л.Глускшшм 141,(5] и
р. Гораздо более сложной проблемой исследования производных
гсгебр соответствий является вопрос о их конкретной
зрактеристигео [37], т.о. вопрос об оиисаниии таких условий.
при которых алгебра соответствий равна произв' іюй алгебре научаемого объекта. Примером такой задачи является известная проблема Д.Кенига [331 о группе автоморфизмов графа. В эток направлении отдельные продвижепия были сделаїш М.Краснероы [391, В.Йоїісоном [371 и Е.С.Ляшшым [121 для полугрупп эвдоморфизмов ролнтшюв, групп автоморфизмов \ ниверсальных алгебр и полугрупп частичных эндоморфизмов релятивов. ІГстественно ожидать, что успешное решение такой проблемы в конкретной ситуации даст аффективный инструмент для систематического изучения всех перечисленных выше вопросов обобщенной теории Галуа. Именно такого рода исследования проводятся в первой части диссертации для полугрупп частичных эндоморфизмов графов.
Не меиее важной задачей обобщенной теории Галуа является изучение алгмбр отображений одного математического обьекга в другой, поскольку такие алгебры взаимосвязаны с парой исходных, объектов. В -ітой ситуации уже непригодна самая распространенная операция алгебри соответствий - композиция -и приходится использовать меиее известные действия над отображениями. P этом направлении автором проведэн ряд исследований алгебр отображений с эперацяей рестриктивного умножения [21. Полученнье результаты приведены в обзоре [591. Отметим, что один из этих результатов 1621 дает решение проблемы Л.М.Г'лускина, Л.А.Скорнякова из сборника [191 об определяомости проективных плоскостей полугруппами их эндоморфизмов.
Новые возможности для приложений алгибрн соответствий появились в связи с откритием А.Робинсоном нестандартного анализа. В настоящее время под нестандартным анализом понимается техника изучения математических структур с помощью их расічирений, которые получаются добавлением к структурам новых идеальных объектов , не изменяющих элементарных свойств рассматриваемых структур. Идея такого подхода весьма определенно обрисовалась около 300 лот назад при создании Лейбницем ма' еретического анализа в форме исчисления бесконечно малых. Но только в 60-х годах натзго столетия эта выдающаяся идея юоь обрела силу и получила признание после логического обоснования со методами теории моделей в работах А.Робинсона [47], У. А. Дг.,Люксембурга 1421, М.Махоьера и
Дж.Хиршфельда [43]. Ирине-чательно, что разработанная А.Робинсоном и его последователями техника построения нестандартных моделей позволила не только обосновать исчислениебесконечно малых, но и получить новые результаты в самых разнообразных научных дисц"плинах: наряду с многочисленными внематическими областями (экономика, физика и т.д.) приложения нестандартного анализа [11,[231 охватывают обширные математические разделы от дифференциглыюго и интегрального исчислений до топологии Ґ351,[361,[44] , теории дифференциальных уравнений [81,[91, теории моры [30,41,] и т.д.
Особый интерес представляет использование методов нестандартного анализа в тех разделах математики (например, в топологической алгебре ч функциональном анализе [281,[29]), где в принципиальных вопросах рассматриваемые сходимости не являются топологиями и для их исследования в стандартлой математике необходимо использовать язык фильтров или направленностей. Начало таким приложениям нестандартного анализа к топологии было положено в работах К.Пуритца [44] и Р.Германа [36]. Существенные технические трудности встречаются и при изучении теоретико-модельных проблем топологической алгебры, начатом А.И.Мальцевым в работах [13],[14] и продолженном У.Тейлором [51], И.В.Протасовым [18] и другими. Теоретико-модельные методы топологической алгебры нашли широкое применение в теории псевдомпогообразий конечных алгебраических систем, начало которой было положено СЭйленбергом и М.Шутценберже в работах [311-(33] и которая з;ітем плодотворно развивалась в исследованиях Дж.Рейтермана [45], С.Аша [24], Б.Банашевского [251, Дж.Альмейды [221 и многих других специалистов в теории полугрупп, рациональных языков и автоматов. В наг-оящей диссертации проводятся исследования важных вопросов теории сходимости, топологической алгебрь и теории псевдомногообразий методами нестандартного анализа и алгебры соответствий.
Цель работы. Найти ' конкретную характеристику полугруппы частичных эндоморфизмов графа и посредством ее изучить взаимосвязь свойств таких полугрупп и соответствующих графов. С помощью принципов нестандартного анализа разработать унифицированный подход к основным топологическим
понятиям с целью последовательного построения общей теории нестандартной топологии и дальнейшего изучения методами нестандартного анализа и алгебры соответствий таких принципиально важных вопросов топологической алгебры, как представление абстрактных топологических алгебраических систем конкретными топологическими алгебрами отношений, решение задачи о существовании универсального функтора представлений категорий в категориях топологических алгебраических систем, описание структурной характериоти ж многообразий таких систем, алгебраическое построение пополнений и нестандартных оболочек для равномерных алгебраических систем, нестандартная характеристика псевдомногсобразий конечных алгебраических систем и применение ее в . теории полугрупп, рациональных языков и автоматов.
Общая методика исследования. Ключевую роль в нестандартных приложениях алгебры соответствий к теории графов играет решение задачи о конкретной характеристике полугруппы частичных эндоморфизмов графа, которое позволяет всесторонне исследовать проблематику обобщенной теории Галуа для. таких алгебр соответствий. Важными инструментами решения поставленных задач общей теории сходимости и топологической алгебры являются разработанные автором техника повторных нестандартных расширений и методы нестандартной алгебры соответствий. Эта методика позволяет в Мотематических построениях и доказательствах использовать одпоьремевно два нестандартных расширения и эффективно применять аппарат алгебры соответствий. Нестандартный подход к теории псевдомногообразий конечных алгебраических систем позволяет сводить проблематику этой теории к вопросам теории нестандартных многообразий и эффективно проводить исследования в этом направлении логико-алгебраит,ескими методами нестандартного анализа.
Научная новизна. Принципиально новым является разработанный автором оригинальный подход к исследованию традиционной проблематики обобщенной теории Галуа на осново решения задачи о конкретной характеристике производной алгебры соответствий. 11с вым является и
ізработанний автором нестандартный подход к топологии на нове техники . повторных нестандартных "расширений, зволяющий широко и эффективно использовать в полсгической алгебре методы нестандартного анализа и ории соответствий. Принципиально новым является зработаиный автором нестандартный подход к теории евдомногообразий конечных алгебраических систем, 'зволяющий эффективно решать задачи этой теории методами стандартного анализа. Новыми являются все основные зультаты диссертации и значительная часть аппарата следования.
Основные результаты диссертации:
-
Получена конкретная характеристика полугруппы етичних эндоморфизмов графа и ряд важных результатов о аимосвязи абстрактных и элементарных свойств графов и их лугрупп частичных эндоморфизмов.
-
Получена нестандартная классификация пространств одимости и их отображений.
3- Описаны нестандартные сходимости в пространствах ображений и получены услови-i топологичности, регулярности и мпактности таких сходимостей.
4. Решена принципиальная задача о представления эобразованиями таких. топологических алгебр» как гтологические кольцоиды и др.
5- Получены условия существования универсального актора представлений категорий в категориях топологических гебраических систем.
6. Для топологических алгебраических систем
зработавы элементы теория моделей нестандартной логики УИП
найдена структурная характеристика многообразий таких зтем.
7. Получены условия существования пополнений
зномерных алгебраических систем и. описаны их нестандартные
элочки.
Ь. Решена принципиальная задача о характеризации евдомногообразий конечных алгебраических систем :тандартяыми тождествами, проанализирована взаимосвязь эго подхода с классической теорией псевдомногообразий и ;ледопаны решетки псепдомлогообразий коночных алгебр.
Практическая и теорети ческа ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты решают ряд принципиальных вопросов взаимосвязи графов и их полугрупп частичных эндоморфизмов, тькто дают весьма эффективный ипструмент для дальнвйшег разностороннего исследования этой проолзматики Разработанные методы нестандартной топологии не тальк позволяют успешно исследовать валшые вопросы теори сходимости и топологической алгебры, но и открывают широки перспективы для их применения в самих разнообразны математических дисциплинах. Нестандартные конструкци компактификаций, пополнений, нестандартных оболочек нестандартные сходимости отображений могут эффективн использоваться в топологичэской алгебре, функционально анализе, теории дифференциальных уравнений и других раздела математики. Нестандартный подход к теории псевдомногообрази конечных алгебраь эокшг систем позволяет сводит проблематику эгой теории к вопросам теории нестандартны многообразий и эффективно проводить исследования ь это направлении логико-алгебраическими методами нестпндартног анализа. Полученные результаты показывают ряд существенны преимуществ нестандартного подхода к изучению алгебраически систем со структурами сходимости. Во-первых, такой подхо, позволяет естественно и просто пероносить осповополагающи понятия теории алгебраических систем нл топологически алгебраические системы. Во-вторых, катеторный характе нестандартных определений сходимостей и гх важнейших свойст: дает возможность легко доказывать теоремы на языке теори категорий с помоіп.ью техники алгебры соответствий. і в-третьих, унифицированность нестандартного подхода схо^'имостям позволяет обобщать важные результа' топологической алгебры Еа алгебраические системы произвольными структурами сходимости. Полученные результаті в частности, показывают, что в некоторых -георотико-модельпі исследованиях топологических алгебраических оисті принципиальную роль играет свойство регул чрности сходимостеї а не их топол' "'ичность. Ото еще раз подтверждает (вперві отмеченный It. К.яр.чт(?одори в работе fPTl и особо выделенный
грудах конференции C28J) вывод о . .том, что , во многих лэте чатических исследованиях цсевдотопологии оказываются 5олее уместными, чем топологии.
Результаты диссертации могут быть использованы и уже зтчасти используются при чтении спецкурсов и подготовке учебных пособий и монографий. Примером таких приложений пзляются учебные пособия автора С711.С771.
А проб ация. Результаты диссертации были представлены на YI ("Тбилиси, 1982;, YII ("Новосибирск, 1984;. 'III ('Москва, 1986; и К ("Алма-Ата, 1990.) Всесоюзных конференциях по математической логике, на ХУГ ("Ленинград, 1981;, XYII ("Минск, 1983; и XYIII ("Кишинев, 1985; Всесоюзных кпгебраических конференциях, на Международных конференциях ю алгебре памяти А.И.Мальцева ("Новосибирск, 198; и памяти и И.Ширшова СБарнаул, 1991), на Бакинской Международной 'опологической конференции ("Баку, 1987;, на международной (ссекской конференции по полугруппам преобразований ("Англия, 993>, на международной Йоркской конференции по полугруппам, [зыкам и автоматам ("Англия, 1993;, на 16-ой международной іегедскрй алгебраической конференции ("Венгрия, 1993;, на іездународной конференции по дискретной математике памяти [.Калужнина ( Германия, 1994), на международной конференции :о теории полугрупп и ее триложеяиям памяти А.Клиффорда США, 1994), на XIY ("Новгород, 1989; и XYI ("Нижний Новгород, 991; Всесоюзных школа.' по теории операторов в ункциональных пространствах, на III Всесоюзном симпозиуме о теории полугруп ^Свердловск, 1988;, на Республикєчекой коле АН ИССР по топологической алгебре ("Тирасполь, 1988;, а Всесоюзных семинарах по нестандартному анализу ("Нижний овгород, 1989 и Саратов, 198' 1991;, на математических тениях памяти М.Я.Суслина ("Саратов, 1989 и '991;. По езультатам работы автор выступал с докладами на заседаниях аучвых семинаров в Москве ("семинар МГУ по математической огике в 1989 а семинар МГУ по алгебре в 1992;, в овосибирске ("семинар "Алгебра и логика" НГУ и ИМ СО РАН в 994;, в Санкт-Петербурге ("расширенный ' цикл заседаний аучно-методологического семинара ЛОМИ в 1990 и Герценовскяе гения ЛГПУ в 19Р4, 1986, 1990;, в Екатеринбурге ("расширенный
цикл заседаний городского алгебраического семинара в 1986), Саратове ("городской алгебраический семинар в 1980-1094 J Результаты диссертации изложены в работах автора (531-(871.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 306 страницах и состоит из введения, четырех глав и заключения. Библиография состоит из 137 наименований.