Неравенства с континуантами и цепными дробями и их применения Гайфулин Дмитрий Радиславович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Экстремумы континуантов 18

1.1. Континуанты с фиксированной суммой ограниченных неполных частных 18

1.2. Континуанты с одинаковыми неполными частными нечетного индекса 25

1.3. Континуанты с фиксированной взвешенной суммой неполных частных 33

Глава 2. Производные функций семейства Данжуа 68

2.1. Оценки конечных приращений 68

2.2. Доказательства теорем 77

Глава 3. Спектр Лагранжа и достижимые числа 85

3.1. До как элемент спектра Лагранжа 85

3.2. Задача о достижимом числе - контрпример 86

3.3. Левые концы пропусков в спектре Лагранжа 93

3.4. Задача о достижимом числе - общий случай 101

Список литературы

• Континуанты с одинаковыми неполными частными нечетного индекса
• Континуанты с фиксированной взвешенной суммой неполных частных
• Доказательства теорем
• Левые концы пропусков в спектре Лагранжа

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Настоящая диссертация посвящена изучению экстремальных свойств величин, выражающихся через цепные дроби и континуанты и их применению в различных теоретико-числовых задачах. Аппарат цепных дробей, формирование которого связано с такими именами как Л. Эйлер, Ж. Л. Лагранж, А. Лежандр, К.Ф. Гаусс, А. Гурвиц и другие, является одним из важнейших инструментом в теории диофантовых приближений. Систематическое изложение теории цепных дробей имеется, например, в книгах О. Перрона и А. Я. Хинчина.

Другим классическим объектом теории чисел, непосредственно связанным с цепными дробями являются последовательности Штерна-Броко, появившееся в середине 19-го века в работах М. Штерна и А. Броко. Эти последовательности могут быть определены следующим образом. Для любого натурального п последовательность Штерна-Броко F_n есть конечная последовательность рациональных чисел отрезка [0,1], которые представляются в виде цепной дроби с суммой неполных частных, не превосходящих п + 1, расположенных в порядке возрастания. Хорошо известно, что предельной функцией распределения последовательностей Штерна-Броко является функция Минковского ?(ж), то есть

lim 1Гг =?(^ж), ^жЄ[Д]- U)

Равенство () является одним из возможных определений функции ?(ж). Функцию Минковского можно также эквивалентно определить другим образом: на концах отрезка [0,1] положим ?(у) = 0,?(у) = 1. Далее, пусть функция определена в точках - и ^, но не определена ни в какой точке между ними. В этом случае положим

'р_±Л = ?Ф+?Ш ₍₂₎

В иррациональных точках отрезка [0,1] функция Минковского определяется по непрерывности.

В 1938 году А. Данжуа рассмотрел семейство непрерывных монотонных функций д\(х), где Л - действительный параметр из интервала (0,1), обобщающих функцию Минковского. Как и функция ?(ж), они определяются на отрезке [0,1]. В начале для любого Л

¹ О. Perron, Die Lehre von den Kettenbruechen, B.G. Teubner, Stuttgart (1977).

² А.Я. Хинчин, Цепные дроби, M.: Эдиториал УРСС (2004), ISBN 5-354-00551-5.

³ М.A.Stern Uber eine zahlentheoretische Funktion J. reine angew. Math. 55 (1858), 193-220.

⁴ A. Brocot Calcul des Rouages par Approximations. Nouvelles Methodes, Paris (1892).

⁵ A. Denjoy Sur quelques points de la theorie des fonctions, CR Acad. Sci. Paris, 194 (1932), 44-46.

⁶ A. Denjoy Sur une fonction relle de. Minkowski, Journal de Mathematiques Pures et Appliques, 17 (1938),

105-151.

положим <7д(⁰₁) = 0, дх(¹₁) = 1- Теперь, если функция д\(х) задана в точках - и ^L_s и не определена между ними, правило () заменяется на

»(!)=(1-ЧЭ+ЧЭ- ^(з)

Как и в предыдущем случае, в иррациональных точках функция д\{х) определяется по непрерывности. Легко видеть, что при А = ¹₂ функция д\{х) совпадает с функцией Минковского. Отметим, что семейство функций Данжуа было переоткрыто в 1995 году Р.Ф. Тихим и Ж. Уитцом .

Любопытным обобщением обыкновенных цепных дробей являются так называемые приведенные регулярные цепные дроби. Известно, что любое действительное число X можно однозначно представить в виде

х = [[Ь₀; b₁,b₂,...,bt,...]] = b₀ , (4)

1
h

1 bt~ —

где b₀ - произвольное целое число, а все остальные bi больше либо равны двум. Аналогом последовательностей Штерна-Броко для приведенных регулярных цепных дробей являются множества Е_п, состоящие из всех рациональных чисел отрезка [0,1], которые представляются в виде дроби [[1; &₁, 6₂, , bt\], причем Ъ₁ + &2 + + bt = п + 1. В 2010 году Е. Жабицкая показала , что предельной функцией распределения Е_п является функция д_т(х), принадлежащая семейству Данжуа, где г = ³ ₂ ⁵. Другие результаты об арифметической природе функций из семейства Данжуа на настоящий момент неизвестны.

Хорошо известно, что все функции семейства Данжуа принадлежат к классу сингулярных функций. Более того, их производная может принимать только два значения - 0 и +оо. Исследование производной функций данного семейства проводилось только для наиболее простого случая функции Минковского. В 2010 году А.А. Душистова и Н.Г.Мощевитин доказали следующие две теоремы.

⁷ R. F. Tichy, J. Uitz. An extension of Minkowski's singular function Appl. Math. Lett., 8 (1995), 39-46.

⁸ Ю. Ю. ФинкелыптейнуПолигоны Клейна и приведенные регулярные непрерывные дроби, УМЫ, 48:3

(1993), 205-206.

⁹ Е. Zhabitskaya On arithmetical nature of Tichy-Uitz's function Funct. Approx. Comment. Math., 43:1

(2010), 15-22.

¹⁰ А.А. Душистова, Н.Г. Мощевитин О производной функции Минковского ?(х) Фундаментальная и

прикладная математика, 16:6 (2010), 33-44.

Теорема I. Пусть х = [0; а\, а₂,..., a_t, ] - произвольное иррациональное число на отрезке [0,1]. Тогда существует положительная постоянная к\ такая, что если выполнено

неравенство

,. a_x + a₂ + ... + a_t

limsup < к\, (о)

і—S-oo t

то производная ?(х) существует и равна +оо.

Теорема II. Пусть х = [0; а\, а₂,..., a_t,...] - произвольное иррациональное число на отрезке [0,1]. Тогда существует положительная постоянная к₂ такая, что если выполнено

неравенство

,. ai + a₂ + ... + a_t ,„.

limsup > к₂, (о)

i—S-oo t

то производная ?(х) существует и равна 0.

Неулучшаемые значения постоянных к\ и к₂ в работе А.А. Душистовой и Н.Г.Мощевитина были вычислены явно. Среди других работ на данную тему следует отметить более раннюю статью Дж. Парадиза, П. Виадера и Л. Бибилони, в которой была вычислена константа к\ и содержалась более слабая оценка константы к₂, а также статью А.А. Душистовой, И.Д. Кана и Н.Г. Мощевитина, в которой неравенства () и () в теоремах I и II были заменены на более точные с тем же самым главным членом. Одной из целей настоящей работы является получение аналогов теорем I и II для функции д_Т{х).

Основным методом в получении теорем I и II и их аналогов является поиск экстремумов знаменателей цепных дробей при некоторых условиях на неполные частные. Знаменатель цепной дроби [0;сіі,а₂,..., a_t] выражается через а\,а₂,... ,a_t при помощи многочлена, называемого континуантом. О континуантах и их свойствах имеется обширная литература (см. книги Т. Кузика и М. Флахив, Д. Хенсли и библиографию оттуда). Многие методы вычисления экстремумов континуантов описаны в работе И.Д. Кана . В настоящей работе развиваются и обобщаются методы статьи И.Д. Кана и улучшаются некоторые полученные в ней оценки экстремумов.

Другим известным объектом, при исследовании которого применяется аппарат цепных

¹¹ J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni A new light on Minkowski's ?(x) function, J. Number Theory, 73 (1998),

212-227.

¹² Anna A. Dushistova, Igor D. Kan, Nikolai G. Moshchevitin. Differentiability of the Minkowski question

mark function, J. Math. Anal. Appl. 401:2 (2013), 774-794.

¹³ T. W. Cusick, M. E. Flahive The Markoff and Lagrange spectra, Math. Surveys Monogr., 30, Amer. Math.

Soc, Providence, RI (1989), ISBN: 0-8218-1531-8.

¹⁴ D. Hensley Continued fractions, World scientific publishing Co. Pte. Ltd (2006).

¹⁵ И.Д. Кан Методы получения оценок континуантов Фундаментальная и прикладная математика,

16:6 (2010), 95-108.

дробей и континуантов, является спектр Лагранжа L. Напомним одно из возможнвіх его определений. Пуств А - бесконечная в обе сторонві последователвноств, состоящая из нату-ралвнвіх чисел:

А = ..., a_t,..., a_i, ао, di,... ,a_t,... (7)

Через Xi(A) обозначим следующую сумму двух цепнвіх дробей:

\г(А) = [a;;a;_i,a;_₂,. ] + [0;a_i+i,a_i+2,...]. (8)

Определим L(A) следующим образом

limsupAi(A) = L(A). (9)

і—>оо

Спектром Лагранжа L называется множество значений L(A), где А пробегает всевоз-можнвіе последователвности натуралвнвіх чисел. Хорошо известно, что минималвнвій элемент спектра Лагранжа - \/5. Систематическое изложение резулвтатов о спектре Лагранжа (и родственном ему спектре Маркова) содержится в книге Т.Кузика и М.Флахив. Среди важнейших исследований по спектру Лагранжа следует упомянутв работві Маркова , описавшего структуру дискретной части спектра, М.Холла, доказавшего существование константві с такой, что L содержит любое число болвшее с. В его честв луч [с, +оо) принято назвіватв лучом Холла. Оценку числа с неоднократно улучшали разнвіе авторы, среди работ на эту тему следует отметитв статви Г.А.Фреймана и X.Шекера, в которвіх доказвівается, что [л/2Ї, +оо) Є L. В 1975 году Г.А. Фрейман опубликовал работу, в которой приводилосв точное ввічисление начала луча Холла.

Спектр Лагранжа является замкнутвім множеством. Следователвно, его дополнение состоит из счетного числа интервалов, назвіваемвіх пропусками. Структура пропусков в спектре Лагранжа к настоящему моменту остается практически неисследованной, описанві лишв наиболвшие из них.

Цели и задачи диссертационной работы: Получение оценок максимумов и минимумов континуантов по различнвім множествам. Получение аналогов теорем I и II для функ-

^le A.Markoff Sur les formes quadratiques binaires indefinies, Math. Ann. 15 (1879), 381-406.

¹⁷ A.Markoff Sur les formes quadratiques binaires indefinies. II, Math. Ann. 19 (1880), 379-399.

¹⁸ Hall, Jr., Marshall On the sum and product of continued fractions, Ann. of Math. 48:2 (1947), 966-993.

¹⁹ Г.А. Фрейман О начале луча Холла, Теория чисел, часть V, Калининский государственный универ
ситет (1973), 87-113.

²⁰ Hall, Jr., Marshall On the sum and product of continued fractions, Ann. of Math. 48:2 (1947), 966-993.

²¹ Г.А. Фрейман Диофантовы приближения и геометрия чисел (задача Маркова), Калининский госу
дарственный университет (1975).

ций семейства Данжуа. Описание и исследование свойств левых концов пропусков в спектре Лагранжа.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

Найдены точные оценки максимумов и минимумов континуантов по различным множествам. Построен алгоритм получения максимума для континуанта, в котором фиксирована сумма неполных частных с весами 1 и 2. Вычислена соответствующая экспонента роста при длине континуанта, стремящейся к бесконечности.

Получены аналоги теорем I и II для функции д_т(х) с неулучшаемыми константами я\ и х₂.

Кроме того, получен ряд новых результатов о спектре Лагранжа.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, и разработанные в ней методы могут быть применены в задачах теории цепных дробей и исследований спектра Лагранжа. Кроме того, полученные результаты могут использоваться в учебном процессе в рамках специальных курсов и специальных семинаров.

Методология и методы исследования. В работе использованы элементарные методы теории чисел, методы математического анализа, подходы, связанные с комбинаторикой слов, и компьютерные вычисления.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

«Diophantine Analysis» — Астрахань, Россия (30 июля — 3 августа 2012);

«Moscow Workshop on Combinatorics and Number Theory» — Москва (Долгопрудный), Россия (27 января — 2 февраля 2014);

и научно-исследовательских семинарах:

«Московский семинар по теории чисел» (рук. Ю.В. Нестеренко, Н.Г. Мощевитин), МГУ;

«Дискретная геометрия и геометрия чисел» (рук. Н.П.Долбилин, М.Д.Ковалев, Н.Г. Мощевитин), МГУ;

«Арифметика и геометрия» (рук. Н.Г. Мощевитин, О.Н.Герман), МГУ;

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 статьи в ведущих российских рецензируемых изданиях [ — [, а также электронный препринт на сервере [.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Общий объем диссертации составляет 108 страниц. Библиография включает 31 наименование.

Континуанты с одинаковыми неполными частными нечетного индекса

Ключевым методом, используемым в доказательствах данных теорем, является следующее простое соображение:

Лемма 1.7. Если для любого континуанта X из множества S существует конечная последовательность неуменъшающих (неувеличивающих) преобразований, приводящая его в фиксированный континуант (М) Є S {X) (Л:) (А2) ... (ЛП_І) (М), (1.31) то (М) является максимальным (минимальным) континуантом на множестве S.

Доказательство. Рассмотрим максимальный континуант на множестве S, построим для него цепочку неуменьшающих преобразований (1.31) из усло вия леммы. Дальнейшее очевидно. Будем строить максимум и минимум по множеству Wf(h, р) преобразованиями следующего вида: АДС7) (Д ,С7) (1.32) Очевидно, что если В имеет нечетную длину, то рассмотренное преобразование не выводит из множества Wf(h,p) . Следующая лемма из статьи [22] дает ответ на вопрос, в каких случаях замена (1.32) увеличивает или уменьшает континуант: Лемма 1.8. Неравенство АДС7) (Д,С7) выполнено тогда и только тогда, когда ([0;5]-[0; ])([0; ]-[0; ]) 0. При этом оба неравенства могут обращаться в равенства только одновременно.1 Для континуантов из множества Wf(h,p) эту лемму проще применять в следующей формулировке: Следствие 1.2. Пусть d{ dj. Тогда неравенство (АдД ,С) (Д Д, ,С) (1.33) 1В статье [22] в формулировке данного утверждения (теорема 1) допущена опечатка. Вместо ([р ] — [р]) должно стоять ([р] — [ г]) Выполнено тогда и только тогда, когда ([0;% - [0;d])(dj - di) 0 (1.34) При этом оба неравенства могут обращаться в равенства только одновременно. Доказательство. Применим лемму 1.8 для В = (di,D,dj). Заметим, что знак ([0; В] — [0; В]) совпадает со знаком (dj —di), дальнейшее очевидно. Неформально говоря, для увеличения континуанта надо большее неполное частное ставить к меньшей цепной дроби, а для уменьшения - большее неполное частное к большей цепной дроби. Таким образом, задача сравнения (A, d{, D, dj, С) и (A, dj, D,d{, С) сводится к сравнению цепных дробей [0, А] и [0; С]. Для этого удобна следующая лемма:

Лемма 1.9. Пусть цепные дроби [0, А] и [0; С] имеют нечетное количество неполных частных (не считая нулевое), причем все неполные частные нечетного индекса для обеих дробей равны а. Тогда из двух дробей больше та, в которой первое отличающееся неполное частное больше. Если цепные дроби имеют разную длину, но при этом все неполные частные более короткой цепной дроби совпадают с соответствующими неполными частными более длинной, то более короткая цепная дробь больше. Доказательство. Первое утверждение леммы следует из базовых свойств цепных дробей, см. [28]. Второе утверждение следует из того, что более ко роткая цепная дробь является нечетной подходящей дробью к более длин ной. Лемма 1.10. Минимальный континуант на множестве Wr(h,p), где h = (hhh2,... ,hf), р = (pi,p2,... iPf)-, имеет вид ((a,hf)Vf\X,(hf,a)W) (1.35) для некоторого X Є Wf hi, h i,... hf-\), {Рі-,Р2, -Pf-i)) Доказательство. Докажем, что из любого континуанта (С) Є Wi{h,p) можно уменьшающими преобразованиями сделать континуант вида (1.35). Прежде всего, пусть первое неполное частное четного индекса в (С) - hi, меньше hf. Тогда выберем неполное частное, равное hf, не стоящее на правом конце континуанта. Рассмотрим замену (a, hi, D, hf, С) - (a, h%, D, hf, С).

Она уменьшает континуант, поскольку [0; а] [0; С] по лемме 1.9. Аналогично можно добиться того, чтобы и последнее неполное частное четного индекса было равно hf. Пусть теперь континуант имеет вид ((a, hffk\a, h D, hf, a, h3,C), где hi hf, hj hf. Тогда замена ((a, hfpk ,a, hi, V, hf, a, hj, C) — ((a, hfpk\ a, hf, V, hi, a, hj, C) является уменьшающей в силу леммы 1.9. Следовательно можно уменьшающими заменами перевести (С) в континуант вида {{a,hft\a,D,a,{hf,a) ), где к + / = Pf, а D не содержит элементов, равных hf. Будем считать, что к /, в противном случае перейдем к симметричному континуанту. Если к — I 1, то утверждение леммы доказано. В противном случае пусть D = (hf,E,a,hi), рассмотрим замену ((a, hf -V, a, hf, ,a,hi,a, (hf, а)(/)) - ((а, к к 1) ,а,Ы, Ё,а, (hf, а)(/+1)) Она уменьшает континуант, поскольку цепная дробь [0; (a,hfp ,а] длиннее цепной дроби [0;a,(hf,ap ]. Такими заменами можно добиться, чтобы количество неполных частных, равных hf у левого конца континуанта было больше количества таких неполных частных у правого конца не более, чем на 1. Лемма доказана.

Континуанты с фиксированной взвешенной суммой неполных частных

Теперь сформулируем и докажем теорему 5. Теорема 5 Существует алгоритмически вычислимая с любой точностью константа к 13.05 ... такая, что выполнены следующие утверждения: (г) Пусть х = [ 2i,..., at}...} - иррациональное число и liminf 2 = Kmf{x) УІ2 13.05. t— оо t Тогда производная g -i(x) существует и равна 0. (гг) Для любого положительного 5 существует иррациональное у = [&i,... , bt, ] такое, что t— 00 lim —-— я2- 5 и g -i(y) = +оо. Доказательство. В доказательстве данного утверждения мы докажем существование К2 и предъявим алгоритм, позволяющий получить его с любой точностью, а также оценим снизу скорость его сходимости. Во-первых отметим, что /_i([7, 4]) = 0. Действительно, по лемме 1.30 g2t = (4,7,...,4,7)x(29 + 4[7,4])f 30f А поскольку a1+2a2+...+a2t-i+2a2t __ lot Ю00 получаем, что Hm — = 0. Следовательно, по лемме 2.3 производная в точке [7, 4] существует и равна 0. Далее, пусть х = [ 2i,..., а ,...] - иррациональное число и щп/(х) 15. Тогда по лемме 2.3 g p-i{x + 6) - g -ijx) ql S in t (x)—5 Напомним, что max(M (/;, St)) - максимум по всем континуантам длины t с Sf(x) = St- Очевидно, что 9 p-i(x + 8) - g x) q? cmax2(Mv(t,St)) Q твхЦМ І, St)) S in t (x)—5 (pSt (x) (pSt (x) Поскольку по теореме 1.3 (Атах) = max.a(M p(t,St)) Є M (t}St)} а Kinf{x) 15, то по следствию 1.6 любое неполное частное (Атах) больше либо равно любого соответствующего неполного частного континуанта (В) = (7, 4,.. . , 7, 4). Отсюда следует, что (В) можно превратить в (А) увели t/2 пар чением некоторых неполных частных на 1 (возможно несколько раз). Однако несложно убедиться, что любая такая замена уменьшает дробь в правой части формулы (2.41). Следовательно к существует и меньше 15.

Аналогично несложно показать, что ? -i([7,3]) = +оо, а значит, у 2 13 Тогда из теоремы 1.3 следует, что таха(М (t, St)) для всех ж, для которых выполнено 13 М 15 t достигается на множестве состоящем из континуантов (А) таких, что N(A) = ({7}, {3,4}). Обозначим это множество С\ . Сформулируем следующий простой принцип:

Пусть х = [А],у = [В] - периодические цепные дроби, А, В Є Сз4, 1(A) = ti, 1(B) = 2, причем: (A)=max(Ml (tuS?1(A))), (B)=max(Ml (t2,S (B))) (2.42) и пусть д (х) = сю, д -і(у) = 0. Тогда inf{x) 2 inf{y) Действительно, пусть К2 Kinf(x). Это противоречит определению Я2-, поскольку Hinf(x) К2} НО g -i(x) = ОО. Если же Н2 Xinf(y), то это означает, что Эг : щп/(у) inf(z) хги при этом д i(z) = 00. Пусть z = [с\ ... ct...], тогда g jz + 6) - 9ip-i(z) q (z) max2(M (t, Sf(z))) Лемма 2.4. Функция f(Sf(z)) = щ іт т (,43) при достаточно большом t убывает с ростом Sf(z) при 13 Щ 15. Доказательство. Действительно, если ЗГ( і) %Ы и (Аі = maxa(M , S?(Zl))), (Л2 = maxa(M , 5f (z2))), то по теореме 1.3 А\ А і Є СІ4- Докажем неравенство Ш С(з) (2 44) Возьмем любые 2 г неполных частных (А2), равных 4 и заменим их на 3. Так как каждая такая замена уменьшает континуант не более, чем в раза, имеем оценку vk) Ы А поскольку Sf(A!2) = Sf(Ai),To (А 2) c0maxa(M , Sf( i))) = co(Ai), что доказывает неравенство (2.44). Далее, pWM) ( fP( . „ /34 )- )) / N откуда, подставляя (2.44) и (2.45) в (2.43), получаем убывание функции f(Sf(z)) при достаточно большом t. Таким образом, где последнее неравенство выполнено по лемме 1.25. А из того, что lim ІШ = о 11111 т/ ч v/, мы получаем противоречие с тем, ЧТО (/_i{z) = +00. Доказанный принцип позволяет найти к с любой точностью. Вычисления, опирающиеся на леммы 2.2 и 2.3, показывают, что для ж= [7,3,.„,7,37,4] -і(ж) = 0, 37 пар а для у = [7,3,..., 7,3 7,4] д (у)= оо. 38 пар Следовательно 13.0513 х 13— я2 13— х 13.0526. 39 38 Проводя итерации алгоритма с блоками все более высокого уровня можно сосчитать х2 с любой требуемой точностью. Оценим скорость сходимости алгоритма.

Прежде всего рассмотрим для введенных в (2.42) континуантов (А) и {В) континуанты (А ) Є M3{th S{A)) и (В ) Є M3{t2,S {B)), являющиеся асимптотическими максимумами по соответствующим множествам. Ввиду теоремы 1.4 они имеют вырожденную блоковую структуру. Напомним, что і и t2 - это длины (А) и (В) соответственно. В силу теоремы 1.4 и следствия 1.10 для любого натурального і выполнены оценки

Следовательно, поскольку д і(х) = оо, д і(у) = 0, Без ограничения общности будем считать, что і = t2-, поскольку в противном случае мы можем перейти к рассмотрению цепных дробей \А1_ А) = [А ] и [В\_ В) = [В }: имеющих одинаковую длину. Рассмотрим континуант (А , В ), обозначим его (С). Очевидно, что 1(C) = 2 1, a Sfti(C") = S A ) + БЦВ ). Это означает, что т/([Ь J) = . Обозначим (С) = тах(Мз(2і, S (С))). Найдем, чему равна производная в точке [С]. Если она равна 0, то по сформулированному выше принципу максимума ([А }) я2 Hmf([C ]). Если, напротив, g -i{[C \) = оо, то, аналогично, {[C ]) H2 Hmf{[B ]).

Таким образом, за один шаг алгоритма отрезок, на котором лежите умень шается в 2 раза. Следовательно, для того, чтобы найти к2 с точностью є требуется по порядку величины не более logs- шагов алгоритма. Теперь докажем теорему 6. Приведем еще раз ее формулировку. Теорема 6 (г) Если все неполные частные числах Є [0,1] \Q меньше либо равны 2, то g -i(x) = +оо (гг) Существует у Є [0,1] \ Q такое, что все неполные частные числа у меньше либо равны 3 и д -і(у) = 0. Доказательство. Заметим, что /_i([l,2]) = +оо, поскольку по лемме 1.30 4 = (З + (Л/З-І))Й ІЗ и знаменатель дроби из формулы (2.1) равен ps \x) = ры 12і, а значит, по данной лемме производная существует и равна +оо.

Доказательства теорем

Лемма 3.6. Если для некоторого иррационального а = [0, а\,..., аг выполнено равенство limsup Xi(a) = Ао, (3.35) то существует число N такое, что Уп N Хп(а) Ао Доказательство. Предположим противное. Пусть существует возрастающая последовательность k(j) такая, что для любого натурального j выполнено неравенство Xk(j)(oi) А0. Из леммы 3.5 следует, что существует J такое, что Vj J a k{j) либо левая, либо правая тройка, принадлежащая участку (1,2,3,3,3,2,1) в последовательности неполных частных а. Возьмем произвольное jo J + 2 и положим п = k(jo). Пусть ап - правая тройка, то есть ап_4 = 1,ап_з = 2,ап_2 = 3, 2n_i = 3, ап = 3, ап+\ = 2, ап+2 = 1. В этом случае Хп(а) = [3; 3,3, 2,1,..., ц] + [0; 2,1,...]. (3.36) Покажем, что для первого слагаемого верно неравенство [3; 3,3, 2,l,...,aJ [3; 3, 3, 2,1,1, 2]. (3.37) Предположим противное. Заметим, что [3; 3, 3, 2,1,. .. , а-\\ не может быть подходящей дробью для [3; 3, 3, 2,1,1, 2], поскольку в первой цепной дроби a (jo-i) = 3, а во второй соответствующее неполное частное равно 2 или 1. Следовательно, существует неполное частное, в котором эти дроби отличаются. Обозначим неполные частные первой цепной дроби как [bo; b\,... , &n-i]5 а второй дроби - как [со; сп,.. . , cn_i,...]. Пусть первое отличающееся неполное частное имеет индекс г. Очевидно, г 4. Если г четно, то из леммы 3.3 получаем br сг. Поскольку сг = 2, а неполные частные больше 3 запрещены, имеем br = 3. Но так как cr_i = br-\ = 1, получаем, что в [3; 3,3, 2,1,..., а-\\ есть запрещенная комбинация (1,3). Противоречие. Если же г нечетно, то из леммы 3.3 получаем, что br сг, что невозможно поскольку сг = 1. Абсолютно аналогично доказывается, что [0;2,l,...,ai] [0;2,1,Т72]. (3.38) Объединяя (3.37) и (3.38), получаем An(a) = [3;3,3,2,l,...,a1] + [0;2,1,...] [3; 3,3, 2,1, Щ + [0; 2,1,172] = Л0. (3.39) Противоречие. Случай, когда ап - левая тройка, принадлежащая участку (1, 2,3, 3,3, 2,1), полностью аналогичен. Лемма доказана. Теперь теорема 7 очевидно вытекает из лемм 3.2 и 3.6. 3.3. Левые концы пропусков в спектре Лагранжа Доказанная Г.А. Фрейманом[26] и Х.Шекером[17] теорема утверждает, что спектр Лагранжа содержит любое число, большее у 21. Выведем из нее очевидное следствие. Следствие 3.1. Пусть а - левый конец пропуска в спектре Лагранжа и а = [ 2о; Сії-, &2, ] " иррациональное число такое, что ц(а) = а. Тогда для любого достаточно большого п выполнено неравенство ап 4.

Рассмотрим иррациональные числа а = [ао; 2i,... , an, b\,...], (З = [ао; 2і,..., ап, Сі,...] такие, что Ъ\ ф С\. Лемма 3.3 дает верхнюю оценку для разности \а — (3\. Если ж;е все неполные частные разложения в цепную дробь чисел а и (3 ограниченны, тогда величину \а — (3\ можно также оценить снизу. Введем обозначение 5п = 5 2(п+2).

Лемма 3.7. Пусть иррациональные а и [5 удовлетворяют условию леммы 3.3. Предположим также, что все неполные частные разложения в цепную дробь а и [5 не превосходят 4. Тогда выполнены неравенства 6п \а - (3\ еп. (3.40) Доказательство. Обозначим через — и Ц- n-ые подходящие дроби к а и [5 Чп Чп соответственно. Легко видеть, что qn Ъп и q 5П. Поскольку — ф f, либо Чп Чп либо лежит между а и /J. Если находится между а и (,, то М Чп+1 Чп+2 Чп+1 Чп+2 также лежит между этими двумя числами. Так как п±1 ф -г , получаем Чп+1 Чп+2 Рп+1 _ Рп+2 Чп+1 Чп+2 1 , — 8Г, Qn+lQn+2 Случай, когда ±2L лежит между а и /3, рассматривается полностью анало Чп+2 Рп+2 Чп+2 гично. П Лемма 3.8. Пусть п- произвольное четное положительное число. Обозначим N = N(n) = n(4:2n+l + 1). Пусть ( 2i, 22, &/v) - произвольная последовательность из натуральных чисел длины N, причем все ее элементы не превосходят А. Тогда существуют два натуральных числащ щ таких, что аПі+і = аП2+і для всех 0 і 2п. Более того, щ = n i (mod 2). Доказательство. Существует лишь 4 + различных последовательностей длины 2п + 1, состоящих из чисел 1,2,3,4. Рассмотрим 42n+1 + 1 последовательностей ( 2i, 22n+l), («2n+2, , а+п+2), , (tt(2n+l)42+4b а {2n+l)A2n+1+2п+2) (3.41) Из принципа Дирихле следует, что среди них есть хотя бы две совпадающих. Обозначим индексы их первых элементов за п\ и щ- Последовательности будут иметь вид (аП1,... , аП1+2п) и (аП2,. .. , аП2+2п)- Поскольку длина каждой последовательности в (3.41) четная, щ = n i (mod 2), лемма доказана.

Пусть CN = (сі, С2,... , Сдг) - произвольная последовательность длины N, найдем числа п\ и п из леммы 3.8. Зададим две новых последовательности натуральных чисел N = (СЬ с2, , СП1_1, СП2, СП2+1, . . . , CN)} 2 _ (3.42) Одг l Ci, С2, . 5 сПі_і, сП1,..., сП2_і, сП1, . . . , СП2 — і, СП2 , СП2-\-і, . . . , C/vJ. Здесь последовательность C]q получена из CN выкидыванием участка (сщ,сПі+і,..., Cn2_i), а последовательность (7 получена из См добавлением этого же участка второй раз.

Лемма 3.9. Пусть 7 = [0; Сі, С2,..., сдг,...] - произвольное иррациональное число, не являющееся квадратичной иррациональностью. Рассмотрим последовательность CN = (ci,C2,... ,с/\г) и найдем два числа щ и n i из леммы 3.8. Определим два новых иррациональных числа

Левые концы пропусков в спектре Лагранжа

Тогда max(71,72) 7 Доказательство. Обозначим через г наименьшее положительное число та кое, что сП1+г т сП2+г. Поскольку 7 не является квадратичной иррационально стью, определение г корректно. Пусть 7 7- Первое отличающееся непол ное частное в их разложениях в цепную дробь есть сП2+г в 7 и сП1+г в 7 Теперь сравним 7+ и 7- Первое отличающееся неполное частное в их разло жениях в цепную дробь есть сП1+г в 7+ и сП2+г в 7- Поскольку п\ и П2 имеют одинаковую четность, либо 7 5 либо 7+ больше, чем 7- П Обозначим max(71,72) через 7+- Обозначим соответствующую максимуму последовательность неполных частных (Cjj или Cfq) как С . Когда все неполные частные разложения 7 в цепную дробь ограниченны, нетрудно вывести количественную версию леммы 3.9, используя лемму 3.7. Следствие 3.2. Пусть 7 = [0; сі, С2,..., сдг,...] - произвольное иррациональное число, не являющееся квадратичной иррациональностью. Пусть все неполные частные разложения в цепную дробь не превосходят 4. Определим 7+ как описано в предыдущей лемме. Тогда

7+ - 7 $N+r Доказательство. Лемма 3.10. Пусть 7 = [0; сі, С2,..., CN} ...] «7 = [0; с 1}с 2}..., с -,...] -два иррациональных числа, причем неполные частные их разложения в цепную дробь не превосходят 4. Предположим, что любая последовательность неполных частных длины 2п + 1, встречающаяся в последовательности (с 1}с2}... }c N}...) бесконечно много раз, также встречается бесконечно много раз в последовательности (сі, С2,..., CN} ...). Тогда выполнено неравенство МУ) Мт) + 2 п Доказательство. Существует растущая последовательность k(j) такая, что ИтЛ,(,)(7/) = М7/)- (3-44) Поскольку все неполные частные разложения j в цепную дробь ограниченны, существует подпоследовательность k {j) такая, что dk,,- +i = dk, - л+і для любых натуральных ji,j2 и — n і п. Обозначим в качестве D последовательность \Ck {j)-ni Ck {j)-n+li 1 Ck {j)i 1 Ck (j)+n)- (3.45) Поскольку последовательности (3.45) по определению k (j) совпадают при всех j, определение D без индекса корректно. Последовательность D имеет длину 2n + 1, а значит встречается в последовательности неполных частных (c l5 с2. , c N,...) бесконечно много раз. Следовательно, существует растущая последовательность индексов l(j) такая, что свд+г = cm+i (3-46) для всех j Є N и — п і п. Из леммы 3.7 следует, что \\кіф )-\іф)\ їєп (3.47) Заметим, что lim \т(і) = lim ЛА(І)(7;) = МУ) (3-48) J— С» J— с» И lim sup A/(j) (7) /і(т). (3.49) Теперь условие леммы следует из (3.47), (3.48) и (3.49).

Лемма 3.11. Для произвольного натурального п определим N = N(n) из леммы 3.8. Пусть CN - произвольная последовательность N. Рассмотрим произвольное иррациональное 7 = [0; Сі, С2,... , с/у,...] такое, что участок CN встречается в последовательности С = (сі, С2,..., сто,...) бесконечно много раз. Определим бесконечную последовательность С+ следующим образом,: заменим, все участки, CN в последовательности С на С . Обозначим 7; = [0; С+]. Тогда МУ) Мт) + 2єп. Доказательство. С равно С] или С\. Нетрудно видеть, что в обоих слу чаях условия леммы 3.10 выполняются. Теорема 3.1. Если (а,Ь) - пропуск в спектре Лагранжа h, то существует периодическая в обе стороны последовательность А такая, что а = До (А) = М(А). Таким образом а представимо в виде суммы двух квадратичных иррационально стей. Доказательство. Пусть (а, Ъ) - пропуск в спектре Лагранжа. Зафиксируем четное п, удовлетворяющее условию еп р. Определим N = N(n) из леммы 3.8. Далее рассмотрим произвольное иррациональное число а = [0; Сі,...] такое, что /І (7) = а- Без ограничения общности будем предполагать, что все неполные частные разложения 7 в цепную дробь не превосходят 4. Поскольку /i(7) = й, существует монотонная последовательность индексов k(j) такая, что ИтАад(7) = а, (3.50) .7-Юо причем разность k(j + 1) — k(j) стремится к +оо при j — оо. Теперь рассмотрим для каждого j следующую конечную последовательность

Поскольку все неполные частные разложения а в цепную дробь ограниченны, в k(j) существует такая бесконечная подпоследовательность индексовjTO, что ck(jm )+i = ck(jm )+i Для всех натуральных ті и 7ТІ2 и для всех і в диапазоне —N і N. Без ограничения общности можем полагать, что си л+{ = ck(J2)+i Для всех натуральных j\ и J2 и ПРИ h п0 модулю не превосходящему N. Таким образом, последовательность (с -)+і, сц +2, Ck(j)+N) не зависит от j. Обозначим ее как См- Обозначим также Сщ) как с, поскольку он тоже не зависит от j. Рассмотрим бесконечную цепную дробь