Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 16
1.1. Линейные алгебры и их многообразия 16
1.2. Краткие сведения из теории представлений симметрической группы 25
Глава 2. Проблема конечности кодлины в различных классах линейных алгебр 31
2.1. Многообразия линейных алгебр кодлины равной единице 31
2.2. Условия конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр 33
2.3. Многообразия NSA, Vi, U2 алгебр Ли и их свойства 34
2.4. Многообразия алгебр Ли и условия конечности их кодлины 40
Глава 3. Условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница 57
3.1. Многообразия NSA, Vi, U2 алгебр Лейбница и их подмногообразия 57
3.2. Необходимое условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница 61
3.3. Достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница 71
3.4. Необходимые и достаточные условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница 77
Литература
- Краткие сведения из теории представлений симметрической группы
- Условия конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр
- Многообразия алгебр Ли и условия конечности их кодлины
- Достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница
Краткие сведения из теории представлений симметрической группы
С основами теории многообразий алгебр Ли можно познакомиться по монографии Ю.А. Бахтурина [2].
Пусть R — некоторая алгебра и ж, у — ее элементы. Дифференцированием алгебры R называется такой эндоморфизм a : R — R7 что для любых х и у из R выполняется равенство сг(ху) = (т(х)у + хсг(у) или в другой записи {ху)(т = (ха)у + х(уа). Название обосновано правилом Ньютона-Лейбница дифференцирования произведения двух функций. Обозначим ad у внутреннее дифференцирование алгебры Ли R7 определенное элементом у7 задаваемое равенством х ad у = ху.
Согласно этому тождеству правое умножение на элемент алгебры становится дифференцированием этой алгебры. При условии выполнения тождества антикоммутативности ху = —ух7 тождество Лейбница эквивалентно тождеству Якоби: x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0. Поэтому, если в алгебре Лейбница выполняется тождество хх = 0, то она является алгеброй Ли. В частности, любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница. Обратное неверно.
Рассмотрим некоторый гомоморфизм из алгебры К(Х) в произвольную алгебру Лейбница. При таком гомоморфизме в ноль переходят все элементы (xy)z — (xz)y — x(yz), где x, у, z из K{X). Пусть / — наименьший идеал в К(Х): содержащий все указанные элементы. Факторалгебра L(X) = К(Х)/1 называется свободной алгеброй Лейбница с множеством X свободных порождающих.
Определим некоторые тождества, которым удовлетворяют алгебры Лейбница. Эти тождества будут следствиями тождества (2). Очевидно, что в записи элементов алгебры удобно использовать расстановку скобок одного типа. Произведение, в котором скобки расставлены справа налево, используя тождество Лейбница: x(yz) = (xy)z — (xz)y можно переписать, когда скобки расставлены слева направо. Получим, что любой элемент алгебры Лейбница можно представить как линейную комбинацию левонормированных элементов. Поэтому договоримся опускать скобки в элементах алгебры в случае их левонормированной расстановки, то есть хлх2...хп = {((хлх2)х?,)...хп).
Иными словами, элементы внутри пары, стоящей не на первом месте, можно менять местами, изменяя при этом знак элемента на противоположный. Обозначим Y как оператор умножения справа на элемент у. Результат действия оператора Y будем записывать в таком виде: xY = ху. Та кое обозначение оператора удобно, например, при записи элемента вида ху...у = xYn7 где степень является элементом кольца эндоморфизмов рас п сматриваемой алгебры. Это более общее определение, которое можно использовать в случае любой линейной алгебры. В случае алгебры Лейбница Y является дифференцированием алгебры. А в случае алгебры Ли совпадает с внутренним дифференцированием.
Пусть А — некоторая алгебра Лейбница. Рассмотрим векторное пространство, порожденное квадратами элементов алгебры А и обозначим его через В. Отметим, что В не квадрат алгебры А, а алгебра квадратов элементов из А. Докажем, что В является идеалом алгебры А. Для произвольных а и Ь из алгебры А элементы а2,Ь2 и (а + Ь)2 принадлежат В. Тогда сумма
Полученная сумма по только что доказанному принадлежит В. Следовательно, В является левым идеалом алгебры А. Поскольку тождество Лейбница имеет следствие вида х(уу) = 0, то элемент Ьа2 также является элементом квадрата алгебры А7 по этому В является и правым, то есть двусторонним идеалом алгебры А. Пусть а — элемент алгебры А7 Ъ — элемент идеала. Тогда произведение аЪ в алгебре А обращается в ноль. Поэтому идеал В содержится в правом аннуляторе алгебры А. Понятно, что фактор алгебра А/В является алгеброй Ли.
Как обычно квадрат алгебры А будем обозначать А2. Квадрат алгебры состоит из линейных комбинаций всевозможных произведений элементов алгебры. Понятно, что А2 является идеалом идеалом алгебры А. Фактор алгебра А /А2 является алгеброй с нулевым умножением, то есть в ней выполняется тождество ху = 0.
Пусть V — некоторое многообразие линейных алгебр над полем К. Пространство, порожденное полилинейными элементами степени п от переменных xi,... ,хп в относительно свободной алгебре К(Х,\) этого многообразия V от счетного множества образующих X = {жі,..., хп,...} будем обозначать через Рп = Pn(V) и будем называть полилинейной компонентой относительно свободной алгебры многообразия V. В этих обозначениях для многообразия ассоциативных алгебр dimPn(V) = п\.
Условия конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр
Рассмотрим ненулевые подмодули, участвующие в разложении модуля Gk на неприводимые, и диаграммы соответствующие им. Допустим, что в первой строке некоторой диаграммы встречается менее п — 2tk клеток, то есть \\ п — 2tk- Согласно работе [36], элемент, построенный по данной диаграмме, может быть представлен в виде суммы слагаемых, каждое из которых содержит Аі кососимметрических наборов, соответствующих столбцам диаграммы. По нашему предположению \\ п — 2tk- С другой стороны, число симметрических переменных в элементе gk по построению больше или равно п — 2tk- Поэтому результат действия идемпотента, построенного по диаграмме с менее, чем п — 2tk клетками в первой строке, на элементы gk тождественно равен 0, поскольку в элементе gk будет существовать кососимметрический набор, включающий хотя бы две симметрические переменные. Отсюда диаграммы, соответствующие ненулевым подмодулям из разложения модуля Gk-, удовлетворяют соотношению Ai п — 2tk Теперь рассмотрим случай, когда в первой строке некоторой диаграммы встречается более п — tk клеток, то есть Ai п — tk Согласно работе [36], элемент, построенный по данной диаграмме может быть представлен в виде суммы слагаемых, каждое из которых содержит столько симметрических наборов, сколько строк в диаграмме. В частности, каждое такое слагаемое содержит симметрический набор из Лі переменных, причем Лі п — tk по предположению. В то же время, по построению число симметрических переменных в элементе gk не превосходит числа п — tk- Отсюда, результат действия идемпотента, построенного по диаграмме с более чем n — tk клетками в первой строке, на элементы д : тождественно равен нулю, поскольку возникнет ситуация, когда мы будем симметризовать две кососимметрические переменные.
Таким образом диаграммы, соответствующие ненулевым подмодулям из разложения модуля Gk-, удовлетворяют соотношению Лі п — tk Суммируя вышесказанное, получим, что диаграммы, соответствующие неприводимым модулям из разложения модуля Gk-, удовлетворяют свойству (9) и принадлежат множеству диаграмм Tk- Лемма 2.1 доказана.
Вернемся к доказательству Теоремы 2.5. Так как многообразие V имеет конечную кодлину, то согласно определению, существует такое натуральное число г, что для любого п выполняется неравенство /n(V) г. Через pln(V) обозначим число неизоморфных подмодулей из разложения полилинейной части Pn(V) на неприводимые. Из определения кодлины ясно, что pln(V) /n(V) г. Из последнего неравенства и из того факта, что множества диаграмм Tk не пересекаются, следует, что диаграммы, соответствующие ненулевым неизоморфным подмодулям в разложении Pn(V), попадут в не более, чем г множеств Tk Возьмем такую степень п, чтобы число ап построенных многочленов fk7 равное по построению числу множеств Tk-, превосходило число г. Это можно сделать, потому что последовательность чисел ап стремится к бесконечности. Тогда будет существовать такое число &о, что все диаграммы множества Т 0 будут соответствовать нулевым подмодулям в разложении модуля Pn(V) на неприводимые слагаемые.
Поскольку условие U2 / V С NSA для некоторого натурального s является необходимым условием конечности кодлины многообразия V, то возникает естественный вопрос, не будет ли это условие и достаточным. Доказательство этого факта изложено в работе [45]. Изложим это доказательство на идейном уровне.
Доказательство. Согласно [43], в разложении модуля Pn(U2) на неразложимые участвуют подмодули, отвечающие только разбиениям (п — 1,1), (п — 2, 2), (п — 2,1,1). Причем кратности вхождения данных подмодулей в разложение модуля Pn(U2) такие же как у аналогичных подмодулей в многообразия всех алгебр Ли. Поэтому из условия U2 . V следует, что один из таких подмодулей является нулевым в V.
Если обнуляется подмодуль, соответствующий разбиению (п — 1,1), то мы попадаем в многообразие N/ нильпотентных алгебр Ли ступени нильпотентности не выше /, где / — некоторое натуральное число [16]. Для многообразия N/ кодлина становится равной 0 при п /, из чего автоматически следует конечность кодлины многообразия V. Поэтому, при доказательстве предложений следующих утверждений мы будем считать, что данный подмодуль не обнуляется.
Многообразия алгебр Ли и условия конечности их кодлины
Перейдем к рассмотрению многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. В данном параграфе на "языке" тождественных соотношений указано необходимое условие конечности кодлины для многообразия алгебр Лейбница.
Еще раз напомним, что оператор умножения справа, например, на элемент у7 мы договорились обозначать через Y. Использование операторов позволяет существенным образом упростить описание элементов. В силу ассоциативности операторов умножения, мы можем воспользоваться обобщением на случай конечной степени операторов, в то время как для обычного умножения на базисные элементы такого обобщения мы сделать не можем в силу левонормированности расстановки скобок и отсутствия ассоциативности для самих элементов. В случае таких обозначений, например, элемент ху.. .у мы можем записать в виде xYm.
Учитывая тесную связь теории многообразий алгебр Ли и теорию многообразий алгебр Лейбница, понятно, что многие конструкции и идеи доказательств созвучны случаю алгебр Ли. Для любого натурального числа п 3 определим множество полиоднородных элементов gt степени п следующего вида gt{xh...,x2pt,y) = xo{x1x2)...{x2pt-iX2pt)Yn 2pt 1, где pt = 3і,t = 1,..., bn. Через bn обозначим число элементов введенного нами множества. Из определения получаем, что 2pt п. То есть 2 3і п, отсюда t log3(), в итоге получаем, что Ъп = [log3(f)] целая часть числа log3(). Отметим, что последовательность Ъп стремится в бесконечность. Для заданного п зафиксируем некоторое t и проведем линеаризацию элемента gt- Для этого вместо образующей у подставим сумму Y =2pt+i xs Для того, чтобы результат линеаризации попал в полилинейную компоненту Pn(V) вместо хо подставим хп. Полученная таким образом линейная комбинация содержит полилинейные слагаемые, называемые полными ли-неаризациями, и полиоднородные слагаемые, так называемые частичные линеаризации. Ко второму типу элементов можно снова применить процесс линеаризации и получить полилинейные слагаемые. Результат линеаризации элемента gt мы обозначим через ft. Этот элемент будет иметь следующий вид: где суммирование ведется по всем перестановкам а множества {2pt+l, 2pt+ 2,... ,n — 1}. Отметим, что так как характеристика основного поля равна нулю, то тождества ft = 0iigt = 0 являются эквивалентными.
Из этого следует, что образующие х\ и х2 входят в элемент ft кососиммет-рическим образом. Из этого непосредственно следует, что модуль KS yft симметрической группы 5 2 не содержит нетривиальных подмодулей, то есть является неприводимым. Этот модуль соответствует разбиению (1,1)
Мы получили, что модуль Gt, t = 1,... ,6П, должен раскладываться в прямую сумму неприводимых подмодулей, соответствующих диаграммам из множества Tt. Сформулируем это утверждение в виде леммы и дадим еще одно непосредственное доказательство этого результата. Лемма 3.1. Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница и Gt — подмодуль полилинейной компоненты этого многообразия, порожденный линеаризацией элемента вида где pt = 3і, t = 1,..., bn. Пусть, кроме того, Tt — множество диаграмм Юнга, которые отвечают разбиениям X = (Лі,Л2,...) числа п, удовлетворяющие следующему свойству п — 2pt — 1 Ai n—pt. Тогда в разложении КSn-модуля Gt участвуют только те неприводимые модули, которые соответствуют диаграммам из множества Tt.
Как было описано ранее, Gt = KSnft- Поэтому как модуль симметрической группы Gt раскладывается в прямую сумму неприводимых подмодулей. Нам необходимо исследовать все ненулевые подмодули, входящие в разложение Gt-, и диаграммы Юнга, которым соответствуют элементы, порождающие эти подмодули.
Рассмотрим теперь множество диаграмм Юнга Tt. По условию, оно состоит из диаграмм, построенных по разбиениям A = (Ai, А2,...) числа п, удовлетворяющим условию п — 2pt — 1 Ai п — pt- Определим, существуют ли ненулевые неприводимые подмодули из разложения Gt: соответствующие диаграммам, первая строка которых не удовлетворяет этому свойству, то есть диаграммам, для которых либо Х\ п — 2pt — 1, либо Ai n-pt.
Исследуем некоторый подмодуль Gt: соответствующий диаграмме, в первой строчке которой встречается менее п — 2pt — 1 клеток. Для такой диа граммы верно неравенство Х\ п — 2pt — 1. Для диаграммы, содержащей менее чем п — 2pt — 1 клеток в первой строке построим идемпотент. Тогда согласно работе [36], поскольку такая диаграмма содержит Лі столбцов, то элемент ft: построенный по ней может быть представлен в виде суммы слагаемых, содержащих Лі кососимметрических наборов, расположенных на фиксированных местах. Для этого надо рассмотреть раскраску диаграммы по столбцам. Вместо использования результата работы [36], можно в качестве порождающего элемента групповой алгебры, который порождает соответствующий неприводимый модуль, рассмотреть элемент равный произведению CR (см. пункт 1.2.2 стр. 29). Тогда порождающий элемент также будет кососимметричен по Лі наборов образующих. В этом случае, правда, кососимметрические переменные не будут заниматьопределенных мест. Подействуем этим идемпотентом на элемент ft. Число симметрических образующих в элементе ft по построению не меньше чем п — 2pt — 1. В этом случае как минимум две симметрические образующие будут подвержены кососимметризации. Как следствие, действие идемпотента обнулит элемент ft.
Достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница
В предыдущем параграфе было установлено достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Основным результатом данного параграфа является доказательство того факта, что приведенное в теореме 3.2 условие является не только достаточным, но и необходимым.
Теорема 3.3. Кодлина многообразия V конечна тогда и только тогда, когда верно включение V С NCA и в многообразии V для некоторого натурального п и некоторых элементов а.{ из поля выполняется тождество в котором хотя бы один коэффициент а.{ отличен от нуля.
Доказательство. Понятно, что тождества (16) и (17) имеют один и тот же тип, то есть их семейства совпадают. Поэтому можно считать, что эти тождества получаются друг из друга путем простых преобразований. Поэтому для многообразия V алгебр Лейбница, удовлетворяющего условиям теоремы 3.3 верны условия теоремы 3.2. Следовательно, достаточность сформулированного условия для конечности кодлины многообразия доказана в теореме 3.2. Перейдем к доказательству необходимости условия, сформулированного в теореме, для конечности кодлины многообразия. Пусть V — многообразие с конечной кодлиной. Согласно теореме 3.1, если многообразие V имеет конечную кодлину, то оно является подмногообразием многообразия алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом степени нильпотентности не выше s, то есть V С NSA. Таким образом, для завершения доказательства теоремы надо доказать выполнимость в многообразии тождества (17).
Рассмотрим элементы относительно свободной алгебры F(X, V) многообразия V от множества образующих {х\, Х2, жз}. Возьмем элементы алгебры F(X, V), которые соответствуют слагаемым тождества (17). Для этого вместо образующей х этого тождества подставим образующую х% относительно свободной алгебры, вместо у подставим х\ и вместо z — х2- Для упрощения записи мы снова используем обозначение линейного оператора умножения на элемент х\ справа через символ Х\. Рассмотрим все элементы, получившиеся в результате такой замены. При этом из верности тождества (17) в многообразии V следует в алгебре F(X, V) верность равенства
Поскольку любое соотношение в относительно свободной алгебре является тождеством многообразия, то из выполнения в алгебре F(X, V) получившегося равенства будет следовать тот факт, что многообразие V удовлетворяет тождеству (17). Тогда для доказательства теоремы нам необходимо доказать, что существует такая степень п, что в относительно свободной алгебре следующие элементы
Рассмотрим более подробно относительно свободную алгебру F(X, V), элементы которой мы изучаем. Эта алгебра имеет ранг 3. Поэтому обозначим ее через (V). Согласно работе [49] однородная компонента степени п относительно свободной алгебры (V) является модулем полной линейной группы СЬз(К). Обозначим ее через Pn-2,i,i(V). Как СЬз(К)-модулъ эта компонента раскладывается в прямую сумму неприводимых модулей. Аналогично полилинейному случаю, кратностью т\ называется число подмодулей, соответствующих одной и той же диаграмме Юнга, построенной по разбиению Л числа п. В силу строения алгебры Fs(V) ненулевым модулям из указанной суммы отвечают только разбиения не более чем на три части. То есть мы рассматриваем только разбиения вида Л = (Лі, Л2, Лз) числа п. Снова опираясь на работу ([49], теорема 2.7) мы получаем, что кратности для описанного СЬз(К)-модуля совпадают с кратностями m\(V) в полилинейном случае.
Рассмотрим полиоднородную компоненту Pn-2,i,i(V) относительно свободной алгебры (V) степени degXl = п — 2,degX2 = degX3 = 1. Для доказательства линейной зависимости рассматриваемых элементов достаточно ограничить константой не зависящей от п размерность пространства n-2,i,i(V). Ранее мы уже описали, что ненулевым неприводимым подмодулям будут соответствовать только разбиения вида Л = (Лі, Л2, Лз). Описывая такие разбиения более подробно, получим, что "вклад" в размерность этого пространства будут давать лишь модули полной линейной группы соответствующие только разбиениям следующего вида: Пусть Wi неприводимый модуль, соответствующий разбиению \(г\ Тогда размерность пространства Wi П Pn-2,i,i(V) равна числу полустандартных таблиц, в которую подставлены п — 2 единицы, одна двойка и одна трой ка. Напомним, что таблица Юнга называется полустандартной, если числа расставленные в ее клетках возрастают по столбцам и не убывают по строчкам.
Для любого другого трехчленного разбиения А = (Ai, А2, A3) числа п количество полустандартных таблиц с (п — 2)-мя единицами, с одной двойкой и с одной тройкой, равно нулю. Поэтому "вклад"в размерность полиоднородного пространства Pn-2,i,i(V) делают только модули, соответствующие рассмотренным четырем разбиениям AW, А , А , И А .
Пусть кодлина рассматриваемого многообразия ограничена некоторым числом С, то есть для любого п выполнено неравенство /n(V) С. Рассмотрим модуль И-7!, соответствующий разбиению \(1 . Этот модуль порожден элементом, построенным по указанной таблице Юнга. Так как любой элемент алгебры Лейбница является линейной комбинацией левонормиро ванных произведений, такой элемент единственнен. Таким образом, модуль W\ входит с кратностью один и его "вклад" в размерность пространства n-2,i,i(V) будет также равен единице.
Разбиению \(2 = (п — 1,1) соответствуют две полустандартные таблицы, поэтому "вклад" каждого неприводимого модуля, соответствующего разбиению X2 = (п — 1,1), в размерность пространства Рп-2,і,і(У) будет равен двум. Кроме того нам необходимо учесть, что для каждой таблицы существуют и изоморфные модули. При этом, поскольку кодлина есть сумма кратностей подмодулей, то произвольное т\ не превосходит суммы всех кратностей, то есть не превосходит самой кодлины /n(V). Таким образом, модули, соответствующие разбиению \(2\ делают "вклад" в размерность пространства Pn-2,i,i(V) не более чем 1С.
Поскольку каждому из разбиений А -3 1 и А -4 1 отвечает одна полустандартная таблица и кратности модулей, построенных по этим таблицам не могут превышать /n(V), то есть С, то модули изоморфные Ws (или W ) делают "вклад" в размерность пространства Pn-2,i,i(V) не более чем С.