Необходимое и достаточное условия деформации В-монополя в инстантон Тюрин, Николай Андреевич

Введение к работе

Актуальность темы.

П. А. М. Дирак в предисловии к первому изданию книги ^г Введение в квантовую механику" ([8]) следующим образом определил понятие физической величины. А именно, физическая величина, наблюдаемая нами, есть некоторый инвариант набора преобразований. Законы поведения в некоторой системе есть законы, перестановочные со всеми преобразованиями этой системы. И общая цель физики представлена как нахождение уравнений, инвариантных относительно как можно больших групп преобразований.

В каждом разделе математики найдутся методы, связанные с нахождением

и изучением инвариантов некоторых объектов по деиствию-соответствующих —

групп преобразований. Инварианты заменяют нам сами эти объекты во многих рассмотрениях. Кроме того, отдельно в каждом случае поставленные вопросы классификации объектов могут разрешаться именно в терминах численных характеристик, остающихся неизменными под действием групп преобразовании этих объектов.

В современной дифференциальной геометрии в качестве объекта действия группы в последнее время используются пространства решений некоторых известных дифференциальных уравнений (так называемых пространств модулей), и сами группы - группы диффеоморфизмов многообразий. Так, Дональд-соном ([2]) были предложены к рассмотрению многообразия модулей инстан-тонов для 4-мерных многообразігіі. Важность таких рассмотрений приходит из нужд дифференциальной топологии. Многообразие модулей может быть использовано для определеїшя инвариантов подлежащего гладкого четырехмерного многообразия X. Эти инварианты определяются фундаментальным классом [М] многообразия модулей инстантонов и классами когомологий на пространстве классов калибровочно эквивалентных неприводимых связностей A*/Q. Из этого возникают известные шхтиномы Дональдсона.

Модули инстантонов доставляют инварианты подлежащего многообразия, а инварианты это то, что интересует физиков. Поэтому не слишком неожиданной видится связь между квантовой теорией поля и дифференциальной геометрией в изучении инстантонов. А именно, Э.Виттен в [11] показал что хотя бы формально можно определить квантовую теорию, для которой статсумма вида

W(t) = // e-'W^VAW,

не зависит от t и доставляет дифференциально-топологические инваринты подлежащего многообразия X. Здесь интеграл берется по пространству пар (А, ф), где А связность, а ф - вспомогательное поле. Производя интегрирование сначала по ф, возможно представить W{t) как интеграл по пространству свяэ-ностей. При стремлении параметра t к нулю интегрант локализуется вблизи инстантонов, и Виттсн предположил, что мы снова получаем те же инварианты, что и из полиномов Дональдсона.

Позднее Виттен совместно с Н.Зайбсргом предложил новые инварианты 4-мерных многообразии, тесно связанные с дональдсоновскими, но зачастую гораздо более простые для работы. Инварианты Заиберга - Виттена четырых-мерных многообразия X определяются количеством решений естественной системы дифференциальных уравнений, определяемых с помощью выбора Spin^c-структуры на X. То есть строится отображение из классов эквивалентности 5рт^с-структур (из возможных классов Черна детерминанта спинорного расслоения) в целые числа.

Эта система, получившая название уравнение монополя, в последнее время прочно вошла в обиход математики во всем мире. Приведем два примера, ярко иллюстрирующих степень полезности и применимости уравнения монополя в алгебраической и симплектической геометрии.

П.Кронхеймер и Т.Мровка в [3] показали как использование этих новых инвариантов 4-мерных многообразий, получающихся из уравнения монополя, легко (полное доказательство - на трех страницах, случай небывалый в современной практике) приводит к доказательству гипотезы Тома - "род алгебраической кривой в СР² равен нижней границе рода любых 2-мнбгообразйи, представляющих один и тот же класс гомологии". Как известно, род гладкой алгебраической плоской кривой степени d получается из формулы д = (d — 1) (d — 2)/2, поэтому авторами утверждение представлено в виде:

Теорема. Пусть Е ориентированное 2-мерное многообразие, гладко вложенное в СР² так что представляет тот же класс гомологии, что и некоторая алгебраическая кривая степени d. Тогда род Е больше или равен чем (d— l)-(d—2)/2

Другой интереснейший результат представлен К.Таубсом в [12]. Если на гладком ориентированном компактном многообразии X имеется симплектп-ческая структура ш, совместимая с ориентацией, тогда эта симплектическая структура задает целый конус почти комплексных структур эрмитово совместимых с ней. Выбрав одну мы немедленно получаем метрику g на А' и класс Черна С\ выбранной нами почти комплексной структуры на X может быть взят в качестве 5рг'гг^с-структуры на X. Будучи целочисленным, этот класс не зависит от выбора почти комплексной структуры из стягиваемого конуса, и зависит только от деформационного класса симшюктический структуры. Главная теорема Таубса утверждает, что в этом случае инвариант Заиберга - Виттена для сі и метрики g равен ±1.

Вообще необходимо заметить, что в симплектическои случае уравнение монополя имеет более простой вид. Причина в том, что в этом случае спинор-ное расслоение S⁺ раскладывается в прямую сумму 5⁺ = / ф К~¹, где / -тривиальное комплексное линейное расслоение, отвечающее собственному подпространству с собственным значением —і клиффордова умножения на ш, и К

- каноническое расслоение почти комплексной структуры, причем К~¹ отве
чает собственному подпространству с собственным значением :' для того же
умножения. А также и расслоенпе Л+ автодуальных форм раскладывается в
прямую сумму Л+ 0 С — С ш К К~^г.

В дальнейшем мы будем называть решения уравнения Зайберга - Виттена абелевыми монополями. Такое название предполагает наличие и других моно-полей - неабслсвых.

Неабелевы монополп стали следующим шагом, обобщающим понятие монополя на случай, когда с многообразием X связывается дополнительный объект

- расслоение, например, /(2)-расслоение. Кроме абстрактной самоценности
этой конструкции (как всякой математической), появление неабелевых моно-
полей позволило наглядно, геомстрическп соединить инварианты Дональдсона
с инвариантами Зайберга - Виттена.

А именно, в многообразие модулей неабелевых монополей очевидным образом вкладывается многообразие модулей пнстаятонов. Вложение определяется следующим образом: если мы рассмотрим уравнение неабелевых монополей

Л.(Ф)=0

^_в⁺ = -(ФФ)оо, ' '

где D_a - оператор Дирака, подкрученный на связность а, и если в паре (а, Ф) = (связность, спинор) положить Ф = 0, то оставшееся условие будет равносильно тому, что а _- антиавтодуальная связность, то есть инстантон. С другой стороны, если рассмотреть теперь вырождение связности, то есть предположить, что связность а - приводимая, тогда в качестве такого рода особенностей многообразие модулей неабелевых монополей содержит в себе абелевы монополії

- классические монополи Зайберга - Виттена. То есть схема особенностей со
держит в себе и многообразие модулей инстантонов, и многообразие моду
лей абелевых монополей. Кроме того, так как многообразие модулей инстан
тонов не компактно, оно по теореме Уленбск компактифицируется ЬиШіпд-
инстантонами, то в схему особенностей попадают еще и некоторые из этих
последних.

Цель работы.

Основной целью работы является исследование малых деформаций неабелевых монополей (В-монополей). Благодаря этому становится возможным ответить на вопрос о том, возможно ли деформировать инстантон в решение уравнения неабелєва монополя.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Исследованы малые деформации В-монополей вблизи многообразия модулей инстантонов (пнетантонной пленки), вложенного в конфигурационное пространство неабелевых монополей как компоненты подсхемы особенностей;

2. Доказано необходимое условие возможности деформации инстантона в решение уравнения неабелєва монополя - а именно, решение можно выпустить из инстантона подскока;

3. Для общего случая доказано достаточное условие на формальном уровне.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены в дифференциальной геометрии четырехмерных многообразий, а также в калибровочных теориях суперсимметричного Яяга - Миллса.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии Математического института им. Стеклова РАН.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в статье [13].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.