Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория Галуа (автоморфизмов) некоммутативных колец естественным образом выросла из теории Галуа полей.
Работа в этом направлении была начата E.Noether 1(1933)3 при изучении внутренних автоморфизмов центральных простых алгебр. N.Jacobson 2(1740)3, 3(1947)3, H.Cartan С4(1947)3, B.Hochshild [5(1949)3 положили начало теории Галуа тел. Полные кольца линейных преобразований изучали T.Nakayjia и S.Azumaya 6( 1947)3, J.Dieudonne С7(1948)3 И позднее A.Rosenberg и D.Zelinsky С8(1955)3- Многие из этих результатов можно найти в книге N.Jacobcon-a 9(1956)3-Среди более поздних публикаций отметим конографию H.Tominaga и T.Nagahara С1И(1970)3, работу S.Montgomery и D.Passman-a 11(1984)3, и монографию В.К.Харченко 12(1991)3. Как отмечено в 113, наиболее полные результаты для автоморфизмов и дифференцирований полупервичных колец получены В.К.Харченко (см. 123).
Теория инвариантов - это одна из вершин математики 19-го века, получающая все новые импульсы для своего развития. Фундаментальным достижением классической теории инвариантов является решение 14-й проблемы Гильберта о конечной порожденности алгебр инвариантов линейных групп -теорема Гильберта-Нагаты (см. 133). Работой М.С.Wolf 1936 года был открыт сравнительно небольшой круг исследований, который можно назвать некоммутативной теорией инвариантов. В последующих затем работах А-Т.Колотова, W.Dicke-a, E.Formanek-a, В.К.Харченко, T.Tamboui—а и других авторов в разное время изучались вопросы конечной порождаемости алгебры инвариантов тензорной алгебры, а также ее ряд Гильберта (для линейной группы автоморфизмов).
В 1941 году была опубликована основополагающая работа Хопфа 143. В ней впервые рассматриваются алгебры, получившие название алгебр Хопфа и занимающие исключительно важное место в совреиенной теории колец и в других областях математики. Изучение алгебр хопфа как таковых — важнейший
раздел современной теории колец (см., например, обзор C15J). Благодаря понятию алгебры Хопфа появляется возможность исследовать автоморфизмы и дифференцирования ассоциативных колец с единицей с единых позиций, как действий алгебр Хопфа. В частности, как теория Галуа некоммутативных колец, так и (некоммутативная) теория инвариантов определяют некоторый круг вопросов в ранках общей концепции действия алгебр Хопфа. Такой подход рассматривается в работах S.Montgomery, D.Passman-a, И.Cohen и многих других авторов.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Настоящая диссертация посвящена изучению действия алгебр Хопфа на первичные кольца. В основном рассматриваются следующие вопросы.
-
Когда алгебра некоммутативных инвариантов биалгебры конечно порождена?
-
Когда алгебра над полей С является бицентрализуеной, т.е. когда она при любом вложении в двустороннее мартиндейловское кольцо частных Q первичного кольца R совпадают со своим двойным централизатором? (Предполагается, что центр кольца Q совпадает с С).
-
Связь цветных супералгебр Ли и алгебр Хопфа.
СТРУКТУРА И ОБЬЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых каждая соответственно на 2, 6, 1, 4 параграфов, и списка литературы. Полный обьем диссертации 86 страниц. Библиография включает 45 наименований.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ. В диссертации применяются как стандартные методы исследований в теории колец, так и оригинальные методы, изобретенные автором и изложенные в тексте диссертации.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы следующие.
1. Изучены вопросы: а) когда алгебра некоммутативных
инвариантов биалгебры конечно порождена
Ь) когда все некоммутативные инварианты кокоммутативной биалгебры можно получить из конечного числа инвариантов с помощью операций алгебры и действий симметрических групп.
2. Доказано, что бицентрализуеиые алгебры,
кваэифробениусоаы.
3. На случай цветных супералгебр Ли обобщена теорема об эквивалентности категории принитивно порожденных алгебр Хопфа и категории (ограниченных) алгебр Ли.
ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты ногут быть использованы в неконнутативной теории инвариантов, теории алгебр Хопфа и теории действия алгебр Хопфа на первичные кольца.
АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ. Все результаты докладывались в разное вреня на сенинаре им. Ширшова по теории колец в Институте Математики СО РАН и на семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирской государственной университете. Часть из них докладывалась на I—ой Международной конференции по алгебре (г.Барнаул, 1991г.) и на Ш-ей Международной конференции по алгебре (г.Красноярск, 1993 г.).
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.