Некоторые конструкции фактор-групп и колец для гиперболических групп Семенов, Юрий Станиславович

Введение к работе

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена изучению двух конструкций, связанных с гиперболическими группами в смысле М.Громова. Класс таких групп достаточно широк: он включает в себя конечные группы, конечно порожденные свободные группы, дискретные кокомпактные группы движений л-мерного пространства Лобачевского, фундаментальные группы компактных римановых многообразий со строго отрицательной секционной кривизной, многие группы с малым сокращением.

Последние годы класс гиперболических групп активно исследуется. В [1] М.Громов предложил несколько схем, позволяющих строить бесконечные периодические фактор группы гиперболических групп, а также бесконечные фактор-группы, все собственные подгруппы которых являются циклическими.

Интерес к вопросу существования таких фактор-групп вызван известными проблемами Бернсайда и Тарского. Общую (неограниченную) проблему Бернсайда можно сформулировать следующим образом: верно ли, что всякая периодическая группа, порожденная конечным множеством элементов, конечна? В 1964 году Е.С.Голоду ([2]) удалось построить примеры бесконечных конечно порожденных р-групп. В дальнейшем ряд других

[1] M.Gromov. Hyperbolic groups. Essays in group theory (S.M.Gersten ed.), Springer-Verlag, 1937, pp.75-263. 12) Голод E.C. О ниль-алгебра.т и финитно-аппроксимируемых группах. Изв. АН СССР. Сер.мат. 28 (1964) п.2, с.273-276.

примеров появился в работах С.В.Алешина [3], Р.И.Григорчука [4], В.И.Сущанского [5] и других авторов. В 1968 г. вышла серия фундаментальных работ П.С.Новикова и С.И.Адяна [61, где на основании индуктивного метода классификации периодических слов было получено отрицательное решение проблемы для класса конечно порожденных групп с тождеством х"=1 при любых нечетных показателях tn-4381. Проблема Тарского - существуют ли бесконечные группы, все собственные подгруппы которых имеют простой порядок р - была положительно решена А.Ю.Ольшанским [7].

Обе проблемы могут быть сформулированы как проблемы существования соответствующих фактор-труп^1- свободных групп. В этом смысле схемы Громова показывают близость гиперболических групп к свободным. Однако эти схемы, с одной стороны, требовали некоторых уточнений и детального завершения ( А.Ю.Ольшанский предложил такие

[3] Алешин СВ. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах. Мат.заметки, 11 (1971) п.З, с.319-328. [4] Григорчук Р.И. О проблеме Бернсайда о периодических группах Функцион. анализ и его прилож. 14 (1981) л.1, с.53-54. [5] Сущанский В.И. Периодические p-rpj :пы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда. ДАН СССР, 247 (1979)' л.3, с.557-560. [6) Новиков СП., Адян СИ. О бесконечных периодических группах. 1,11,III. Изз. АН СССР. Сер.мат. 32 (1968) л.1, с.212-244, п.2, с.521-524, п.З, с.709-731.

17] Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка. Алгебра и логика, 21 (1982) п.5, с.553-618.

уточнения в [8]), а с другой стороны, что весьма существенно, они не позволяли равномерно ограничить порядки элементов в периодических фактор-группах.

В работе [9] А.Ю.Ольшанский показал, что у любой неэлементарной (т.е. не почти циклической ) гиперболической группы G, почти не имеющей кручения, существует бесконечная фактор-группа, которая имеет достаточно большую нечетную экспоненту n=n(G) . Таким образом, каких-либо принципиальных препятствий к равномерному ограничению порядков элементов в бесконечных периодических фактор-группах гиперболических групп не оказалось. Возник вопрос, а можно ли построить бесконечные фактор-группы нециклической гиперболической группы, все собственные подгруппы которых являются циклическими группами ограниченного периода, т.е. реыить аналог проблемы Тарского для гиперболических групп.

На гиперболические группы переносятся и другие известные проблемы, поставленные для свободных групп. К их числу относится и гипотеза X. Нейман о максимальном ранге пересечения двух конечно порожденных подгрупп свободной группы.

Гипотеза Х.Нейман первоначально была сформулирована в

[8] A.Yu.Ol'shanskii. On residua l'ing homomorphisms and G-subgroups of hyperbolic groups. Inter.Journal of Algebra and Comput., n.4 ( 1993 ), v.3, 365-409.

[9] Ольшанский А.Ю. Периодические фактор-группы гиперболических групп. Матем.сборник, 182 (1991), п.4, с.543 - 567.

f10} следующим образом: верно ли, что для любых двух нетривиальных
конечно порожденых подгрупп И,К свободной группы F выполнено
неравенство: rank(H(\K)-l*(rank(H)~l)(rank(K)-l) (1)

В 1954 году А.Хаусон доказал (till), что при указанных выше предположениях подгруппа Нг\К конечно порождена ( и привел оценку ее ранга) , а в 1957 году Х.Нейман ([10]) доказала ослабленный вариант неравенства (1) с множителем 2 в правой части.

В последующие годы усилиями Бернса ([12]), ймриха (.[13]), Герстена ([14]) были получены некоторые частичные продвижения в решении' этой проблемы. У.Нейман ([15]) предложил усиленный вариант гипотезы Х.Нейман:

Е КНлШГ¹) * "г(Е)~г(Ю (2)

titK*H\F/K

где r(L)=max[rank(L)-1.0}. Г.Тардош [16] доказал неравенство

[10] H.Neumann. On intersections of finitely generated subgroups

of free groups. Publ. Math.Debrecen, 4 (1955-1956), pp. 186-189

and Addendum, ibid., 5 (1957-1958), p.128.

[11] A.Howson. On the intersection of finitely generated free

groups. J. London Math. Soc, 29 (1954), pp. 428-434.

[12] R.G.Burns . On the intersection of finitely generated

subgroups of free group. Math.Z., 119 (1971),pp.121 - 130

[13] W.Imrich. Subgroup theorems and graphs. In Lect. Notes in

Math. 622, Springer-Verlag, 1977.

[14] S.M.Gersten. Intersections of finitely generated subgroups

of free groups and resolutions of graphs. Invent.Math., .71

(1983), pp.567 - 591.

(2) в том случае, когда В или К имеет ранг 2.

Методы, применявшиеся до сих пор при решении этой проблемы, основаны на комбинаторном анализе графов, которые в некотором смысле несут информацию о подгруппах И и К и их взаимном расположении в свободной группе F, Однако такой анализ в общем случае достаточно затруднен.

С другой стороны, усиленная гипотеза Х.Нейман имеет обобще ние для почти свободных групп. Оно выглядит вполне естественно, если рассматривать его в контексте категории бесконечных гиперболических групп и их квазивыпуклых вложений.

Цель работы заключается в изучении алгебраических конструкций фактор-групп и колег для бесконечных гиперболических групп, исследовании гомологических и теоретико-категорных аспектов этих конструкций.

Методы исследования. В работе используется комбинаторный подход к исследованию градуированных диаграмм, принадлежащий А.Ю.Ольшанскому, общие -методы теории групп, теории категорий, теории колец и модулей, элементы гомологической алгебры.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

[15] W.Neumann. On intersections of finitely generated subgroups of free groups.In Lect.Notes in Math., 1456, Springer-Verlag,1990 [16] G.Tardos. On the intersections of subgroups of a free group. Invent.Math., 1СІ (1992), pp. 29 - 36.

1. Для произвольной нециклической гиперболической группы без
кручения G построены ее бесконечные фактор-группы, все собственные
подгруппы которых являются циклическими группами порядка, делящего
достаточно большое нечетное число n*N(G).

2. .Независимо от і8] для произвольной нециклической гиперболи
ческой группы без кручения G построены ее бесконечные
фактор-группы, все собственные подгруппы которых являются, беско
нечными циклическими.

1. Введено понятие допустимого и строго допустимого подконуса как некоторого подмножества в множестве классов сопряженности подгрупп произвольной группы G. Кавдому допустимому подконусу поставлено в соответствие вполне определенное коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

2. Доказана строгая допустимость подконусов, состоящих из классов сопряженности бесконечных (соотв. неэлементарных) квазивыпуклых подгрупп произвольной бесконечной (неэлементарной) гиперболической группы.

3. Предложен обобщенный вариант гипотезы Х.Нейман о максимальной ранге пересечения двух конечно порожденных подгрупп свободной группы для класса неэлементаркых почти свободных групп.

6. Построены два контравариактных функтора из категорий
бесконечных и неэлементарных гиперболических, групп и их
квазивыпуклых вложений в категорию коммутативных ассоциативных
колец с единицей.

Теоретическая к практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть

использованы в теории групп, теории колец и модулей, геометрии.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, алгебро-геометрическом семинаре по теории групп университета "Париж-Юг"(Франция), семинаре Р.И.Григорчука и В.С.Куликова "Приложения теории групп в геометрии и анализе" в 1992-1993 годах.

Публикации. Полученные результаты опубликованы в двух работах г втора, указанных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на семь параграфов. Список литературы насчитывает 27 работ. Объем диссертации - 103 страницы.