Некоторые классы циклических модулей над алгебрами Ли Македонский Евгений Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Введение 3

1.1. Постановка задачи 3

Глава 2. Ручность и дикость 5

2.1. Примеры ручных и диких алгебр Ли 5

2.2. Колчан алгебры с абелевым радикалом 10

2.3. Исследование представлений колчана Kj, дикость алгебр с абелевым радикалом 14

2.4. Случай неабелевого радикала 20

Глава 3. Гипотеза Чередника-Орра для некоторых модулей 23

3.1. Модули Демазюра и ПБВ-фильтрации 23

3.2. Несимметрические многочлены Макдональда 28

3.3. Гипотеза Чередника-Орра 38

Глава 4. Связь супералгебр 05р(1,2) и многочленов Макдо нальда-Коорнвиндера 43

4.1. Модули Вейля 44

4.2. Несимметрические полиномы Макдональда типов

4.3. Сравнение 61

4.4. Квантовый граф Брюа для А% 63

Глава 5. Обобщенные модули Вейля и их связь с многочленами Макдональда 65

5.1. Формула Орра и Шимозоно 67

5.2. Обобщенные модули Вейля 76

5.3. Случаи малых рангов 89

5.4. Фундаментальные веса 100

Публикации по теме диссертации 103

Список литературы 1

• Постановка задачи
• Колчан алгебры с абелевым радикалом
• Несимметрические многочлены Макдональда
• Несимметрические полиномы Макдональда типов

Введение к работе

Актуальность темы. Данная работа посвящена изучению некоторых классов циклических представлений алгебр Ли.

Вопросам ручности и дикости посвящено много работ, например, [Gel], [D], [Dl], [Han], [Sam] и многие другие. Классификационная задача называется ручной, если множество ее решений параметризуется конечным семейством однопараметрических семейств. Нетривиальными примерами ручных задач являются задачи классификации представлений колчанов, у которых подлежащий граф (то есть граф, получающийся забыванием направлений стрелок) является аффинной диаграммой Дынкина. Дикой называется задача, к которой сводится задача классификации пары линейных операторов с точностью до одновременной замены базиса. Данная задача является эталонной сложной задачей. Так можно считать, например, потому, что к данной задаче сводится задача классификации неприводимых представлений любой конечномерной алгебры. Ю. Дрозд доказал, что задачи классификации конечномерных представлений любой конечномерной ассоциативной алгебры является либо ручной, либо дикой. Поэтому для многих других категорий естественно возникает вопрос о том, является ли задача классификации неразложимых объектов этой категории ручной или дикой. В частности, естественно поставить вопрос о том, всегда ли задача классификации представлений конечномерной алгебры Ли является либо ручной, либо дикой, и если да, то определить, в каких случаях эта задача является ручной.

В статье [2] автора было доказано, что задача классификации конечномерных представлений конечномерной алгебры Ли практически во всех случаях является дикой, то есть в некотором смысле эта классификация является невозможной. Эта классификация возможна (задача классификации является ручной) только для полупростых алгебр Ли и одномерных расширений полупростых. Поэтому имеет смысл изучать специальные классы представлений.

В данной диссертации исследуются модули Вейля. Это циклические представления борелевских подалгебр аффинных алгебр, определенные некоторым набором соотношений. Они изучались во многих работах, например, [CL], [FL1], [FL2], [Kn], [S], [І]. В частности, изучалась из взаимосвязь с многочленами Макдональда. В работах Сандерсон, Иона и Чари было доказано, что характер модулей Вейля совпадает с многочленами Е\(х, q, 0), Л Є —-Р+, то есть со специализациями в нуле несимметрических многочленов Макдональда. Для нескрученных типов A,D,E и для скрученных аффинных алгебр Ли это следует из следующего сопоставления. С одной стороны, несимметрические многочлены Макдональда порождаются друг из друга с помощью применения некоторых сплетающих операторов. С другой стороны, характеры модулей Дема-зюра переводятся друг в друга с помощью операторов Демазюра. Далее

оказывается, что при подстановке t = 0 в сплетающие операторы получаются операторы Демазюра, а антидоминантные модули Демазюра совпадают с модулями Вейля.

Однако на этом связв модулей Вейля и специализаций несимметрических многочленов Макдоналвда не заканчивается. В частности, Чередником и Орром [СОЇ] изучалисв специализации несимметрических многочленов Макдоналвда в t = оо. В частности, у них возникает гипотеза о связи многочленов Макдоналвда и филвтраций Пуанкаре-Биркгоффа-Витта. Точнее говоря, пуств М - некоторвій циклический модулв над алгеброй Ли д. Тогда на этом модуле можно следующим образом опре-делитв ПБВ филвтрацию. В частности, нас будут интересоватв ПБВ-филвтрации на модулях Вейля W^. Пуств U(n[])_s - ПБВ-филвтрация на универсалвной обертвшающей алгебре. Так как W^ = U(n[t])ty_/U, мві получаем индуцированную филвтрацию на модуле Демазюра. Пуств W_t - ассоциированнвій градуированнвій модулв. Тогда:

U(n[])^

U(n[])s-it(;/

wT = wT(^e)> wf{8) =

s>0

Отметим, что Wji - представление абелевой алгебрві n^a[t], где n^a - абе-лева алгебра Ли с подлежащим векторнвім пространством п. Пуств D -оператор ПБВ-степени на Wjj,^r, то еств D\_wgr,_s-> = s Td. Пуств d - опера-

тор степени по t в аффинной алгебре Ли. Положив dw^ = 0, мы получаем действие оператора d на W^. Пуств W^,^r(s,r) - множество векторов v Є Wjj,^r(s), таких что dv = rv. Отметим, что каждвш W^{s,r) есте-ственнвім образом является ()-модулем. Мы обозначаем ПБВ-характер

W^ как

r,s>0

Гипотеза Чередника-Орра состоит в том, что специализации анти-доминантнвіх многочленов Макдоналвда E_wo^{x, q~^l, оо) совпадает со специализацией ПБВ-характера модуля W\ при р = q. В данной диссертации эта гипотеза для типа А доказвівается в следующих частнвіх случаях: если вес является кратнвім фундаменталвному и если вес является линейной комбинацией первого и последнего фундаменталвного.

В статве Каца и Вакимото сказано, что характерві интегрируемвіх представлений со старшим весом для аффиннвіх алгебр Ли типа A_2ll совпадают с характерами интегрируемвіх представлений модулей над аффиннвіми супералгебрами Ли типа osp(l,2n). В данной диссертации исследуется вопрос связи аффиннвіх супералгебр Ли типа osp(l, 2) и полиномов Макдоналвда типа А₂

Цель работы. Цель работы состоит в доказательстве дикости задачи классификации представлений конечномерных алгебр Ли, не являющихся полупростыми или одномерными расширениями полупростых. Также целью является исследование модулей Вейля и изучение связи их характеров со специализациями несимметрических многочленов Макдональ-да. В диссертации определены обобщенные модули Вейля и доказано, что специализации многочленов Макдональда в t = оо совпадают с характерами некоторых обобщенных модулей Вейля. Также в работе доказывается несколько частных случаев гипотезы Чередника-Орра. Также в работе изучается связь многочленов Макдональда-Коорнвиндера с представлениями супералгебры osp(l,2).

Методы исследования. В нашей диссертации использованы методы теории представлений колчанов для изучения представлений конечномерных алгебр Ли. Применена конструкция дубля Габриеля колчана и форма Титса для доказательства дикости задач представлений алгебр Ли с более чем одномерным радикалом.

Применяется подход Хаглунда-Хаимана-Лоера для вычисления многочленов Макдональда в типе А. Также для вычисления многочленов Макдональда применяется формула Орра и Шимозоно. Для оценки снизу размерностей модулей применяется конструкция фьюжен-произведения

Основные результаты диссертации. Диссертация содержит следующие новые определения, результаты и методы:

Доказано, что задачи классификаций представлений конечномерных алгебр Ли разбиваются на ручные и дикие и определено. когда эта задача является ручной, а когда - дикой.

Определены обобщенные модули Вейля.

Доказано, что характеры обобщенных модулей Вейля совпадают со специализациями антидоминантных несимметрических многочленов Макдональда в t = оо.

Получено новое доказательство теоремы Чари-Иона о том, что характеры (классических) модулей Вейля совпадают со специализациями антидоминантных многочленов Макдональда в t = 0.

Доказана гипотеза Чередника-Орра в типе А для весов, кратных фундаментальным, и для линейных комбинаций первого и последнего фундаментальных весов.

Научная новизна. Определение 2 является новым. Теоремы 1,2,3,4,5,6 являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретических характер. Результаты диссертации могут быть полезны математикам, занимающимся представлениями конечномерных алгебр Ли,

специалистам по симметрических функциям, специалистам по модулям Вейля.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах: - Гомотопический семинар ВШЭ;

- семинар лаборатории математической физики и теории представле
ний ВШЭ.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: - PBW nitrations of modules for Lie algebras and their appearance/applications in Representation Theory, Глазго, май 2014;

- Алгебраические группы, алгебры Ли и теория инвариантов, Самара,
июль 2015;

Integrability in algebra, geometry and physics: new trends, Аскона, июль 2015;

PBW Structures in Representation Theory, Обервольфах, март 2016.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 2 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов и списка литературы. Полный объем диссертации - 107 страниц, список литературы состоит из 63 наименований.

Постановка задачи

Следующее утверждение должно быть известным, но автору не удалось найти подходящую ссылку, поэтому оно здесь приведено с полным доказательством. Это доказательство аналогично доказательству из книги ([GG], с. 225).

Предложение 2.1.7. Пусть L = L 0 L1 - алгебра Ли, такая что L -полупростая; (М, /) - неразложимое представление L. Тогда существуют такие неразложимые представления (M1, f1) алгебры L и (М2, /2) алгебры U, что М = М1М2, f(X + Y) = f1(X)id+idf2(Y), где X є L, Y є L1 id - тождественный оператор.

Доказательство. Поскольку L Э X ь- - f(X) - вполне приводимое представление (в силу полупростоты алгебры L), мы можем считать, что f(X) = / FX{X) 0 ... О \ О F2{X) ... О где F{ - неприводимое представление ал V 0 0 ... Fk(X) J гебры L размерности h\. Далее можно считать, что F\ = ...Fp, а пред ставления Fq,q р не эквивалентны F\. Пусть Sij - hi х /ij-матрицы и (би ... Sik \ Є g/(n,IK). Предположим, что f(X)S = Sf(X) для / любого X Є L. Тогда fi(X)Sij = Sijfj(X) при і, j = 1,... к. По лемме Шура ([GG], с. 225) имеем, что Sij = s T , s Є К при і, j = 1,...ри 5 - = 0 при і Р J и j р і. Теперь применим этот результат к 5 = f{Y), Y Є L\. Если бы р к, то из соотношений S j = 0 при i p jnj p i следовало бы, что (М, /) -разложимо. Значит, р = к. Введем обозначение fi(X) = F\(X) для X Є L, f2(Y) = (s -) Є gl(p,K), Y Є (Ae). M очевидным образом распадается в тензорное произведение. Тогда имеем: f(X) = f1(X)lp,XeL; f(Y) = lhf2(Y),Ye(\e). Очевидно, что если представление (/2, М2) распадается в прямую сумму дру гих представлений, то и представление / также распадается в прямую сум му двух представлений. Следовательно, (f2, М2) - неразложимое представле ние. Обратно, если (/2, М2) - неразложимо, то и представление (/, М) также неразложимо.

Замечание 2.1.8. Прямая сумма ручной и полупростой алгебр - ручная. Представления алгебры (Ле), очевидно, задаются образом элемента е ь- /2(e). Следовательно, все неразложимые представления алгебры L = L 0 (Ae), L -простая, задаются неприводимым представлением алгебры L и жордановой клеткой. Поэтому все такие алгебры ручные.

Замечание 2.1.9. Если один из сомножителей приводим, то и тензорное произведение приводимо. Поэтому неприводимые предствления простая, - это неприводимые представления алгебры L, на которых элемент е действует умножением на константу. 2.2. Колчан алгебры с абелевым радикалом

Сведем теперь исследование представлений алгебры Ли с абелевым радикалом к исследованию представлений некоторого колчана. Лемма 2.2.1. Пусть L = L А I - алгебра Ли такая, что L - полупростая, I - абелев идеал. Тогда категория представлений алгебры L эквивалентна категории пар (М, ф), где М - L-модулъ, ф : 1 М — М - морфизм модулей такой, что фо(і(1ф)((ІЛІ)М)=0, (2.2.1) с морфизмами - коммутативными диаграммами: 1М— М, (2.2.2) id g 9 в где в - морфизм модулей. В дальнейшем под парами будем понимать пары (М,ф). Доказательство. Пусть М - L-модуль, тогда М - и L-модуль. Зададим отображение ф : I %) М — М: і (gimi- гт. Тогда для любых i, j Є /, т Є М: ф о (id ф)((і j — j і) (т)) = i(jm) — j(im) = [i,j]m = 0. Поэтому условие 2.2.1 выполняется. Кроме того: Іф(і (g) m) = lira = [I, i]ra + ilra = ф(1(і 8) m)) Поэтому ф - морфизм модулей. Обратно, пусть ф - морфизм модулей ф : I М — М с условием 2.2.1. Зададим действие для і Є І,т Є М: іга := ф(і S га). В силу условия 2.2.1 получим для і, j Є І,т Є М: [i,j]m = ijra — jira = 0, кроме того, для І Є L,i Є I, га Є М: [І, і]га = ф([1, і] т) = ф(1(і т) — і Іга) = Іф(і га) — ilra = = lira — ilra. Поэтому с таким действием М является L-модулем. Очевидно, что композиция двух описаннвіх отображений является изоморфизмом. Тем самым задано соответствие на объектах категорий. Пуств теперв А - морфизм L-модулей А : М — N, тогда зададим мор-физм L-модулей в = А. Тогда для і Є /, т Є М: 9(ф(і (g) т)) = в(іт) = А(іт) = іА(т) = ів(т) = ф(і (g) в{т)). Поэтому это отображение задает коммутутивнвій квадрат (2.2.2). Далее, если два морфизма модулей делают коммутативнвш квадрат (2.2.2), то и их ком позиция - тоже в силу функториалвности тензорного произведения. Из тех же ввічислений следует, что каждвш коммутативнвш квадрат (2.2.2) задает отображение L-модулей и построеннвіе в обе сторонві функторві фвляются взаимно сопряженнвши. Тем самвім эквивалентноств рассматриваемвгх кате горий доказана. Замечание 2.2.2. Рассмотрим конечномерные представления (бесконечномерной) алгебрві L X F(I), где F(I) - свободная алгебра Ли, порожденная /, причем L действует на / естественнвім образом, а действие L на членві градуировки ввісших степеней определяется по правилу Лейбница. Тогда аналогично доказателвству предудущей Леммві получаем, что категория конечно-мернвіх представлений L X F(I) эквивалентна категории пар (М, 0), где М - L-модулв, ф : / (8) М — М, с морфизмами - коммутативнвіми квадратами (2.2.2) (но без условия (2.2.1)).

Зафиксируем теперв до конца пункта полупростую алгебру Ли L и L-модулв I. Занумеруем как-нибудв все попарно неэквивалентнвге неприво-димвіе представления полупростой алгебрві L (это можно сделатв, так как их счетное множество), представление с номером і будем обозначатв М{. Введем теперв для данной алгебрві Ли с абелеввім радикалом L А I счетнвш колчан Kj. Стрелок из точки к в точку / будет столвко, какова кратноств вхождения М[ в разложение / 8 М&. С этого момента и до конца пункта буквві а и (3 будут означатв стрелки Kj, а 7Г будет означатв пути длинві 2. Для стрелки или пути /І обозначим s(fi) и t(fi) начало и конец /і соответственно. Таким образом, мві имеем:

Колчан алгебры с абелевым радикалом

Если радикал приводим как модуль над полупростой частью, то есть распадается в прямую сумму двух одномерных, то колчан Kj представляет собой несвязное объединение точек с двумя петлями, так как тензорное произведение любого модуля N на одномерный изоморфно N. ІАІ одномерен, поэтому получаем задачу описания представлений пары матриц с одним однородным соотношением второый степени. Эта задача дикая при любом соотношении в силу работы [Sam]. Остается случай двумерного неприводимого модуля. Двумерный неприводиый модуль / бывает только над алгебрами Ли вида L = sl2L, L - полупростая, действующая на / тривиально. В этом случае L А І 8І2 А I 0 L. Вследствие Предложения 2.1.7, прямая сумма полупростой и ручной алгебр Ли - ручная. Поэтому достаточно и следовать алгебру 8І2 А I.

Рассмотрим случай двумерного модуля надй - В силу формулы Клебша-Гордона колчан Kj для двумерного имеет вид: 0L\ OL i «з

Модуль I A I изоморфен одномерному модулю. Поэтому соотношения будут только вида кі(хфі + Іфі \Оц \ = 0 при некоторых константах кі и li. Эта задача дикая при любых константах, так как у подколчана на ее 6 последовательных точках имеется накрывающая, у которой форма Титса не является неотрицательно определенной.

Форма Титса для колчана с соотношениями - это следующая квадратичная форма на пространстве Кп, где п - число точек колчана. Пусть {г і,... vn} - базис пространства Kn, {ei,... еп} - множество точек колчана, / - размерность пространства стрелок из в{ в е , г у - размерность пространства соотношений на пути из Є{ В ej. Тогда форма Титса - это следующая квадратичная форма: / П \ П П А П А Искомая накрывающая алгебра - это алгебра следующего колчана Q с соотношениями: І5 с одним линейным соотношением на /З2СК2, скзДз и одним соотношением на /З4СК4, «5/ 5, а именно kiOLifii + hPz z = 0 и к аф + Іфь ь = 0. Форма Титса этого колчана принимает отрицательное значение на векторе v\ + 2 2 + 2-Уз + 2-U4 + 4 5 + 2-ue + 2 7 + 2 8 Опишем функтор из категории представлений рассмартивемого колчана в категорию представлений подколчана Kj, содержащего точки, соответствующие модулям размерности от 1 до б, и все стрелки между этими точками. Пусть U - некоторое представление колчана Q, Ui - пространства в точках, Ua -отображения между ними. Положим V\ = U\, V2 = L72, V3 = сТ30с74, V4 = U , V5 = UQ 0 U7, VQ = U8. Далее, положим Vai = 0, VPl = Upi: Va2 = (0,Ua2), Vp, = (о,щ , Va3 = (Ua3,0), V& = (иь,оу, Va4 = (0,c/a4), % = (0,Щ , Vas = (Uas,0), Vpb = (Uj35,0), где запись (a, b) означает отображение а в первое прямое слагаемое и отображение Ъ во второе, а запись (а, Ь)1 означает сумму отображений из первого и второго прямых слагаемых.

Непосредственно проверяется, что построенное отображение действительно задает функтор из категории представлений одного колчана в категорию представлений другого и тот факт, что этот функтор переводин неразложимые представления в неразложимые и неизоморфные в неизоморфные. Поэтому алгебра 8І2 X / дикая. Следовательно, можно доказать следующую теорему Теорема 2.3.5. Пусть L = LAI - алгебра Ли с абелевым радикадом. Тогда L ручная тогда и только тогда, когда модуль I - одномерный. В противном случае L - дикая. Доказательство. Если размерность / больше одного, то L - дикая по Лемме (2.3.4) или Предложению (2.3.3). 2.4. Случай неабелевого радикала Рассмотрим теперь алгебры Ли с неабелевым радикалом. Алгебра L/[R,R] имеет абелев радикал. Если она дикая, то и L - дикая. Теперь рассмотрим алгебры с ручным фактором по квадрату радикала. Все такие фак-торалгебры описываются Теоремой 2.3.5. 2.4.1. Алгебры с одномерным фактором радикала по квадрату радикала Теперь рассмотрим случай, когда фактор радикала по его квадрату - одномерен. Будем считать алгебру L неразрешимой. Очевидно, чтобы доказать дикость таких алгебр, достаточно доказать дикость их факторов по второй производной радикала. Поэтому будем считать, что квадрат радикала - абелев.

Рассмотрим расширения при помощи модуля J алгебр вида LQ 0 /, где LQ - полупроста, / - одномерна. Очевидно, что модуль J можно считать неприводимым (если нет - можно перейти к факторалгебре), то есть, в силу Предложения 2.1.7, просто Lo-модулем, на котором некоторая образующая / действует тождественным либо нулевым образом. Во втором случае получаем алгебру с абелевым радикалом размерности больше, чем 1. Поэтому все такие алгебры - дикие в силу теоремы 2.3.5. Следовательно, достаточно рассмотреть случай, когда J является неприводимым Lo-модулем и некоторая образующая / действует на этом модуле тождественно. Кроме того, расширение можно считать полупрямым произведением, так как алгебра LQ ф / имеет тривиальные вторые когомологии (см, например, [Zus]). Теперь достаточно доказать следующее предложение.

Несимметрические многочлены Макдональда

Начнем с нескрученного случая. Пусть g = 0о 01 супералгебра Ли с 0о четной частью д\ - нечетной частью. Для 0-модуля X обозначим как XQ его четную часть и как Х\ его нечетную часть. Пусть V и W - циклические 0-модули с циклическими векторами v и w; в дальнейшем мы всегда считаем циклические векторы четными. Тензорное произведение V и W определяется формулой д(х у) = дх у + {-1)аЬх ду, д Є & , х Є V . Пусть Zi,...,zn - набор попарно различных комплексных чисел и V ,... , Vn - циклические представления д с циклическими векторами Vі,.. . ,vn. Пусть V {ZJ) - представления д S C[t], где х S tk действует как

Лемма 4.1.5. Тензорное произведение ()=1 Vі (zi) - циклический дЩ-модуль с циклическим вектором )=1г \ Доказательство. Пусть х Є QQ. Тогда оператор x S tk действует на тензорном произведении ( ) Vі(zi) как на обычном тензорном произведении модулей над алгебрами Ли. Поэтому все операторы x(i) = Id ... Id ж g Id ... Id i-i на &)=1 Уг(zi) могут быть записаны как линейные комбинации операторов х tk (определитель

Доказательство. Нетрудно видеть, что все соотношения, определяющие модуль Вейля, выполняются на градуированном тензорном произведении. Поэтому мы имеем сюръекцию W-n — V(z\) V(zn). Поскольку размерность правой части равняется Зп и она совпадает с оценкой сверху для левой части (см. Лемму 4.1.2), эта сюръекция является на самом деле изморфизмом.

Следствие 4.1.7. Градуированное тензорное произведение]/\z\) V(zn) не зависит (как osp(l,2)[t]-модуль) от (попарно различных) параметров Z{. Следствие 4.1.8. Векторы (4.1.1) образуют базис модуля Вейля W-n. Рассмотрим теперь скрученную алгебру сшр(1, 2)[]". Для комплексного числа z определим трехмерный 0р(1, 2)[]"-модуль Va(z) той же формулой, что и раньше. Мы имеем следующую Теорему. Теорема 4.1.9. Предположим, что числа z\,...,zn удовлетворяют условиям zf ф zj для і ф j. Тогда градуированное тензорное произведение Va(zi) Vo (zn) корректно определено и изоморфно модулю Вейля Wa_n как 05р(1, 2)[і\-модуль. Доказательство. Единственное отличие от нескрученного случая - это усло вие zf ф Zj, которое гарантирует цикличность действия на тензорном произ ведении в скрученном случае. Следствие 4.1.10. Градуированное тензорное произведение Vа(z\) Vа(zn) не зависит (как 05р(1, 2)[t]a-модуль) от параметров Z{, удовлетворяющих условиям zf Ф zj для всех Векторы (4.1.2) образуют базис модуля Вейля W_n.

В этом подразделе мы определяем модули Wn для п 0. Для начала рассмотрим нескрученный случай.

Определим векторы wn = e W-n С W-n. Отметим, что существует симметрия (действие группы Вейля для А\) на W-n, переставляющая е и / с д+ и д . Эта симметрия отправляет W-n в wn. Поэтому, модуль W-n допускает базис вида

Доказательство. Для начала докажем, что элементы (4.1.6) принадлежат W% (это очевидно для (4.1.5), но не для (4.1.6)). Единственная проблема -с оператором /о, определенным уравнением (4.1.6). Однако он всегда приходит умноженным но, g2n_i- Следовательно, нам нужно только проверить, что fo192n-\wn Є W Для всех т 0. Для начала, отметим, что из весовых соображений jJ)(J2n-\wn = 0. Далее, достаточно доказать утверждение только для т = п — 1, так как W - ео-инвариантен. Векторы JQ 1 Q2n-iwn пропорциональны векторам f fJ\Wn. Действительно, так как векторные пространства, содержащие оба вектора, одномерны, нам требуется только доказать, что f fJ\Wn т 0. Предположим, что эти векторы обнуляются. Тогда ео fi fhwn = 0. Однако, с точностью до ненулевой константы, этот вектор равен вектору 92n-iwni который не зануляется.

Так что мы знаем, что все векторы (4.1.5) и (4.1.6) принадлежат W%. Мы также знаем, что они - линейно независимы, потому что они принадлежат базису (4.1.2) всего пространства WZn- Поскольку множества (4.1.5) и (4.1.6) содержат 2 Зп элементов, нам остается показать, что размерность WZn/W 3n_1. Мы знаем, что соотношения в Wtn порождаются соотношением Єд+ W-n. Так как вектор е$и)-п тривиален в факторе, мы получаем, что dimWZJWZ dimWZn+l = Зта_1.

Несимметрические полиномы Макдональда типов

Пусть 0 - нескрученная аффинная алгебра Каца-Муди, соответствующая 0. Пусть Wa = (so,Si, J sn) - аффинная группа Вейля Q. Конечная группа Вейля W порождается отражениями si,.. . , sn (s{ - простые отражения). Пусть X - корневая решетка Q и пусть Y - весовая решетка; в частности, Wa W к Xу. Рассмотрим фактор П = Y/X. Например, для Q = Ап П изоморфна Z/(n+ 1)Z. Расширенная аффинная группа Вейля We определяется как полупрямое произведение W к Yy. Для элемента Л Є Yy обозначим t\ соответствующий элемент из We. Имеем We Пк Wa.

Рассмотрим n-мерное вещественнное векторное пространство К. g z X и множество гиперплоскостей (стенок) Hav+NS = {х Є К. (g z X\(av}x) = N}. Альковы - это компоненты связности IR(g)zA\ UaeA+,NezHav+ s. Существует естественное действие аффинной группы Вейля Wa на множестве альковов [OS]. Отождествляя альков \а\(а,с\() 0, і = 0,.. . , п} с единичным элеменOV Wa, мы получаем биекцию Wa и множества альковов.

Любой элемент We может быть записан в виде irs ... S{n 7Г Є П, 0 Ч rk(0)- В частности, мы имеем такое разлож;ения для элемента из Yy. Отметим также, что любой элемент из Wa имеет единственное разложение w = twt(w)dir(w), где wt(w) Є X, dir(w) Є W.

Рассмотрим П копий К. 8 z А (листов), обозначенных элементами П, с одинаковым действием Wa на каждом листе. Расширенная аффинная группа Вейля We действует на множестве альковов на всех листах следующим образом. Для любого 7Г Є П отождествим альков {а\ (а, а{) 0, і = 0,... , п} на 7Г-0М листе с образом под действием 7Г алькова на начальном листе, соот-вестсвующем тождественному элементу Wa. Этим правилом мы определили действие We на множестве альковов всех листов (см., например, конец [RY]). Для приведенного разложения w = 7r,Si1 .. . s элемента w Є We определим последовательность действительных аффинных корней: Pk(w) = siz... s4+1a4, к = 1,...,1. (5.1.1) Это последовательность отметок на стенках, пересекаемых некоторым кратчайшим путем из тождественного алькова соответствующего листа в WQW (см. пример на странице б в [RY]).

Пусть Ъ = (&!,...,&/) Є (О, I)1 - бинарное слово и пусть J = {i\bi = 0}, J = {ji jr}. Назовем J множеством складок. Для элемента и Є Wa положим z0 = uw, zk+1 = zksp.k+i, k = 0,...,r-l. Мы назовем этот набор данных альковным путем pj, то есть pj может быть записан, как ZQ —У Z\ — zr =: endypj). Любой альковный путь может быть спроектирован в путь в конечной группе Вейля W с помощью функции dir: dir(zo) dir(zi) ... dir(Zr)5 (5.1.2) где для аффинного корня /3 обозначим через Re/З его проекцию на классическую корневую решетку. Замечание 5.1.4. Все корни Re/З ,..., Re/3jr - отрицательны, см. [OS], Замечание 3.17. В дальнейшем мы используем оба обозначения W\ — w и W\ —У W2 для обозначения соответствующего ребра в графе Брюа. Замечание 5.1.5. В дальнейшем мы говорим, что такой альковный путь pj имеет тип /Зі,.. . , /3/. Отметим, что в общем случае корни /Зі,... , /3/ могут не быть получены из разложения w. Пусть J С J - множество jm J і таких что корень He(zm(3jm) отрицательный. Мы говорим, что путь pj Є QB(U,W) (pj - квантовый альковный путь), если проекция (5.1.2) является путем в квантовом графе Брюа ИЛ Через QB(u, w) обозначим множество путей, проектирующихся на квантовый граф Брюа W с обращенными стрелками. Отметим, что j Є J , если и только если соответствующее ребро в квантовом графе Брюа квантовое.

Пусть 5 - базисный мнимый корень. Для любого элемента аффинной корневой решетки /І + N5, где /і - элемент корневой решеткии конечномерной алгебры Ли, мы обозначим deg(/i + N6) = N. Для альковного пути pj определим qwt(pj) = J2jej- ft 5.1.3. Производящие функции

Определим наш основной комбинаторный объект. Определение 5.1.6. Для любого u,w Є We определим: Порядок на /3] дается лексикографическим порядком на векто Доказательство. Для алгебр Ли типа А наше Предложение может быть получено из Примера 5.1.12 непосредственным вычислением. В общем, для 7 Є А_ число — (7v, i) равняется количеству стенок с отметками —7 + %S между альковом id и альковом ж tW0 где 7Г Є П зафиксировано условием того, что 7Г НШі принадлежит нулевому листу. Другими словами, идя из единичного алькова в альков, соответствующий элементу 7Г Wi, необходимо пересечь — (7V, uJi) стенок с отметками — (+Ъ5. Нетрудно видеть, что эти стенки - 7 + ? 7 + (7V и І) 6. Это доказывает утверждение о множестве {/3]}.

Теперь наша цель - доказать существование приведенного разложения t-Wi, такое что свойства из части Ь) нашего Предложения выполняются.Это эквивалентно поиску альковного пути из единичного алькова в альков, соответствующий 7Г НШі, минимальной возможной длины.

Упорядочим элементы множества {1,.. . , п} следующим образом. Положим і\ = і, и пусть ik, к = 2,...,п - некоторый порядок на множестве {1,... , п}\{г}. Возьмем некоторое множество положительных вещественных чисел є/г, к = 2,... , п, таких что е2 1, Ck+i tk- Рассмотрим отрезок из точки Y =2 єк ік в точку uj{ + Y =2 єк ік- Мы запишем множество стенок, пересекаемых этим отрезком (см. Рисунок (5.1) с примером в типеС ). Рассмотрим точку р = suji + YH:=2 єішікі 0 s 1 этого отрезка и произвольный кокорень 7V = —{а\(х( + а2сх(2 + + апа ). Условие р Є H +DS, D Є Z (то есть р принадлежит некоторой стенке) означает: