Некоторые алгоритмические проблемы в группе КОС Акименков, Андрей Михайлович

Введение к работе

Актуальность темы: Термины "коса" и "группа кос" были введены Е. Артином в 1925 году в работе V В этой работе косы определяются как геометрические оО'екты, при этом множество кос с одинаковым числом нитей является группой с естественной операцией умножения. Группа кос на m нитях обозначается через В_щ.

Несколькими авторами (В. Магнус ²), А. А. Марков ³), Ф. Бо-ненОласт ⁴), В. Л. Чжоу ⁵)) независимо Оыло доказано, что группа В_п+1 кос на п+1 нитях имеет следующее задание с помошью образу- . ющих и определяющих соотношений:

< _V..,_% ; <^_{j + 1}^_{j + 1}<^_j+1 (j=i,..,n-l),

'k'^Tj⁼⁰'j⁰'k (^|k-i^|>:l) ^> Одним из приложений теории кос является теория узлов и зацеплений. Отождествляя конечные и начальные точки нитей косы, мы получаем некоторое зацепление или узел. Полученное зацепление

) Artin Е. Theorie der Zopfe, Abh. Math. Semin., 4 (1925),

47 - 42.

) Magnus W. Uber Automorphismen von Fundamentalgruppen

berandeter Flachen, Ann. Math., 109 (1934), 617 - 646.

³) Марков А.А. Основы алгебраической теории кос. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 16 (1945).

4 ) Bohnenblust F. The algebraical braid group, Ann. Math., (2)

48 (1947), 127 - 136.

5 ) Chow W.L. On the algebraical braid group, Ann. Math., (2) 49

(1948), 654 - 658.

или узел называется замыканием этой косы (точное определение замыкания см. в ⁶)). Как доказал Д. Александер ⁷), любое (ручное) ориентированное зацепление или узел изотопно некоторой замкнутой косе. Связь между косами, замыкания которых являются изотопными ориентированными зацеплениями (узлами) описывается теоремой А. А. Маркова ⁸).

Теорема А. А. Маркова утверждает, что замыкания двух кос еєВ . и FeB ₂ являются изотопными ориентированными зацеплениями (узлами), если и только если существует соединяющая их последовательность преобразований кос

E=Q₁ -> ... -> Q_i -> ... ->Q_k=F (1)

где каждое преобразование о^ -> Q_i+1 есть либо сопряжение, либо преобразование одного из следующих двух ВИДОВ:

а) Набрасывание петли: если 0_АеВ^ , то Q^^i"^ +i^eBn +2'

ГДЄ с = ±1.

б) Сбрасывание петли: преобразование, обратное набрасыванию
петли.

Преобразования кос в последовательности (1) называются марковскими.

Теорема А.А. Маркова позволяет переформулировать известную проблему классификации зацепленип и узлов как чисто алгебраическую задачу об элементах групп кос.

) Crowell R.H., Fox R.H. Introduction to knot theory, (1963) .

7 ) Alexander J.W. A lemma on systems of knotted curves, Proc.

Nat. Acad. Sci. USA, 9 (1923), 93 - 95.

) Markoff A.A. Uber die freie Aquivalenz geschlossener Zopfe, Recueil Math. Moscou, 1 (1935), 73 - 78.

Коса feB_n+1 называется сводимой, если она сопряжена в В_п+1

некоторой косе, с которой можно сбросить петлю, т. е. некоторой

косе вида Ест*; где с=±і, еєВ .
n n

Известной задачей является задача распознавания сводимости кос. Д. Маккул опубликовал в ⁹) решение этой задачи, основанное на одной лемме Д. С. Бирман из ¹⁰). которая, как выяснилось позднее, являлась ошибочной (см. ^1Х)). Сейчас вопрос в общем виде остается открытым (см. ¹²)).

В диссертации получено решение задачи распознавания сводимости для кос группы В₄ (для группы В₃ решение данной задачи несложно и было отмечено в ¹³). Для группы В₂ задача тривиальна).

Одной из известных алгоритмически:: "іч теории групп является проблема вхождения. Нетрудно показать, что проблема вхождения для групп кос В_п+1 при п<з разрешима. С другой стороны, в работе ¹⁴) было доказано, что при п>з для групп В_п+1 проблема

) McCool J. On reducible braids, Word Problems || - The Oxford Book, 95 (1980), 261 - 296.

) Birman J.S. Knots, links, and mapping class groups, Ann. Math. Stud., 82 (1974).

) Birman J.S. Errata: On the conjugasy problem in the braid

group. Can. J. Math., 34, N% 6 (1982), 1396 - 1397.

) McCool J. On reducible braids: Errata, Can. J. Math., 34,

N% 6 (1982), 1398.

¹³) Маканина Т. А. Сводимость замкнутых 3-кос, 19-я Всесоюзная
алгебраическая конференция. Тез. докл.. Львов (1987).

¹⁴) Маканина Т. А. О проблеме вхождения в группе кос В ., n+i>5,

вхождения является неразрешимой. Группа В₄ остается единственной группой кос, для которой проблема вхождения пока остается нерешенной.

В работе ¹⁴) оыло установлено, что группы кос В_п+1 при п>з содержат подгруппы, изоморфные прямому произведению свободных групп ранга два. Отсюда неразрешимость проблемы вхождения для групп В_п+. при п>з следует по известной теореме К.А. Михайловой

В диссертации доказано, что группа В₄ не содержит подгруппы, изоморфной прямому произведению свободных групп ранга два, т.е. использованный в ¹⁴) подход при п=з неприменим.

Пусть р обозначает гомоморфизм группы В_п+1 в группу подстановок п+1 элементов, при котором образующие <т. отображаются в транспозиции (j,j+i), j=i,..,n-i. Подстановкой, реализуемой косой FeB_n+1, называется подстановка p(F). Коса называется крашеной, если она реализует единичную подстановку. Коса называется і-чисжой, если она является крашеной и превращается в единичную при удалении і-ой нити.

В работе ^1б) Е. Артин дал некоторый список открытых вопросоЕ в теории кос. Четвертым в списке был вопрос об описании кос. коммутирующих с заданной косой. Как известно, Г.С. Маканин ¹⁷) дока-

Мат. Заметки, 29 N% 1 (1981), 31 - 33.

¹⁵> Михайлова К.А. Проблема вхождения для прямых произведений групп. Матем. сб-к, по т г (1966), 241 - 251.

¹⁶) Artin Е. Theory of braids, Ann. Math., 48 (1947), 101 - 126.

¹⁷) Маканин Г. С. О нормализаторах группы кос, Матем. сб-к, 86

N* 10 (1971), 171 - 179.

зал, что нормализатор всякой косы конечно порожден и построил переборный алгоритм, который по заданной косе выписывает все образующие ее нормализатора. Однако явный вид образующих нормализатора известен лишь для кос некоторых специальных видов. Нормализаторы чистых кос в подгруппе крашеных кос Оыли описаны Г. Бурде в работе ¹⁸). В работах ¹⁹). ²⁰) Г. Г. Гурзо были найдены в явном виде образующие нормализаторов для кос некоторых классов. В том числе для некоторых чистых кос специального вида, а также для некоторых кос, не являющихся крашеными (в частности, для образующих ₁,.. ,а ).

В диссертации изучаются нормализаторы крашеных кос.

В пункте з.і доказано, что если А - крашеная коса, то при любом целом числе m * о нормализаторы кос А и а совпадают. Доказательство основывается на теореме з, утверждающей, что в группе крашеных кос уравнение извлечения корня x^m = а (а -заданная крашеная коса, т - заданное натуральное число, х - неизвестная крашеная коса) имеет не более одного решения. Теорема з дает положительный ответ на вопрос и.55 Г. С. Маканнна из

) Burde G. Uber Normalizatoren der Zopfgruppen, Abh. Math. Sera., bd. 27, N% 1 - 2 (1964), 97 - 115.

¹⁹) Гурзо Г. Г. Системы образующих для нормализаторов некоторых

Элементов ГруППЫ КОС, ИЗВ. АН СССР, Сер. Мат.. 48, N% 3 (1984), 476 - 519.

²⁰) Гурзо Г. Г. Системы образующих для централизаторов жестких
элементов группы кос, Изв. АН СССР. Сер. Мат., si, n% s (i987),

915 - 935.

Коуровской тетради ²¹).

В пункте з.2. дано описание нормализаторов для чистых кос некоторого класса.

Структура диссертации: Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы (28 наименований). Общий об'єм диссертации 76 страниц.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1 - 4], приведенных в конце автореферата. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут применяться в теории кос и теории узлов и зацеплений.