Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Настоящая диссертация состоит из двух частей. Первая из них посвящена исследование элементарных теорий некоторого, достаточно обширного класса коммутативных нетеровых колец с единицей. Во второй строится алгоритм решения проблемы изоморфизма в классе конечно-порожденных нильпотентных про- р -групп без кручения фиксированной ступени нильпотентности.
Основополагающие результаты, связанные с исследованием элементарных теорий различных классов алгебраических систем были получены в 1936 г. , когда А. Черч доказал неразрешимость логики предикатов первой ступени, а Дж. Россер -неразрешимость арифметики натуральных чисел. Позднее А. Тар-ским была заложена общая теория систем с неразрешимыми элементарными теориями. Таковыми оказались класс всех конечных групп (А.И.Мальцев [2]) и класс всех полей (следствие результатов В. Л. Ершова [ 3]), в то время как класс всех конечных полей обладает уже разрешимой элементарной теорией (Дж.Акс [14]). Таким образом, граница между классами систем с разрешимыми и неразрешимыми теориями существенно зависит от самих рассматриваемых классов. С другой стороны, неразрешимость элементарной теории почти полициклической группы, не являющейся почти абелевой (Н.С. Романовский [41) непосредственно связана с аналогичным результатом дж. Робинсон [15] относительно кольца целых алгебраических чисел, а разрешимость теории про-р -пополнения конечно-порожденной нильпотентной ,грутш (А.Г. мясников, ЕЕ Ремесленников [8]) вытекает из разрешимости теории кольца целых р -адических чисел Ж-р с некоторым выделенным набором целых констант. Шдобная связь прослеживается и в работах Г. А. Носкова [5] и [б], где получены обобщения, упомянутых выше результатов Е С. Романовского и Дж. Робинсон. Поэтому, переходя в категорию компактных объектов, можно заметить, что задача описания конечно-порожденных коммутативных про- /--колец с разрешимой элементарной теорией весьма схожа с аналогичной задачей, касающейся класса конечно-порожденных разрешимых про-Р
-груш.
Цро- р -группы играют определявшую роль в исследованиях по теории Галуа бесконечномерных алгебраических р-расаирений. в теории компактных аналитических, р -групп, в арифметических и геометрических вопросах, связанных с локализацией. Вопрос описания конечно-порожденных разрешимых про-р -групп с разрешимыми элементарными, теориями бш сформулирован в [133 следующим образом:
и.65.Гипотеза: конечно-порожденная разрешимая про-/? -группа без кручения с разрешимой элементарной теорией является аналитической про-/э -группой (А.Г.Мясников, ЕЕ Ремесленников).
Решение данной проблемы до сих пор не- получено, в то время как одним из основных результатов диссертации является установление критерия разрешимости элементарной теории конечно-порожденного коммутативного про- р -кольца с единицей характеристики О, причем полученный результат полностью согласуется (в смысле вышеупомянутой связи) с выдвинутой гипотезой 11.65. Кроме того, в первой главе диссертации получен ряд результатов по данной тематике, имеющих самостоятельный интерес.
В элементарной теории чисел хорошо известен принцип установления целочисленной неразрешимости диофантового уравнения при помощи соответствующего ему редуцированного уравнения ло некоторому целому модулю. Отрицательное решение 10 проблемы Гильберта показывает, что обратить данный принцип невозможно. Однако, согласно классической лемме Генз'еля, подобное обращение для широкого класса уравнений, если гадаться целью нахоздения целых р -адических решений, уже возможно и, более того, достаточно рассмотреть указанный редуцированный многочлен по единственному модулю р . Рассматривая класс всех целочисленных диофан-товых уравнений, ЕБерч и Ккаккена в работе [21] показали как для любого уравнения из данного класса i&t,...,**) -о эффективно строится такая константа d =- cf(f), что любое решение сравнения f = О гж^сір^ можно поднять до р -
- s -
адического реаения. Во второй главе диссертации получено обобщгние результата Берча и Магатеїш на случай системы эффективно заданных р -адических уравнений и, тем самым, построен алгоритм решения диофантовой проблемы над кольцом Жр .
из результатов рзбсты Е Пиккеля 223 вытекает, что любые конечно-породденнш нильпотентные про- Р -группы изоморфны тогда и только тогда, когда они принадлежи? одному роду, т. е. ьсюжзства их конечных гомоморфных образов совпадают (Заметим, что рассуадепия, приведенные з СИЗ, показывают, что условие нильпотентности здесь несущественно). Отсюда уззэ лепта вывести разрешимость проблемі изоморфизма в классе конечно-порожденных яилыготектных про- р -групп. Конкретній алгоритм решения данной проблемы (при условии, что группу не ккеюг кручения) строится при помощи редукции к некоторому, эффсютпзно вычнсл:"'сму конечному фактору. Более точно, по зпдопшм эффективным представлениям групп G- и г/ "из данного класса зффзісгизно строятся такая константа S- S(G,№j , что изоморфизм между группами G/'GР и H^j Р гарантирует наличке изоморфизма меаду G и Н Таким образом, получен групповой аналог результата Еерча и Ыашсэны. Отчетна в заключении, что особый интерес вызывает случай, когда G и Н являются про- р -пополяєіпї:п,я дискретних нилъпотентных групп.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ, целью работы является установление критерия разрешимости элементарной теории конечно-поровден-ного коммутативного про- р -кольца с единицей характеристики О, а тагаз построение редуїщионного алгоритма решения проблемы изоморфизма в классе конечно-породденных нилъпотентных про- р -групп без кручения.
Ы2Т0ДЙКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Ыэтодика исследования в первой части работы косит тесретиио-ыодельный к теоретико-коль-цегей характер, при этом используются известные понятия и результаты кэкиутатиЕцсй алгебры и теории чисел. Кзтодика исследования во второй часта работы носит теоретико-групповой и ксийїіяаіорнкй характер, широко применяется техни-
- a -
ка степенных нильпотентных групп.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Все основные результаты, полученные в диссертации являются новыми. Работа имеет теоретическое значение, а ее результаты и методы применимы для исследования элементарных теорий конечно-аороэденкых разрешимых про- р -груш и для построения алгоритмов решения ряда классических проблем (сопряженность, отделимость я др.) в классе конечно-порожденных нильпотентных про- р -групп без кручения.
АПРОБАЦИЯ Результаты диссертации докладывались на се-минзре "Теория групп" ОКО ВЦ СОАН СССР, семинаре "Алгебра и логика" НІ'У, на алгебраических семинарах ОмГУ и Ин-та математики и механики Ур. отд. РАЕ
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.
СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав ц списка цитируемой литература Текст диссертации изложен на 81 странице ыаишнописного текста. Список лмтерэяуры содержит 31 наименование.