Введение к работе
Актуальность темы. Еще со времен Л. Эйлера оценки специальных сумматорных арифметических функций являются одним из центральных направлений аналитической теории чисел. Одними из наиболее известных задач такого типа являются проблема круга Гаусса, проблема делителей Дирихле и проблема распределения простых чисел. Менее известна, но важная во многих приложениях теории чисел, задача, двойственная проблеме распределения простых чисел — распределение чисел с малыми простыми делителями.
В середине прошлого столетия К. Гаусс, Л. Дирихле и П.Л. Че-бышев с помощью элементарных тождеств получили первые оценки, соответственно, в проблемах круга, делителей и распределения простых чисел. Около начала нашего столетия Г.Ф. Вороной и Г.Х. Харди, Ж. Адамар и Ж. Валле-Пуссен с помощью так называемых явных формул или специальных формул суммирования получили значительные улучшения. С тех пор, несмотря на огромное число исследований на эту тему, были получены относительно незначительные усиления. Обычно при этом используют те или иные варианты метода тригонометрических сумм.
Для коротких интервалов в упомянутых задачах удается получить более точные результаты. Так, в проблеме распределения простых чисел на коротких интервалах известен порядок величины соответствующей сумматорной функции при ограничении на длину интервала, близком к тому, который можно получить из гипотезы Римана [1], а для проблем круга и делителей порядок величины соответствующей сумматорной функции известен вплоть до очень малых интервалов [2], но получение асимптотики с хорошим остаточным членом даже более трудная задача, чем для полных интервалов.
В первой главе диссертации получена новая нетривиальная связь между оценками на коротких и полных интервалах в проблемах круга, делителей и распределения простых чисел. Близкий результат здесь был получен ранее М. Ютилой [3], который связал оценки остаточного члена в проблеме делителей Дирихле на коротких интервалах с оценкой дзета-функции Римана на прямой Res = і.
Во второй главе с помощью сведения к проблеме делителей и использования последних достижений в этой области получены новые оценки количества чисел с малыми простыми делителями на коротких интервалах. При этом использовался метод, близкий к тому, который применили А. Балог и А. Шаркоци [4] для получения "теорем существования" в этой задаче. Среди исследований на эту тему упомянем только те, которые посвящены оценкам снизу количества чисел с малыми простыми делителями на коротких интервалах: в работе Ж.Б. Фридлендера и Ж.Г. Лажариса [5] получены разнообразные результаты, в частности, обобщение результатов А. Балога и А. Шаркоци (результаты второй главы диссертации улучшают большинство из результатов Ж.Б. Фридлендера и Ж.Г. Лажариса); А. Балог [6] для интервалов вида [х,х, + хі+є] получил очень сильный результат в форме "теоремы существования" для чисел, все простые делители которых не превосходят хе.
В третьей и четвертой главах диссертации, с помощью результатов предыдущей главы, рассмотрены различные задачи, в основном поставленные П. Эрдешом, в которых изучается мультипликативная структура произведений натуральных чисел из коротких интервалов. Например, в задаче Е.М. Никишина [7] и Я. Терка [8] требуется определить при каких натуральных числах п и к числа ln(n + 1),... ,ln(n + к) линейно зависимы над полем рациональных чисел. Элементарные комбинаторные рассуждения показывают [7], что при 1 < к <С mn/lnlnn имеет место линейная
независимость, а при к 3> yfn — линейная зависимость. Сочетая комбинаторные рассуждения с методом Гельфонда-Бейкера оценок линейных форм от логарифмов алгебраических чисел, Я. Терк доказал, что линейная независимость сохраняется вплоть до интервала 1 < к -С Inn In Inn/ In In Inn, а с помощью элементарных тождеств чебышевского типа и оценок сумм вида d^yv (м^оГ-) — ""(«г))' полученных К. Рамачандрой [9] с помощью метода решета и метода тригонометрических сумм Ван дер Корпута, доказал, что линейная зависимость имеется уже при к 3> и0'496. В главе 3 диссертации последняя оценка улучшена до к > п'42+. Заметим, что здесь также известные результаты весьма далеки от ожидаемых. Предполагается, что числа 1п(п + 1),... ,ln(n + к) линейно независимы над полем рациональных чисел при 1 ^ к ^ exp(ci Vln п In In п) и линейно зависимы при к ^ ехр(сг \/ln п In In n).
В четвертой главе получено полное решение одной задачи В.Г. Спринджука ([11], стр. 240).
Цель работы. Получение новых оценок значений арифметических функций в задачах мультипликативной теории чисел.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Методы исследования. Используются результаты об оценках тригонометрических сумм.
Научная и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории арифметических функций и диофантовых приближений.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах "Основы аналитической теории чисел" под руководством профессора Архи-пова Г.И. и профессора Чубарикова В.Н., "Аналитическая теория чисел и приложения" под руководством профессора Карацубы А.А.
Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в работе, которая приведена в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего її наименований. Объем диссертации "/^страниц.