Введение к работе
^ЕЇ2555ность_темы. Современные тенденции развития теории модулярных алгебр Ли характеризуется слиянием идей и методов, применяемых для исследования как конечномерных, так и бесконечномерных алгебр Ли нулевой характеристики. После работ А.И.Кострикина и И.Р.Шафаревича '* ' стало общепризнанным, что теория транзитивних алгебр Ли, развитая в случае нулевой характеристики в связи с псевдогруппами.Э.Картава, играет центральную роль в изучении модулярных неклассических простых алгебр Ли. Высказанная ими гипотеза о том, что любая конечномерная неклассическая простая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики f»" является алгеброй Ли
картановского типа, была доказана при f>>l сначала для. р -
"3") -алгебр Ли Блоком и Вильсоном , а затем Беикарт, Осборн,
4у!
Штраде и Вильсоном ' - в общем случае. Однако при малых характеристиках основного поля имеется серии простых транзитивных алгебр Ли, которые не изоморфны ни классическим алгебрам Ли, ни алгебрам Ли картановского типа. Для построения структурной теории простых модулярных алгебр Ли, вклочасщей исклп-чительные алгебры Ли, а такие для теории представлений и кого-мологий этих алгебр необходима разработка таких методов исследования, которые были бы пригодны для малых характеристик.
^ Кострикия А.И., Шафаревич И.Р. //Докл. АН СССР. -- 1966. - Т.І68, т. - С.740-742.
2^ Кострикия А.И., Шафаревич И.Р. // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1969. - Т.ЗЗ, »2. - С.25І-322.
') Block R.E., Wilson R.I. // J. Algebra. - 1988. -->. 11.4-. - P.115-259.
' Н., Wilson R.1. // Bull, Amer. Math. Soo. -- 1991. - 7.24, И2. - P.357-361.
- 2 -Кроме того, сложность строения исключительных простих алгебр Ли накладывает особые требования к инвариантности используемых при этом конструкций. Одним из таких методов является метод дифференциальных операторов, которому посвящена настоящая работа. .Метод основан на реализации модулярных алгебр Ли дифференциальными операторами и состоит в применении этих реализаций к исследование алгебр Ли, их прздетавлений, когомологий, продолжений Картана.
Метод дифференциальных операторов имеет несколько аспектов.
Весьма актуальной является задача построения реализаций абстрактной транзитивной алгебры Ли специальными дифференцированиями конечномерной коммутативной алгебры С(З-), заменяющей алгебру функций на многообразии и ее формальные аналоги. В отличие от случая нулевой характеристики, который рассматривался в работах Гийеиина и Стернберга, Рима, Блаттнера, при вложении фильтрованной алгебры Ли в общую алгебру Ли картановского типа \1(3-) возникает проблема выбора минимального флага 7 , имеющая большое значение для восстановления фильтрованной алгебры Ли по соответствующей градуированной алгебре.
Применение метода дифференциальных операторов при изуче-гіии представлений и когомологий алгебр Ли картановского типа обусловлено геометрическим происхождением этих алгебр. Для абстрактных транзитивных алгебр Ли каноническое минимальное вложение в W^) также позволяет развить соответствующую геометрическую теорию.
Для решения классификационных задач метод дифференциальных операторов был впервые применен автором при описании . простых алгебр Ли с разрешимой максимальной подалгеброй глуби-
ни I при f>>Z К Позднее Б.О.Вейсфеилерб\ применяя этот jie-тод, распространил результат автора на общий случай при p>S .. Особый интерес приобретает метод дифференциальных операторов в связи с неременной проблемой классификации простых модулярных алгебр Ли малых характеристик.
Цель_работы: построение реализаций модулярных алгебр Ли дифференциальными операторами и применение этих реализаций для изучения фильтрованных деформаций; представлений, когомологий транзитивных алгебр Ли, искличительных простых алгебр Ли малых характеристик, для описания простых 1-градуированных алгебр Ли.
?Л35?Л?ї9-?!5-1І5^"!?52?5ІІ'!?* Применяется методы теории представлений модулярных алгебр Ли, дифференциальной геометрии, теории когомологий алгебр Ли, техника продолжений Картана.
Научная_новизна_и_практическая_ценность. В работе
-
Исследованы интегрируемые распределения над алгеброй, срезанных многочленов, доказан аналог теоремы Фробениуса,. найдены форма общей транзитивной алгебры Ли картановского. типа.
-
Построено каноническое вложение транзитивной алгебры Ли характеристики Ь>0 в общуо алгебру Ли картановского типа о минимальным возможным флагом (минимальное вложение), изучены усеченные индуцированные и коиндуцированные модули над транзитивной алгеброй Ли, соответствуете минимальному вложении, получены приложения к описание неприводимых модулей высоты I над фильтрованными алгебрами Ли картановского типа.
-
Доказана теорема о совпадении минимальных флагов для фильтрованной алгебпн Ян * соответствующей градуированной алгеб-
5) Кузнецов М.И. // Матем. сб. - 1976. - Т.ІОІ(ИЗ), VI. - С. 77-86..
Weisfeiler В. // Trans. Amer.Math. Sots. - 1984. -- Т.286, N2. - P.471-503.
- ч -
ры, описаны дифференцирования фильтрованной алгебри Ли в терминах минимального вложения, получено новое доказательство жесткости относительно фильтрованных деформаций общей и контактной алгебр Ли картановского типа.
-
Доказана теорема о минимальном вложении фильтрованных деформаций квазиконтактных алгебр Ли в контактнуо алгебру Ли, построена теория фильтрованных деформаций однородной подалгебры внутри градуированной алгебры Ли.
-
Исследованы исклочительные адгебры Меликяна характеристики 5: доказана их жесткость в квазиконтактной градуировке, найдены дифференцирования, построена реализация обобщёнными дифферэнциальными операторами и доказана жесткость в градуировке типа(?г, найдены автоморфизмы и подалгебры минимальной коразмерности, получены условия изоморфизма.
-
Исследованы продолжения Картана алгебр Ли дифференци-альннх операторов первого и второго порядков, в частности, продолжения Картана усеченных индуцированных модулей над центральными расширениями транзитивных алгебр Ли.
-
Дано описание простых 1-градуированных алгебр Ли L=& Lm Для различных компонент Lroi , вклочая случай
малых характеристик.
Все результаты является новыми.
Теоретическое и_пр_актичеокое_значение. Результаты диссертации ймеш теоретический характер и могут найти применение в структурной теории простых модулярных алгебр Ли, при исследовании представлений, деформаций и когомологий модулярных алгебр Ли, при классификации простых алгебр Ли и при построении их геометрических реализаций.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ.
Апр_обация_р_аботы. Результаты диссертации докладывалиоь-яа-Всесопзных алгебраических конференциях (Ленинград, 1981; Иинск, 1933; Львов, 1937), Международных алгебраических конвенциях (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991), Советско-Индийском симпозиуме "Алгебраические группы и алгебры Ли" (Алма-Ата, 1939), Все-соозных школах "Алгебры Ли и их приложения в математике и физике" (1931, 1937, 1990), Всесопзном семинаре по модулярным алгебрам Ли (Горький, 1936), заседаниях алгебраических семинаров МГУ и ННГУ, семинаре "Избранные вопросы алгебры" под руководством А.И.Кострикина,' D. А.Бахтурина, 10.П.Размыслова (МГУ, 1937).
Стр_2кт^р_а_и_обьем_р_аботы. Диссертация состоит из введения, 6 глав и заключения, списка литературы. Объем диссертации -- 314 стр., список литературы содержит ТИП наименования.