Введение к работе
Актуальность темы. Теория полей классов многомерных локальных полей была построена в работах А.Н. Паршина и К. Като в конце 70-ых годов. Эта теория использует аппарат алгебраической Д'-теории и позволяет описывать абелсвы расширения п-мерного локального поля К в терминах подгрупп топологической /("-группы Паршина К%*(К).
Изучению структуры группы К^ор{К) посвящены работы А.Н.' Паршина, К. Като, СВ. Востокова, И.Б. Фесенко, И.Б. Жукова. Важной является задача описания группы К„Р(К) как модуля с операторами из группы Галуа (см., например, А.Н. Паршин "Кого-мологии Галуа и группа Бауэра локальных полей", Труды математического института им. В.А. Стеклова, т. 183, стр. 159-169,, 1990 г.). Тем не менее полностью эта задача не решена.
Цель диссертации. Целью диссертации является :
-
описание модуля главных единиц неразветвлежного расширения многомерного локального поля простой характеристики;
-
для n-мерных локальных полей L характеристики р > 0, р 2, являющихся р-расширениеи Галуа локального поля
описание ^-пополнения группы K^P{L) как модуля Галуа;
описание р-пополнения модуля VK]^v(Jj) как модуля Галуа (обозначения см. ниже).
3) для одномерных локальных полей L характеристики нуль (то есть
конечных расширений поля р-адических чисел), не содержащих
нетривиальных корней степени р,р2, из единицы
описание ^пополнения группы L* как модуля Галуа;
описание модуля главных единиц поля L.
Методы исследования. В работе используется метод З.И. Боре-вича исследования модуля главных единиц ^-расширения локального поля, техника теории жогомологий, вычисления в танологиче-ских АГ-группах. '
Научная новизна. Изучено строение модуля главных единиц не-разветвленного расширения многомерного локального поля простой характеристики как модуля Га туа.
Получено описание р-пополнения топологической К -группы многомерного локального поля L простой характеристики (для случая р-расширений). Для абелевых ^расширений полей этого типа изучено строение р-пополнения группы VK^op(L) как модуля Галуа.
Для произвольных конечных расширений Галуа одномерных локальных полей (конечных расширений поля р-адических чисел), не содержащих корней степени р из единицы, р ф 2, получено описание р-п^полнения их мультипликативной группы и группы главных единиц как модулей Галуа.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер.' Ее результаты дополняют известные ранее сведения о структуре группы Галуа максимального абелева р-расширения многомерного локального поля положительной характеристики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре ЛГУ "Формальные группы" (1992 г.), на XVI всесоюзной алгебраической конференции (Ленинград 1981 г.), на международной конференции по алгебре (Барнаул 1991 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и семи параграфов. Общий объем работы — 87 страниц. Библиография содержит 39 наименований работ.