Модули, близкие к риккартовым и бэровским Чан Хоай Нгок Нян

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 CS-риккартовые модули 19

1.1 Предварительные сведения 19

1.2 CS-риккартовые модули 26

1.3 С2-модули 36

1.4 Слабо полунаследственные кольца 47

Глава 2 Существенно бэровские модули 53

2.1 Существенно бэровские модули 53

2.2 Существенно квазибэровские модули 61

Глава 3 SIP- и SSP-модули 71

3.1 SIP- и SSP-модули 71

3.2 Л-SIP и Л-SSP модули 76

3.3 Характеризации колец 86

Заключение 92

Литература

• С2-модули
• Слабо полунаследственные кольца
• Существенно квазибэровские модули
• Характеризации колец

Введение к работе

Актуальность работы. Понятия риккартового и бэровского кольца возникли в теории линейных операторов гильбертова пространства. Бэровские кольца были введены И. Капланским в 1955 году. Риккартовы кольца были введены С. Маэда в 1960 году. Важными примерами риккартовых колец являются регулярные кольца, введенные фон Нейманом в 1936 году для коор-динатизации непрерывных геометрий. В дальнейшем риккартовые и бэровские кольца, а также их различные обобщения, были изучены в работах многих математиков.

В последнее десятилетие активно изучаются модульные аналоги колец, близких к бэровским и риккартовым. Бэровские и квазибэровские модули были изучены в работах ' ' ' . Правый Л-модуль М называется бэровским модулем (соотв., квазибэровским модулем), если Гм{1) является прямым слагаемым модуля М для каждого левого идеала (соотв., каждого идеала) / кольца S = Епсід(М). Квазибэровские модули являются модульным аналогом понятия квазибэровского кольца, введенного Кларком . В работе было показано, что прямое слагаемое бэровского модуля (соотв., квазибэровского модуля) является бэровским модулем (соотв., квазибэровским модулем). В статье¹⁰ было установлено, что над кольцом R каждый проективный правый Л-модуль является бэровским в точности тогда, когда R - полупервичное наследственное кольцо. Необходимые и достаточные условия, при которых прямая сумма ква-зибэровских модулей является квазибэровским модулем, были найдены в статье ¹¹. Дуально бэровские модули были рассмотрены в работе .

¹Kaplansky I. Rings of operators. Univ. Chicago Mimeographed Lecture Notes (Notes by S.K. Berberian, with an Appendix by R. Blattner), Univ. Chicago, 1955. 106 p.

²Maeda S. On a ring whose principal right ideals generated by idempotents form a lattice // J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. 1960. Vol. 24. P. 509-525.

³Von Neumann J. On Regular Rings // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1936. Vol. 22, №12. P. 707-712.

⁴Rizvi S. Т., Roman C.S. Baer and quasi-Baer modules // Comm. Algebra. 2004. Vol. 32, №1. P. 103-123.

⁵Rizvi S. Т., Roman C.S. Baer property of modules and applications // Advances in Ring Theory. 2005. P. 225-241.

⁶Rizvi S. Т., Roman C. S. On direct sums of Baer modules // Journal of Algebra. 2009. Vol. 321. P. 682-696.

⁷Lee G., Rizvi S. T. Direct sums of quasi-Baer modules // Journal of Algebra. 2016. Vol. 456. P. 76-92.

⁸Clark W. E. Twisted matrix units semigroup algebras // Duke Math. J. 1967. Vol. 34. P. 417-424.

⁹Rizvi S. Т., Roman C.S. Baer and quasi-Baer modules // Comm. Algebra. 2004. Vol. 32, №1. P. 103-123. ¹⁰Rizvi S. Т., Roman C. S. On direct sums of Baer modules // Journal of Algebra. 2009. Vol. 321. P. 682-696. ¹¹Lee G., Rizvi S. T. Direct sums of quasi-Baer modules // Journal of Algebra. 2016. Vol. 456. P. 76-92. ¹²Tutuncu D. K., Tribak R. On dual Baer modules // Glasgow Math. J. 2010. Vol. 52, №2. P. 261-269.

Риккартовы модули были изучены в работах ' ' . В работе было показано, что класс колец, над которыми каждый конечно порожденный проективный правый модуль является риккартовым, совпадает с классом полунаследственных справа колец. В этой же работе были найдены достаточные условия, при которых прямая сумма риккартовых модулей является риккартовым модулем. Дуально риккартовы модули были изучены в работе .

Одним из важных обобщений понятия риккартового кольца являются ACS-кольца. Кольцо R называется правым ACS-кольцом, если правый аннулятор любого элемента из кольца R является существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля Rr. Примерами ACS-колец являются риккартовы кольца и CS-кольца. ACS-кольца были введены Никольсон и Юсиф в 2001 году. ACS-кольца и их модульные аналоги были изучены в работах' ' . Модульным аналогом ACS-колец являются С^-риккартовы модули, которым посвящена первая глава диссертации. В этой главе описаны кольца, над которыми каждый конечно порожденный проективный модуль является О^-риккартовым модулем.

Существенно бэровские кольца были введены Биркенмейер, Парк и Ризви в работе . Кольцо R называется существенно бэровским справа^ если правый аннулятор каждого подмножества кольца R является существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля Rr. Ряд свойств существенно бэровских колец были рассмотрены в монографии . Существенно бэровские модули, существенно квазибэровские модули и их дуальные аналоги изучены во второй главе диссертации. Показано, что прямое слагаемое существенно бэ-ровского модуля является существенно бэровским модулем, и найдены условия, при которых прямая существенно квазибэровских модулей является существеннее G., Rizvi S. Т., Roman С. S. Rickart Modules // Comm. Algebra. 2010. Vol. 38, №11. P. 4005-4027.

¹⁴Lee G., Rizvi S. Т., Roman С S. Direct sums of Rickart modules // Journal of Algebra. 2012. Vol. 353, №1. P. 62-78.

¹⁵Agayev N., Harmanci A., Halicioglu S. On Rickart modules // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. 2012. Vol. 38, №2. P. 433-445.

¹⁶Lee G., Rizvi S. Т., Roman C. S. Rickart Modules // Comm. Algebra. 2010. Vol. 38, №11. P. 4005-4027.

¹⁷Lee G., Rizvi S. Т., Roman С S. Dual Rickart Modules // Comm. Algebra. 2011. Vol. 39, №11. P. 4036-4058.

¹⁸Nicholson W. K., Yousif M. F. Weakly continous and C2 rings // Comm. Algebra. 2001. Vol. 29, №6. P. 2429-2446.

¹⁹Zeng Q. Some Examples of ACS-Rings // Vietnam Journal of Mathematics. 2007. Vol. 35, №1. P. 11-19.

²⁰Абызов A. H., Чан Хоай Нгок Нян. CS-риккартовы модули // Изв. вузов. Матем. 2014. №5. С. 59-63.

²¹ Abyzov A. N., Nhan Т. Н. N. CS-Rickart Modules // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2014. Vol. 35, №4. P. 317-326.

²²Birkenmeier G. F., Park J. K., Rizvi S. T. A Theory of Hulls for Rings and Modules // Ring and module theory, Trends Math. 2010. P. 27-71.

²³Birkenmeier G. F., Park J. K., Rizvi S.T. Extensions of Rings and Modules. Birkhauser, 2013. 432 p.

но квазибэровским модулем.

Модуль М называется SSP-модулем (соотв., SIP-модулем), если сумма (соотв., пересечение) двух прямых слагаемых модуля М является прямым слагаемым модуля М. SIP-модули были введены Капланским в 1969 году, и SSP-модули были введены Гарсия в 1989 году. Капланский установил, что каждый свободный модуль над областью главных идеалов является SIP-модулем. Л. Фукс поставил задачу описания абелевых групп, являющихся SIP-модулями над кольцом целых чисел. SIP-модули тесно связаны с понятиями риккарто-вого и бэровского модуля. В работе было показано, что модуль М является бэровским в точности тогда, когда М - риккартовый модуль, в котором пересечение любого множества прямых слагаемых модуля М является прямым слагаемым модуля М. В работе было показано, что всякий риккартовый модуль является SIР-модулем. Дуальные результаты, устанавливающие связи между S S Р-модулями, дуально риккартовыми модулями и дуально бэровски-ми модулями, были получены в работах ' . Аналогичные результаты для О^-риккартовых модулей, существенно бэровских модулей и их дуальных аналогов получены во второй и третьей главах диссертации. В работах ' были введены соответственно понятия просто прямо проективного модуля и просто прямо инъективного модуля, которые являются обобщениями соответственно понятий SSP-модулей и SIP-модулей. Модуль М называется просто прямо проективным, если для каждых его прямых слагаемых Mi, М2, которые являются максимальными подмодулями модуля М, М\ П М^ - прямое слагаемое модуля М. Дуально определяется понятие просто прямо инъективного модуля. В третьей главе диссертации изучаются .А-С і-модул и (і=2,3), впервые изученные в работе , и их связи с .A-SSP-модулями. Также изучены дуальные аналоги этих результатов. В качестве следствий получены результаты из работ' .

²⁴Rizvi S. Т., Roman C.S. Baer and quasi-Baer modules // Comm. Algebra. 2004. Vol. 32, №1. R 103-123.

²⁵Lee G., Rizvi S. Т., Roman C. S. Rickart Modules // Comm. Algebra. 2010. Vol. 38, №11. P. 4005-4027.

²⁶Tutiincu D. K., Tribak R. On dual Baer modules // Glasgow Math. J. 2010. Vol. 52, №2. P. 261-269.

²⁷Lee G., Rizvi S. Т., Roman С S. Dual Rickart Modules // Comm. Algebra. 2011. Vol. 39, №11. P. 4036-4058.

²⁸Ibrahim Y., Tamer Kosan M., Quynh T. C, Yousif M. Simple-Direct-Projective Modules // Communications in Algebra. 2016. Vol. 44, №12. P. 5163-5178.

²⁹Camillo V., Ibrahim Y., Yousif M., Zhou Y. Simple-direct-injective modules // J. Algebra. 2014. Vol. 420. P. 39-53.

³⁰Oshiro K. Continuous modules and quasi-continuous modules // Osaka J. Math. 1983. Vol. 20. P. 681-694.

³¹Camillo V., Ibrahim Y., Yousif M., Zhou Y. Simple-direct-injective modules // J. Algebra. 2014. Vol. 420. P. 39-53.

³²Ibrahim Y., Tamer Kosan M., Quynh T. C, Yousif M. Simple-Direct-Projective Modules // Communications in Algebra. 2016. Vol. 44, №12. P. 5163-5178.

Цели настоящей работы заключаются в исследовании свойств модулей, близких к риккартовым и бэровским: исследование CS-риккартовых модулей, существенно бэровских модулей, существенно квазибэровских модулей и их дуальных аналогов, изучение колец, над которыми проективные модули являются CS-риккартовыми, нахождение условий, при которых прямая сумма CS-риккартовых (существенно квазибэровских) модулей является CS-риккартовым (существенно квазибэровским) модулем, изучение SSP- и SIP-модулей и их обобщений.

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования:

1. Описаны кольца Л, для которых для произвольного п Є N кольцо матриц M_n{R) является правым ACS-кольцом.

2. Описаны кольца, над которыми каждый конечнопорожденный проективный модуль является одновременно О^-риккартовым модулем и (72-модулем.

3. Показано, что каждый правый свободный модуль над правым существенно квазибэровским кольцом является существенно квазибэровским.

4. Показано, что каждый проективный модуль Р, у которого пересечение всех 2-первичных подмодулей равно нулю, является строго существенно квазибэровским в точности тогда, когда Р - квазибэровский модуль.

5. Показано, что если в правом Л-модуле М пересечение любого семейства прямых слагаемых является существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля М и М является С^-риккартовым модулем, то М - существенно квазибэровский модуль. Обратное верно, если R - полуар-тиново справа кольцо. Также доказано, что прямое слагаемое существенно бэровского модуля является существенно бэровским.

6. Описаны кольца R, над которыми все правые Л-модули обладают 1)3-оболочками. Также охарактеризованы кольца, над которыми все конечно копорожденные правые Л-модули обладают СЗ-оболочками.

7. Исследованы условия, при которых совпадают следующие классы модулей: A-SSР-модули, Л.-С2-модули и Л-(73-модули.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно, кроме результатов из параграфов 3.2 и 3.3,

полученных в нераздельном соавторстве с А. Н. Абызовым и Чуонг Конг Куинь при равном участии всех сторон. В совместных с научным руководителем публикациях А. Н. Абызову принадлежат постановки задач и разработка методов исследования, автору диссертации - основные результаты и их доказательства.

Методы исследования. В работе использованы методы теории колец, теории модулей и теории категорий. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории колец и модулей.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения теории колец, теории модулей, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

8. XII Всероссийской молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения -2013", г. Казань, 24-29 октября 2013 г.

9. XIII Всероссийской молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения -2014", г. Казань, 24-29 октября 2014 г.

10. Международной конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения", г. Казань, 2-6 июня 2014 г.

11. XIII Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова, г. Тула, 25-30 мая 2015 г.

12. XIV Всероссийской молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения -2015", г. Казань, 22-27 октября 2015 г.

13. Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань, 26 июня - 2 июля 2016 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ [1-10], из них 5 публикации [1-5] в изданиях, входящих в перечень ВАК. Работы [1], [3] написаны совместно с А. Н. Абызовым, которому принадлежат постановка задач, идея и рекомендации по их решению. Доказательства всех результатов

получены автором. Результаты работ из [4], [5], включенные в диссертацию, получены в нераздельном соавторстве с А.Н. Абызовым и Чуонг Конг Куинь при равном участии всех сторон.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, списка литературы и предметного указателя. Полный объем диссертации составляет 104 страниц. Список литературы включает 87 наименований.

С2-модули

Тогда еТ П сТ — нилыготентный идеал. Следовательно, еТ П сТ не является прямым слагаемым модуля Ту. Поэтому Т не является SIP-модулем. Тем не менее, согласно [17, пример 1.5] R — правое CS-кольцо и, в частности, R - правое SIP-CS кольцо. 2) Каждый SSP-модуль является SSP-d-CS-модулем, но обратное, вообще говоря, неверно. Действительно, пусть М — модуль со свойством подъема, который не является UCC-модулем. Согласно [9, лемма 16] модуль М не является SSP-модулем. Таким образом, М — SSP-d-CS-модуль, но М не является SSP-модулем. Определение 1.1.10. Для модуля М выделим следующие условия: (С1) Каждый подмодуль модуля М является существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля М. (С2) Если подмодуль L модуля М изоморфен прямому слагаемому модуля М, то L является прямым слагаемым модуля М. (СЗ) Если М\ и М-2 — прямые слагаемые модуля М и Мі П М2 = 0, то М\ 0 М является прямым слагаемым модуля М.

Модуль М называется CS-модулем, если он удовлетворяет условию (С1). Если модуль М удовлетворяет условию (Сі) (і = 2,3), то модуль М называется Сі-модулем. Модуль М называется непрерывным, если он удовлетворяет условиям (С1) и (С2), иМ называется квазинепрерывным, если он удовлетворяет условиям (С1) и (СЗ).

Определение 1.1.11. Для модуля М выделим следующие условия: (D1) Для каждого подмодуля L модуля М существует разложение М = Мі 0 М2, такое что М: L и L П М2 М. (D2) Если L — подмодуль модуля М и M/L изоморфен прямому слагаемому модуля М, то L является прямым слагаемым модуля М. (D3) Если Mi и М2 — прямые слагаемые М и Мх + М2 = М, то Мх П М2 является прямым слагаемым модуля М. Модуль М называется d-CS-модулем (или модулем со свойством подъема), если он удовлетворяет условию (D1). Если модульМ удовлетворяет условию (Di) (і = 2,3), то модуль М называется Di-модулем. Модуль М называется дискретным, если он удовлетворяет условиям (D1) и (D2), и М называется квазидискретным, если он удовлетворяет условиям (D1) и (D3).

Пример 1.1.12. 1) Каждый CS-модуль является SIP-CS-модулем, но обратное, вообще говоря, неверно. Пусть F — поле, V — векторное пространство над полем F и сіітУр 2. Рассмотрим кольцо R={{aol)laeF veV} Так как R - локальное кольцо, то Л — правое SIP-CS-кольцо. Поскольку сіітУр 2, то R не является правым CS-кольцом.

2) Каждый модуль со свойством подъема является SSP-d-CS-модулем, но обратное, вообще говоря, неверно. Модуль Z , очевидно, является SSP-d-CS-модулем. С другой стороны, модуль Z не является модулем со свойством подъема, поскольку, например, подмодуль 2Z не лежит ни над одним из прямых слагаемых модуля Z .

Определение 1.1.13. (см. [8]) Кольцо R называется абелевым кольцом, если каждый его идемпотент является центральным. Модуль М называется абелевым, модулем,, если S = Епёд(М) является абелевым кольцом.

Определение 1.1.14. (см. [70]) 1) Модуль М называется полуартиновым модулем, если каждый его ненулевой фактормодуль содержит простой подмодуль. Кольцо R называется полуартиновым справа кольцом, если RR является полуартиновым модулем. 2) Кольцо R называется справа max кольцом, если каждый ненулевой правый Д-модуль имеет максимальный подмодуль. Определение 1.1.15. (см. [41] и [24]) 1) Кольцо R называется бэровским справа кольцом, если правый ан-нулятор каждого подмножества кольца R порождается идемпотентом. 2) Кольцо R называется квазибэровским справа кольцом, если правый аннулятор каждого идеала кольца R порождается идемпотентом. Определение 1.1.16. (см. [64], [65] и [69]) 1) Модуль М называется бэровским модулем (соответственно, строго бэровским модулем), если Т м{1) является прямым слагаемым (соответственно, вполне инвариантным прямым слагаемым) модуля М для каждого левого идеала І в S. 2) Модуль М называется квазибэровским модулем, если гм{1) является прямым слагаемым модуля М для каждого идеала / кольца S. 3) Модуль М называется дуально бэровским модулем, если XLG/ -m(P является прямым слагаемым модуля М для каждого правого идеала / кольца S.

Слабо полунаследственные кольца

Определение 2.1.1. 1) Модуль М называется существенно бэровским модулем (соответственно, строго существенно бэровским модулем), если для каждого левого идеала / кольца S подмодуль Т м{1) является существенным в некотором прямом слагаемом (соответственно, вполне инвариантном прямом слагаемом) модуля М. 2) Модуль М называется дуально существенно бэровским модулем (соответственно, строго дуально существенно бэровским модулем), если для каждого правого идеала / кольца S подмодуль Х є/ -mLP лежит над прямым слагаемым (соответственно, вполне инвариантным прямым слагаемым) модуля М.

Пример 2.1.2. Очевидно, что CS-модуль или бэровский модуль является существенно бэровским модулем, но обратное, вообще говоря, неверно. Существует существенно бэровский модуль, который не является CS-модулем и не является бэровским модулем. Пусть R\ = (Xi,X2) - свободная алгебра с двумя свободными порождающими Х\, Х2 над полем Р и i?2 = Z4. Рассмотрим кольцо R = R\ х R2.

Покажем, что RR не является CS-модулем. Рассмотрим правые подмодули (Xh 0)R, {Х2, 0)R модуля RR. Очевидно, что (X1,0)Rn{X2, 0)R = 0. Если RR - Сб -модуль, то для некоторого идемпотента е = (е\,е2) Є R имеем (Xi, 0)R e eR. Следовательно, X\R\ e\R\ и X2R\ П e\R\ = 0 и Є\ т 0,1. Так как алгебра №(Хі,Х2) не обладает нетривиальными идем потентами, то получили противоречие. Таким образом RR не является CS-модулем.

Покажем, что RR не является бэровским модулем. Пусть / = (R\, 2Z4). Очевидно, что г(1) = (О, 2Z4) ф RR. Таким образом RR не является бэровским модулем.

Покажем, что RR является существенно бэровским модулем. Пусть / - левый идеал кольца R. Рассмотрим следующие случаи. Случай 1:1 = (ii,0), h 0. Тогда г(/ь0) = (0,Z4) = (0, 1)R. Случай 2:1 = (0,/2), h + 0. - Если h = Z4, то r(I) = (Лі, 0) = (1, 0)R. - Если h = 2Z4, то r(I) = (Ru 2Z4) e Дд. Случай 3:1 = (Iu /2), /1 7 0, /2 7 0. - Eann/2 = Z4, ТОГ(/) = (0,0). - Если h = 2Z4, то r(I) = (0, 2Z4) e (0,1)R. Теорема 2.1.3. Пусть M — правый R-модулъ. 1) Следующие условия равносильны: a) М — бэровский модуль. b) М — К-несингулярный существенно бэровский модуль. 2) Следующие условия равносильны: a) М — дуально бэровский модуль. b) М — Т-некосингулярный дуально существенно бэровский модуль.

Доказательство. 1) Импликация (а) = (Ь) очевидна. (а) = (Ь) Пусть М — /С-несингулярный существенно бэровский модуль. Для каждого левого идеала / кольца S = Епсід(М) существует е = є2 Є S = ЕпсІд(М) такой, что гм{1) е еМ. Тогда s(rM(I)) 2 Is(eM) = S(l — є). Допустим, что существует ift Є IS(I"M(I)) \ S(l — є). Поскольку S = SeS(1-е), то ф = SieS2(l—e) для некоторых Si, s2 Є S и S\e 7 0. Тогда S\e = ф — s2(l — є) Є IS(I"M(I)) П Se. Таким образом, Sie(rM(I) Є (1 - e)M) = 0 и rM(I) Є (1 - е)М е М. Поскольку М является /С-несингулярным модулем, то S\e = 0. Получили противоречие. Тогда s(rM(I)) = (1 — e). Таким образом, r tfl = ШІ мй)) = Гм(5 (1 — є)) = еМ, и следовательно, М — бэровский модуль. 2) Импликация (а) = (6) очевидна. (6) = (а) Пусть М — Т-некосингулярный дуально существенно бэров ский модуль. Тогда для каждого правого идеала / кольца S подмодуль Х озє/ Inity? лежит над прямым слагаемым еМ, где е = є Є S. Согласно [69, лемма 2.11] имеет место равенство D( 2 jlmcp) = eS, и следова тельно, М — дуально бэровский модуль. Лемма 2.1.4. ([18, лемма 1.9]) Пусть S = Епоїд М и е = є2 Є S. Тогда: (і) если А М, то (еМ + А) М тогда и только тогда, когда (1 — e)S{eM) С А. (п) еМ М тогда и только тогда, когда є Є Si(S). Лемма 2.1.5. ([18, лемма 2.1]) Для идемпотента є Є R, следующие условия эквивалентны: (г) є є Se(R); (ii) 1-е Є Sr(R); (in) Re = eRe; (iv) (1 - e)Re = 0; (v) eR — идеал кольца R; (vi) eR(l — e)— идеал кольца R и eR = eR(l — e) 0 eR как прямую сумму левых идеалов. Лемма 2.1.6. Модуль М является абелевым модулем тогда и только тогда, когда каждое прямое слагаемое модуля М является вполне инвариантным.

Доказательство. Пусть М - абелевый модуль и еМ - прямое слагаемое модуля М, где е = є Є S. Поскольку S - абелевое кольцо и /е = е/ для каждого / Є S, то f(eM) С еМ. Следовательно, еМ является вполне инвариантным прямым слагаемым модуля М. Допустим, что каждое прямое слагаемое модуля М является вполне инвариантным. Для каждого е = є Є S имеет место включение, что SeM С еМ и 5 (1 — е)М С (1 — е)М. Тогда согласно лемме 2.1.4 идемпотенты е и 1-е являются левыми полуцентральными и из леммы 2.1.5 следует, что идемпотент е централен. Следовательно, М — абелевый модуль. Предложение 2.1.7. Пусть М — правый R-модуль. 1) Следующие условия равносильны: (a) М — строго существенно бэровский модуль. (b) М — абелевый существенно бэровский модуль. 2) Следующие условия равносильны: (a) М — строго дуально существенно бэровский модуль. (b) М — абелевый дуально существенно бэровский модуль.

Доказательство. 1) Импликация (Ь) = (а) очевидна. (а) = (6) Поскольку М — строго существенно бэровский модуль, то М — существенно бэровский и М — строго CS-риккартовый модуль. Пусть еМ — прямое слагаемое модуля М, где е2 = є Є S = Епсід(М). Тогда еМ = Кег(1 —е) является существенным подмодулем в некотором вполне инвариантном прямом слагаемом модуля М и, следовательно, подмодуль еМ вполне инвариантен. Поскольку каждое прямое слагаемое модуля М является вполне инвариантным, то согласно лемме 2.1.6 модуль М является абелевым. 2) Импликация (Ь) = (а) очевидна. (а) = (6) Поскольку М — строго дуально существенно бэровский модуль, то М — дуально существенно бэровский и М — строго d-CS риккартовый модуль. Пусть еМ — прямое слагаемое модуля М, где е = є Є S = Епсід(М). Тогда еМ = Ime лежит над вполне инвариантным прямым слагаемым модуля М и, следовательно, подмодуль еМ — вполне инвариантен. Поскольку каждое прямое слагаемое модуля М является вполне инвариантным, то согласно лемме 2.1.6 модуль М является абе левым.

Существенно квазибэровские модули

Теорема 3.2.8. Пусть М — правый R-модулъ и А — класс артиновых правых R-моду лей, который замкнут относительно изоморфных образов и прямых слагаемых. Если каждый подмодуль модуля М является А-проективным, то следующие условия равносильны: 1) М - А-СЗ-модуль; 2) М - А-С2-модуль; 3) ЕслиХ\, Х2, Хп — прямые слагаемые модуляМ иХ\ Х2, Хп Є А, то YH=i ХІ — прямое слагаемое модуля М. Доказательство. 1) = 2) Пусть Mi есть подмодуль в М, изоморфный прямому слагаемому М2 в М и Мі Є v4. Тогда М = М2 Ф M z. Если Mi С М2, тогда, пользуясь тем, что М2 артинов и Mi = М2, заключаем, что Mi = М2. Пусть Mi М2 и 7Г : М2 Ф Мз Мз - проекция. Согласно предположению, Кег Мх) прямое слагаемое в Mi, тогда Мі = Мі П М2 ф N\. Так как N\ = 7г(Мі), Мі = М2, то существует изоморфизм ф : N — 7г(Мі), где N есть прямое слагаемое в М2. Так как (ф) Є Ли (0) П М2 = 0, то М2+{ф) = М207г(Мі) = M207Vi есть прямое слагаемое в М. Следовательно, N\ есть ненулевое прямое слагаемое в М. Ясно, что Мі П М2 Є 4 и Mi П М2 изоморфен прямому слагаемому в М. Если Мі П М2 не является прямым слагаемым модуля М, то, используя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным выше, можно показать, что Mi ПМ2 = 7V2 (&Щ, где N2 есть ненулевое прямое слагаемое в М, N 2 есть подмодуль в М, изоморфный прямому слагаемому в М и 7V2,7V2 Є Л. Так как любой модуль из класса Л артинов, продолжив приведенные рассуждения для случая к подмодулей, получаем разложение Мі = N\ ф Ф Nk, где Ni - прямое слагаемое в М и N{ Є Л для любого і. Так как М есть .4 — СЗ модуль, N\ 0 ЛГ2 0 ... 0 N является прямым слагаемым модуля М. 2) = 1) Следует из 3.2.2.1). 3) = 1) Очевидно. 1) = 3) Докажем индукцией по п. При п = 2 справедливость утвер ждения следует из 3.2.7. Предположим, что утверждение верно дляп = к. Пусть Х\,Х2,... ,Xk+i - прямые слагаемые в М и Х\,Х2,..., Х +і Є Л.. Тогда для некоторого подмодуля N из М имеем М = (E«=i ) Ф N. Пусть 7Г : (Хл=і ) 0 V —) 7V - естественная проекция. Так как 7г(Х/;+і) Л-проективен, то Xk+i = (( 2І=\ХІ) П Х +і) ф S, где 5 есть подмодуль в М. Так как 1) и 2) эквивалентны, то 7г(Х +і) есть прямое слагаемое в М, и следовательно, TV = 7r(X/;+i) 0 Т, где Т - подмодуль в М. Тогда ЕІ/ i = (Eli i) №+1) и M = (Eli І) Ф тг(Х,+і) 0 Т. Таким образом, Е«=і является прямым слагаемым в М. П

Замечание 3.2.9. Пусть F — любой ненулевой свободный модуль надЖ и Л — класс всех свободных Z-модулей. Известно, что F — квазинепре рывный модуль и F не является непрерывным модулем. Таким образом, F — .А-С 3-модуль и F не является А-С2-модулем.

Теорема 3.2.10. Пусть М — правый R-модуль и А — класс правых R-модулей, который замкнут относительно изоморфных образов и прямых слагаемых. Если каждый фактормодулъ модуля М является А -проективным, то следующие условия эквивалентны: 1) М A-SSP-модулъ; 2) М - А-СЗ-модулъ; 3) для любого разложения М = А\ 0 A i из условия А\ Є А следует, что у каждого гомоморфизма f : А\ — А образ является прямым слагаемым модуля А ; 4) М - А-С2-модуль; 5) если Xi,X2,... ,Хп — прямые слагаемые модуля М и Xi, Х2,..., Хп Є А, то Х Г=і прямое слагаемое модуля М. Доказательство. 1) = 2) Очевидно. 2) = 3) = 1) Доказательство аналогично доказательству предложе ния 3.2.7. 4) = 2) Следует из 3.2.2.1). 3) = 4) Пусть о" : А — В - изоморфизм, А Є А, А - прямое слагаемое вМиВ М. Покажем, что В является прямым слагаемым модуля М.

Имеет место равенство М = А 0 Т для некоторого подмодуля Т из М. Так как модуль А/АГ\В изоморфен фактормодулю модуля М, то АГ\В прямое слагаемое в А. Тогда А = (АПВ)фС для некоторого подмодуля С из А. Следовательно, М = (АпВ)ф(СфТ). Ясно, что АГ}[(СфТ)ПВ} = О и В = {А П В) 0 [{С 0 Т) П В]. Пусть Я := а 1 {{С 0 Т) П Б). Тогда Я есть подмодуль вЛ, Я П [(С ф Т) П В] =0и существует подмодуль Н в Я такой, что А = Я 0 Я . Отметим, что М = Н ф (Hf 0 Т). Рассмотрим проекцию 7Г : М — Н 0 Т. Тогда Я 0 [(С 0 Т) П В] = Я 0 тг((С 0 Т) П Я). В силу 3), образ гомоморфизма 7г(сет)пв0 с я : Н — Н фТ есть прямое слагаемое в Н ф Т, потому как Я содержится в А. Запишем Н ф Т = п\(ст)пв&{Н) 0 К для подмодуля К в Н 0 Т. Тогда Н фТ = ж((С 0 Т) П В) 0 ІІГ. Отсюда следует, что М = Нф ж ((С ФТ) Г\ В) ф К = Н ф [(С ФТ) Г\ В] ф К. По закону модулярности, С 0 Т = [(С 0 Т) П В] ф [(Я 0 К) П (С 0 Г)]. Таким образом, М = (АГ\В)ф[(СфТ)Г\В}ф [(Я 0 К) П (С 0 Г)] = B0[(#0tf)n(C0T)]. 1) = 5) Очевидно. Импликация 1) = 5) доказывается аналогично доказательству импли кации 1) = 3) из предложения 3.2.8. Следствие 3.2.11. Следующие условия равносильны для модуля М: 1) для любых полупростых подмодулей А, В модуля М из условия А = В е М следует, что А е М; 2) для любых полупростых прямых слагаемых А} В модуля М, А + В е М; 3) для любых полупростых прямых слагаемых А} В модуля М из условия А П В = 0 следует, что А + В е М; 4) если Х\, Х2,, Хп — полупростые прямые слагаемые модуля М и Х\, Х , ..., Хп Є А, то YH=i ХІ — прямое слагаемое модуля М; 5) для любого разложения М = А\ фА і, где А\ - полупростой модуль, у каждого гомоморфизма f : А\ — А образ является прямым слагаемым модуля А . Следствие 3.2.12. Пусть Q — квазиинъективный модуль. Если Х\, ..., Хп — полупростые прямые слагаемые модуля Q, то Х Г=1 прямое слагаемое модуля Q.

Характеризации колец

Поскольку М — существенно бэровский модуль, существует прямое слагаемое Р модуля М такое, что Гм{1) е Р- Поскольку Гм{1) = rMl(I) 0 М2 и Р = (Р П М:) 0 М2, то гМі(Л СРП Мі. Так как Р является прямым слагаемым модуля М, то Р П Mi - прямое слагаемое модуля Mi. Следовательно Mi — существенно бэровский модуль.

Допустим, что М = Mi 0 М2 - дуально существенно бэровский модуль и S = Епсід(М). Покажем, что М2 является также дуально существенно бэровским модулем. Кольцо S имеет следующее матричное представление s=( Еікід(Мі) Нопід(М2,Мі)\ \Нотд(Мі,М2) Еп(1д(М2) ) Пусть J — правый идеал кольца Епс1д(М2) и п J = (%29ifi I fi Є Нотд(Мі,М2),я Є J, Щ = M,Vn Є N}. г=1 Тогда J=( является правым идеалом кольца 5 и X J- -m() = У г/,є./ІтУ;- Поскольку М — дуально существенно бэровский модуль, X J- -m() лежит наД прямым слагаемым модуля М. Тогда существует разложение М = РфР такое, что Р С X jlm = Х є-/!111 И (Х Є,/!111 ) "- Поскольку М2 = Р 0 (М2 П Р ), М2 П Р является прямым слагаемым модуля М2. Так как (Х є./- -ІШ/;) П Р С М и М2 П Р является прямым слагаемым модуля М, следует (Х єі7 ImV0 ПР С М2 П Р . Следовательно, М2 — дуально существенно бэровский модуль. 3) и 4) следует из 1), 2), предложения 2.1.7 и того факта, что каждое прямое слагаемое абелева модуля является также абелевым модулем. 6) следует из предложения 1.2.4, следствия 2.1.8 и того факта, что каждое прямое слагаемое абелева модуля является также абелевым мо дулем. Следствие 2.1.14. ([64, Теорема 2.17[, [69, следствие 2.5[) Имеют место следующие утверждения: 1) Каждое прямое слагаемое бэровского модуля является бэровским модулем. 2) Каждое прямое слагаемое дуально бэровского модуля является дуально бэровским модулем.

Определение 2.2.1. 1) Модуль М называется существенно квазибэ-ровским модулем (соответственно, строго существенно квазибэровским модулем), если Т м{1) является существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом (соответственно, вполне инвариантном прямом слагаемом) модуля М для каждого идеала / кольца S. 2) Модуль М называется дуально существенно квазибэровским модулем (соответственно, строго дуально существенно квазибэровским модулем), если X e/I111 лежит наД прямым слагаемым (соответственно, вполне инвариантным прямым слагаемым) модуля М для каждого идеала / кольца S.

Ясно, что каждый существенно бэровский модуль (соотв., дуально существенно бэровский модуль) является существенно квазибэровским модулем (соотв., дуально существенно квазибэровским модулем).

Пример 2.2.2. (см. [20, с.269]) Пусть R = 4 4 ]. Тогда RR существенно квазибэровский модуль, но RR — неквазибэровский модуль.

Предложение 2.2.3. Пусть М — правый R-модуль, у которого каждый существенный подмодуль является существенным расширением вполне инвариантного подмодуля модуля М. Тогда следующие условия равносильны: 1) М — квазибэровский модуль. 2) М — lC-несингулярный существенно квазибэровский модуль. Доказательство. 1) = 2) Поскольку М — квазибэровский модуль, то М — существенно квазибэровский модуль. Допустим, что ер Є S такой, что Т мі р) = Кег( е М. По предположению существует вполне инвариантный подмодуль N модуля М такой, что N е гм{}р)- Тогда ipS(N) = (p(N) = 0 и, следовательно, N С TM( S) = гм{( )) = еМ, где е2 = є Є S. Следовательно, еМ е М и е = 1, = 0. Таким образом, М — /С-несингулярный модуль. 2) = 1) Пусть М — /С-несингулярный существенно квазибэровский модуль. Для каждого идеала / кольца S = Епсід(М) существует е = є2 Є S = ЕпсІд(М) такой, что гм(1) е еМ. Тогда ls(rM(I)) Э Is(eM) = S(l — е). Допустим, что существует ф Є IS(I"M(I)) \ S(l — е). Поскольку S = Se 0 S(l — є), то ift = S\e 0 S2(l — e) и S\e T 0 для некоторых Si,S2 Є S. Тогда S\e = ф — S2(l — є) Є IS(I"M(I)) П Se. Следовательно, 8\-{гм{1) 0 (1 — е)М) = 0. Поскольку М — /С-несингулярный модуль и Гм{.1) 0 (1 — е)М е М, то S\e = 0, что противоречит выбору элемента ф. Тогда IS{TM{I)) = S(l - е). Таким образом, гм(1) = гм(з(гм(1))) = VM{S(1 — е)) = еМ, и следовательно, М — квазибэровский модуль. Определение 2.2.4. (см. [51], [71]) Модуль М называется IFP-модулем, если ї мі р) — вполне инвариантный подмодуль модуля М для всех (р Є S. Модуль М называется полу коммутативным, если для каждых ір Є S и т Є М из равенства /?(m) = 0 следует ipS(m) = 0; модуль М называется редуцируемым, если для каждых ( Є ишєМиз равенства ( (т) = 0 следует 1т(рП S(m) = 0; модуль М называется симметричным, если для каждых a, ft Є І? и m G М из равенства таб = 0 следует mba = 0. Имеют место следующие включения.