Многопараметрические квантовые деформации полной линейной группы Демидов, Евгений Евгеньевич

Введение к работе

Диссертация посвящена исследованию квантовых групп -алгебр Хопфа специального вида - с точки зрения общей теории алгебр Хопфа, теории представлений и дифференциальной геометрии.

Актуальность теин. Квантовие группы появились впервие в работах Е.К.Сгсляшша [1]; П.П.Кулиша и Н.Ю.Реиетихина 12]; Л.Д.Фаддеева и Л.А.Тахтаджяна [31 при изучении математических вопросов квантового метода обратной задачи в теории солитошшх уравнения. Впоследствии их конструкции были обобщены В.Г.Дринфельдом [4J и М.Дтошбо [5) с точки зрения деформация универсальних. обертывающих алгебр (полупростых) алгебр Ли в классе алгебр Хопфа.

1. Склянин Е.К. О некоторых алгебраических . структурьх,
связанных с уравнением Янга - Бакстера. // функц. анализ и его
прил. 1982. Т.16, JM. С.27-34.

1. Кулиш П.П., Решетихим K.D. Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордона и высшие представления. //Записки научн. сей. ЛОМЯ. 1981. T.-10L 0.101-110.

2. Faddeev L.D., Takhtajan Ь.А. A Mouville model on the lattice. //1Л in'feth. Phye. 19B5. V.246. P.166-179.

3. Дринфельд В.Г. Квантовые группы. //Записки научн. сем. ЛОМИ.Т.155. 1986. С.19-49.

4. Jimbo II. к q-differenoe analogue of U() and the Yang -Baxter equation. //Lett. Math. Phys. V.10. 1985- P.63-69.

Как известно, с алгебраической группой О естественно ассоциируются две алгебри Хопфа - алгебра регулярных функций на группе МО} к универсальная обертывающая влгевры Ли группы G. Это сквиввлантныв языки описания группы G, если она достаточно хороша. При втоы первая алгебра Хопфа коммутативна, а вторая кокоммутатиниа. Переходя теперь к квантованиям гругпш с, ми отказывоаися от втих условий. В результате мы не можем восстановить "геометрического" объекта, который ранее получался взятием Speo; поогону оотаегоя характеризовать квантовую группу в терминах некоторой алгебры Хопфа. ' Однако, ситуация произвольной алгебры Хопфа, по-вядимому, малоинтересна; с другой стороны, йе имеется четкого определения класса "хороших" алгебр Хопфа - быть может, более широкого, нежели описанный в (61 и U).

Ю.И.Мапинны , бая предложен способ построения некоторых алгебр Холфй по семейству алгебр с квадратичными соотношениями (кваОраятмсых алгебр). С "геометрической" точки зрения ото означает, что квантовая группа рассматривается как "группа автоморфизмов некоммутативного линейного пространства". Било показано, что при ,подходящем виборе исходных квадратичных алгебр получается: стандартное однопорвметрическоо кваятовшше ОЬ (п) группы аі(п), описанное в UJ, {51. Используя ету конструкцию, были получены другие квантования GL(n), отличные от стандартного.

6. Фаддеев Л.Д., Гешетихка К.Ю., Гахтаджян Л.А. Квантование групп Ли и Алгебр Ли. //Алгебра и анализ. Т.1, вил.1,1909. С. 178-206.

Известны и другие подходи к определению квантових групп.

Квантовые группы как новый математический объект привлекли внимание многочисленных исследователей. В связи с физическими приложениями наиболее интенсивно изучались представления квантовых групп (в случае одного параметра квантования). Существенное внимание было уделено обобщению всевозможных понятий и результатов из теории алгебраических групп, алгебр Ли и смежных областей на квантовый случай. Так, например, в одной из недавних работ Весса и Зумино (7 ] предложен квантовый аналог некоммутативного комплекса де Рана. Особенно интересен случай, когда параметр деформации q становится равным примитивному корню из единицы, поскольку возникает нетривиальная аналогия с алгебраической геометрией в простой характеристике. Список других интересных проблем приведен в [8].

Многопареметрические квантования полной линейной (супер) группы били впервые рассмотрены Ю.И.Маннным (9]. Естественно ожидать, что включение многих параметров вызовет новые вффекты.

7. Иевв J., Zumino В. Covariant differential oaloulus on the quantum hyperplane. /Preprint CERN-!TH~5697/90. Geneva.

8. Kanin Yu.I. Quantum groups and non-oomniutative geometry. / Preprint СИ1-156Г. Montreal. 1968.

9. Manin Yu.I. Ilultiparametrio quantum deformation of the
general linear Bupergroup. //Cvmi. Hath. Phys. V. 123. 1989.
P.163-175.

в чаотнооти, например, приведет к новим постоянным решениям уравнения Янга - Бакстера.

Цель» работы является изучение семейства мпогопараметриче-ских деформаций OL(n), которое включает в себя известные ранее деформации как частные случал, о точек зрения обвей теории алгебр Хопфа, теории представлений и дифференциального исчисления.

Метода исследования. В работе используются общие метода теории алгебр Хопфа, теория представлений алгебраических групп, теории модулей над алгеброй ВеЛпя, елементи гомологической алгебры. Используется tsjoss ерэдетса, спгцяфическиз для работы с некоммутативными алгебрами и модулями над ними, например, лейка о слиянии (diamond lernna).

Научная новизна.

1.Доказана, независимо от [10], теорема Пуанкаре -Биркгофа - Витта (ПЕВ) для квантовой полугруппы Мр q ₀(п); указаны решения квантового уравнения Шіга - Бакстера R_±, которым при подходе (бJ отвечает Itp q ₀ (3.9J.

2.Установлены простые достаточные условия, при которых хокфова оболочка биалгебр Мр qi "р q _с получается обращением квантового детерминанта, имеющегося в огих алгебрах (4.6, 4.9, 4.11).

3.Построена алгебра однородных функции на квантовом проотраногве полных флагов, отвечающем СХр _{Q 0}(п) (67); том самым, дается полное описание неприводимых представлений (т.е.

10. Sudbery A. Matrix quantum groups determined by quadratic coordinate algebras. /АГ.Рлув. A23. 1990. F.697-704.

комодулей) Gbp _{п л}{п) в случае обіди* параметров деформации (8.17).

4.Найдены когомологии некоммутативных комплексов да Рама (комплексов Весва - Зумино), отвечающих как общему решению R уравнения Янга - Бакстера, так и при Н = R., когда параметр о есть примитивный корень из единицы. В последнем случае построен аналог оператора Картье (15.3).

5.Доказаны простота (при общих о), правая и левая нетеровооть, оревость квантовых алгебр Вейля, отвечающих R (13.5, 13.8, 13.15).

6.Доказано неравенство Бернштейна для модулей над указанными квантовыми алгебрами Вейля (при общих значениях параметров) (13.16) и построены примеры квантовых голономних модулей (13.21).

7.Построены "морфизмы Фробениуса в характеристике О" для алгебр V,, _ „(n), GL„ _ „(п) и соответствующих, им алгебр

г *Ч»0 х ,ч, О

дифференциальных форм и дифференциальных операторов на п-мерном линейном пространстве (14).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ: СИ.Машша по некоммутативной' геометрии, Э.Б.Винберга и А.Л.Онищика по теории инвариантов, С.П.Новикова по геометрии и математической физике и других.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в некоммутативной алгебраической геометрии, в теории некоммутативных >-модулей.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Каждая глава снабжена библиографическим комментарием, где читатель мокет найти ссылки на источники той или иной конструкции, сходные или параллельиые исследования. Работа содержит 104 страницы, снабжена оглавлением и списком литература из 52 работ.

Публикации. По теме диссертации автором напечатаны 4 работы (одна - в соавторстве), их список приведен в конце автореферата.