Введение к работе
Актуальность темы. Развитие теории многообразий ре-шеточио упорядоченных групп началось в 40-е годы в работах Г.Биркгофа [1], [2]. Важное значение для этой теории имеют работы А.И.Мальцева [1], [2], [3]. До 70-х годов исследование многообразий проводилось эпизодически и состояло, в основном, в характеризации тех пли иных классов решеточно упорядоченных групп на языке тождественных соотношений. Систематическое изучение теории многообразий решеточно упорядоченных групп началось в начале 70-х годов. В настоящее время теория многообразий решеточно упорядоченных групп приобрела все черты разработанной теории с широким кругом задач, разнообразными методами исследований. В рамках этой теории первостепенное значение имеет исследование /-многообразий, порожденных разрешимыми решеточно упорядоченными группами. Причин здесь несколько.
Во-первых, это, конечно, желание и возможность пользоваться богатым аппаратом исследования разрешимых групп теории абстрактных групп. Во-вторых, тот факт, что единственное наибольшее многообразие нормалыюзначных /-групп порождается /-многообразиями А",п Є iV, говорит о необходимости изучать в первую очередь разрешимые /-многообразия. И, наконец, класс многообразий разрешимых решеточно упорядоченных групп весьма широк. Многие вопросы теории /-многообразий удается решить, рассматривая этот класс (скажем, построить континуальные серии /-многообразий с теми или иными свойствами). С другой стороны, выявить какие-то /-многообразия, имеющие регулярное строение (скажем, в которых положительно решаются проблемы конечного базиса тождеств, независимого базиса тождеств и т.п.), по-видимому, можно надеяться в классе многообразий разрешимых решеточно упорядоченных групп.
Среди всех многообразий разрешимых решеточно упорядо-
чеииых групп в первую очередь мы будем рассматривать малые /-многообразия. Термин "малое /-многообразие" не формализован в строгом смысле. Мы под этим будем понимать следующее. Гласе, Холланд, Макклири [1] установили равенство N — V^zi-^"- Следовательно, для каждого собственного /-многообразия Q найдется наибольшее натуральное число п, обладающее свойством: А" С (?, An+l %. Q. Такое число названо размерностью dim(Q) /-многообразия Q. "Малое /-многообразие" Q - это /-многообразие, для которого dim{Q) = 1. Класс малых /-многообразий весьма широк. Сюда попадают все многообразия решеточно упорядоченных групп, в которых линейно упорядоченные группы абелевы, все многообразия жестких решеточно упорядоченных групп, все многообразия о-аппроксимируемых решеточно упорядоченных групп.
Цель работы - изучение многообразий решеточно упорядоченных групп, в которых линейно упорядоченные группы абелевы, и многообразий жестких решеточно упорядоченных групп. Полученные результаты и развитые методы применяются для изучения решетки многообразий решеточно упорядоченных групп.
Научная новизна и практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут применяться и уже находят применение в научных исследованиях, используются при чтении алгебраических специальных курсов и подготовке учебных пособий и монографий. Отдельные результаты диссертации включены в учебные пособия Медведева [13], [14], книги Гласса, Холланда [1], Копытова [2], Копытова, Медведева [4].
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции памяти А.И. Мальцева (Новосибирск, 1989), на Международной конференции по упорядоченным алгебраическим структурам
(Франция, Люмини,1990), на Международной конференции по упорядоченным алгебраическим структурам (Франция, Люми-ни, 1993), на Международной алгебраической конференции к 1000-му заседанию семинара "Алгебра и логика" (Новосибирск, 1994), на Международной конференции "Группы в анализе и геометрии" (Омск, 1995), на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория групп" в Новосибирском государственном университете, на семинаре кафедры алгебры Московского государственного университета. Результаты диссертации анонсированы в тезисах докладов 1С, 17, 18, 19 Всесоюзных алгебраических конференций, 10, 11 Всесоюзных симпозиумов по теории групп, Международной алгебраической конференции памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991), Международной алгебраической конференции памяти М.Й. Каргаполова (Красноярск, 1993).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора [2, 10-2G] и совместной с В.М. Копытовым работе [1].
Обьем работы. Диссертация изложена на 134 страницах и состоит из списка обозначений, введения и четырех глав, содержащих 17 параграфов, и библиографии.