Многообразия групп простого периода и тождества с высокими степенями Кожевников, Павел Александрович

Введение к работе

Актуальность темы.

Различные решения проблемы конечного базиса тождеств в группах впервые появились в работах [Ol]¹ [А1]², [V]³. В дальнейшем было предложено много примероо многообразий групп без конечного базиса тождеств, обладающих дополнительным условием конечности периода (см. например [V], [New]⁴, [В]⁵, [Kl]⁶, [GK1]⁷, [GK2]⁸ и др.). Во всех известных примерах многообразий групп конечного периода без конечного базиса тождеств существенно использовался тот факт, что период многообразия есть составное число. Таким образом, история проблемы конечного базиса подвела к основному результату диссертации -доказательству существования многообразий без конечного базиса тождеств большого простого периода.

В диссертации рассматриваются также другие задачи теории групп, связанные с рассмотрением близких к степенным групповых соотношений и тождеств. Проблемы о существовании бесконечных конечно-порожденных периодических групп, сформулированные Берн-сайдом, положили начало для большого числа вопросов по данной теме. Большим достижением явилось доказательство существования бесконечных групп с двумя порождающими, в которых выполнено тождество х" = 1 для достаточно большого нечетного п, тем самым было получено отрицательное решение ограниченной проблемы Бернсайда для достаної] Ольшанский АЛО.О проблеме конечного базиса тождеств в группах// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1970. 34, № 2. 376-384.

²[А1] Адян СИ. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств // Изв. АН СССР. 1970. 34, № 4. 715-734.

³[V] М R Vaughan-Lee, Uncoutably many varieties of groups// Bull. London Math. Soc. 2 (1970) 280-286.

⁴[New] M F Newman, Just non-finitely-based varieties of groups// Bull. Austral. Math. Soc. 4 (1971), 343-348.

⁵[B] R M Bryant, Some infinitely based varieties of groups// J. Austral. Math. Soc. 16 (1973), 29-32.

⁶[K1] Клейман Ю.Г. О базисе произведения многообразий групп, 1-И// Изв. АН СССР. Сер. мат. 37 (1973), 95-97; 38 (1974), 475-483.

⁷[GK1] С К Gupta & А N Krasil'nikov, Some non-finitely based varieties of groups and group representations// Int. J. Algebra and Comput. 5, № 2 (1995), 1-23.

⁸[GK2] С К Gupta & A N Krasil'nikov, Melanilpotent varieties without torsion and varietis of groups of prime power exponent// Int. J. Algebra and Comput. 6, № 3 (1996), 325-338.

точно большой нечетной экспоненты, см. [NA]³ для п > 43G1, [А2]^ш для н > 6G5. Большое число результатов в этом направлении было получено с использованием геометрического подхода в интерпретации вывода следствий из определяющих соотношений в группах, см. [02]^п. Геометрический подход в комбинаторной теории групп используется и развивается также в настоящей работе, что позволяет решить несколько важных вопросов и надеяться на его дальнейшее успешное использование.

Цель работы.

Целью диссертации является дальнейшее развитие геометрического подхода в изучении соотношений, содержащих высокие степени, и его применение для получения ряда новых результатов в теории групп, в том числе построение многообразий простого периода, не имеющих конечного базиса тождеств.

Методы исследования.

В работе применяются методы комбинаторной и геометрической теории групп, использование высоких степеней слов, восходящее к [NA], диаграммная техника в обобщенной теории малых сокращений.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Указано континуальное семейство различных многообразий периода р для достаточно большого нечетного р, обладающее следующими свойствами: каждые два различных многообразия семейства в пересечении дают многообразие абелевых групп периода р; каждое из многообразий рассматриваемого семейства задается в явном виде бесконечной независимой системой тождеств от двух переменных.

2. Для достаточно большого нечетного п, зависящего от к, строится группа, удовлетворяющая тождеству ([жі,уі][я2,2Лг]- [^к,Ук])^П = 1, коммутант которой непериодичен.

3. Доказана независимость бесконечной системы групповых тождеств

⁹(NA] Новиков П.С, Адян СИ. О бесконечных периодических группах, 1,11,Ш// Известия АН СССР. Сер. мат. 1968, 32, № 1, 212-244; № 2, 521-524; № 3, 709-731.

¹⁰[А2] Адян СИ. Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М., 1975.

^!1[02] Ольшанский АЛО. Геометрия определяющих соотношений в группах. — М.: Наука, 1989.

{[x^p, y^p}ⁿ = 1}, где 7i — фиксированное достаточно большое нечетное число, являющееся степенью простого числа, а р пробегает множество простых чисел.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области теории групп.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп и алгебраическом семинаре кафедры высшей алгебры в МГУ им. М.В. Ломоносова, в университете Вандербилт (Нэшвилл, США), на Международной конференции по алгебре памяти Куроша (1998 год).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.