Введение к работе
Актуальность темы. Изучение алгебраических систем с теми или иными условиями конечности является определяющим направлением алгебраических исследований. В многочисленных работах по этой тематике выделились следующие условия конечности, которые теперь считаются классическими.
/. Конечность базиса.
Говорят, что алгебра удовлетворяет теореме о конечности базиса (т.н. Теореме Гильберта о базисе), если каждый ее идеал является конечно порожденным (как идеал). Это равносильно условию обрыва в алгебре возрастающих цепей идеалов (т.н. слабая нете-ровость алгебры). Аналогично определяется левая (правая) нете-ровость. Под нетеровостью понимается двусторонняя нетеровость алгебры. Свое название это свойство получило от знаменитой теоремы Гильберта о базисе. В 1890 Д.Гильберт [17] доказал, что в кольце многочленов от конечного числа переменных над полем или над кольцом целых чисел любой идеал порождается конечным числом элементов (имеет конечный базис). Затем этот результат был распространен на конечно порожденные (к.п.) алгебры над нете-ровыми кольцами и нашел широкое применение в коммутативной алгебре.
//. Финитная аппроксимируемость.
Говорят, что алгебра М над кольцом Л является конечной, если она является конечно порожденным (к.п.) модулем над Л. Говорят, что алгебра А - финитно аппроксимируема (ф.а.) если для любого элемента о Є А и а ф О существует конечная алгебра М и гомоморфизм <р : А ~ М такой, что уз(а) ф 0. В 1958 А.И.Мальцев [18] доказал, что конечно порожденная коммутативная алгебра над полем финитно аппроксимируема и вывел отсюда разрешимость ряда алгоритмических проблем. Эта работа А.И.Мальцева оказала существенное влияние на ход всех дальнейших алгебраических исследований в этой области.
III. Представимость (эндоморфизмами).
Говорят, что алгебра А представима, если она вложима в алгебру эндоморфизмов к.п. модуля над коммутативной алгеброй. Частным случаем этого понятия является представимость матрицами (над коммутативной алгеброй или над полем). Абстрактная
теория алгебр содержит большое количество проблем, решение которых в общем виде отсутствует до настоящего времени или отрицательно. Однако, эти проблемы получают положительное решение, если предположить, что алгебры, о которых идет речь в этих проблемах, представимы. Наиболее известный пример такого рода представляет проблема А.Г.Куроша о локальной конечности алгебраических алгебр. Основополагающие результаты по нахождению условий матричной представимости алгебр и выявление ряда важных свойств таких алгебр были получены А.И.Мальцевым в 1943 [19]. Алгебры представимые (эндоморфизмами) - это в точности алгебры, которые можно вложить в алгебры, являющиеся конечно порожденным модулем над коммутативным кольцом. В общем виде проблему описания таких алгебр поставил Ш. Амицур [24].
IV. Свойство Хопфа.
Говорят, что алгебра А - хопфова, если она не изоморфна никакому своему собственному фактору, т.е. А ^ А/1 (если / ф 0). В 1932г. Хопф поставил вопрос о том, может ли конечно порожденная группа быть изоморфна своей истинной фактор-группе. Утвердительный ответ на это дал Б.Нейман [21] в 1950. В работах 40-50 г. А.И.Мальцев изучает проблему Хопфа для групп и ассоциативных алгебр. В работе [19] устанавливается хопфовость представимых алгебр с конечным числом образующих. В 1950 он доказывает [20], что в относительно свободных хопфовых алгебрах конечного ранга п каждая система из п образующих является свободной.
V. Свойство Хигмана.
Говорят, что многообразие алгебр является хигмановым, если каждая рекурсивно определенная алгебра (т.е. конечно порожденная с рекурсивно перечисленным множеством определяющих соотношений) вложима в конечно определенную алгебру. Многообразие алгебр называется наследственно хигмановым, если оно само и любое его подмногообразие является хигмановым. Свое название рассматриваемое условие конечности получило благодаря хорошо известной теореме Г.Хигмана (1961) о том, что любая рекурсивно определенная группа вкладывается в конечно определенную, т.е. в современной терминологии, что многообразие групп является хигмановым. В.Я.Беляев (1978) показал, соответственно, что многообразие ассоциативных колец является хигмановым. Вопрос о критерии хиг-мановости многообразий алгебр был в общем виде отмечен в обзоре
Л.А. Бокутя [22]).
Постановка задачи.
Говорят, что в многообразии алгебр локально выполняется некоторое условие, если оно выполняется для каждой к.п. алгебры из этого многообразия. Классические результаты Гильберта и А.И.Мальцева показывают, что многообразия коммутативных алгебр над полем локально удовлетворяют свойствам I - V. Т.е. тождество коммутативности [х, у] = 0 обеспечивает локальную выполнимость свойств I -V. Возникает вопрос: для каждого из свойств / - V описать тождественные соотношения (или системы тождественных соотношений), гарантирующие локальную выполнимость соответствующих условий конечности. Фактически, речь идет о возможности обощения и переноса классических результатов с коммутативного случая на случай Р/-алгебр. В такой постановке эти проблемы поднимались в ряде работ (см.[22],[23],[24]). В 1966 В.Н.Латышев [25] описал локально нетеровые (слева) многообразия алгебр над полем характеристики 0. В 1969 И.В.Львов [10] доказал, что многообразие алгебр над полем характеристики 0 будет локально слабо нетеровым (л.с.н.) тогда и только тогда, когда в нем выполняется тождество вида:
xynz — J^ f4xyn,zvi (1)
где щ и Vi некоторые слова.
В 1976 И.В.Львов [10] анонсировал аналогичное описание для алгебр над нетеровым кольцом Джекобсона и установил, что л.с.н. многообразия являются л.ф.а. И.В.Львов нигде до сих пор не опубликовал доказательства этого результата. В 1976 Ю.Н.Мальцев [26] доказал, что многообразие алгебр над полем характеристики О будет л.с.н. тогда и только тогда, когда оно не содержит многообразие заданного тождеством xyzt = xzyt. В 1943 А.И.Мальцев [19] доказал, что каждая к.п. коммутативная алгебра над полем представима матрицами над расширением исходного поля. В 1957 И.Капланский высказал гипотезу, что каждая к.п. Р/-алгебра представима матрицами. Однако вскоре был найден опровергающий пример к этой гипотезе. С этого момента стала актуальной задача описания условий представимости Р/-алгебр в терминах тождеств. Одним из первых обощений результата А.И.Мальцева был результат, установленный Дж. Левиным в 1974 [27]. Из результа-
тов его работы следует, что каждая к.п. алгебра (над полем), удовлетворяющая тождеству [х, у] [z,t] = О, представима матрицами над полем. Следующий результат в этом направлении был получен В.Г.Марковым в 1976. Он установил локальную представимость многообразия алгебр над бесконечным полем, удовлетворяющих тождеству Энгеля:
[x,tj,y,...y]= О
В 1977 А.З.Ананьин [5] доказал, что для того, чтобы многообразие алгебр над бесконечным полем было локально представимо н.и.д., чтобы в этом многообразии выполнялось тождество вида:
[хі,Х2...хп]уі,у2...уп[гі,:.гп] - О
В этой же работе доказана эквивалентность локальных свойств / - III. Ананьин существенно использовал бесконечность исходного поля. Это дает возможность в алгебре расширить поле скаляров до алгебраического замыкания. При этом сохраняется выполнимость в алгебре всех исходных тождеств. Оказывается, что для алгебр над бесконечным полем можно ограничиться лишь однородными тождествами.
При переходе от бесконечного поля к произвольному коммута
тивному кольцу коэффициентов (например, к кольцу многочленов)
ситуация принципиально изменяется. Алгебры уже нельзя рассма
тривать как векторные пространства. Отсутствие базиса и одно
родности тождеств не позволяет применять ранее разработанные
методы. Многие классические алгебраические задачи при пере
ходе от поля коэффициентов даже к кольцу многочленов становятся
принципиально сложными проблемами (см. например, проблему Ж.-
П.Серра [14]). Причем, сложность этих задач зависит часто от
числа рассматриваемых переменных. Вот почему задача описания
многообразий, в которых локально выполняются классические усло
вия конечности, до сих пор оставалась нерешенной.
Цель работы - исчерпывающее описание многообразий алгебр, в
которых локально выполняются классические условия конечности, в
том числе теоремы Д.Гильберта и А.И.Мальцева.
Общая методика выполнения работы. Используются
структурные методы, опирающиеся на классические результаты
Д.Гильберта и А.И.Мальцева. Используются также теоретико-кольцевые методы, разработанные А.И.Ширшовым, Н.Джекобсоном и И.Капланским для колец и алгебр с тождественными соотношени-ямп. Существенно используются методы коммутативной алгебры, в частности теория разложений простых идеалов (теория Круля-Шмидта). Решение поставленной задачи потребовало принципиально нового подхода к характеристике тождеств. Разработанная в работе теория инвариантов (так называемая нормальная характеристика) используется для распознавания локальных свойств многообразий алгебр. Это распознование потребовало специфической техники, связанной с аппроксимационными методами, индукцией по спектру кольца и теорией симметрических многочленов (формулы Ньютона).
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней получили завершение исследования, посвященные описанию многообразий алгебр, в которых выполняются классические условия конечности. В работе удалось решить поставленные задачи в максимальной общности. Именно доказана эквивалентность классических условий конечности для многообразий алгебр над произвольным нетеровым кольцом Джекобсона. Установление, что указанные свойства эквивалентны только в том случае, если кольцо скаляров является нетеровым кольцом Джекобсона. Описаны все тождественные соотношения, обеспечивающие локальную выполнимость классических условий конечности. Вводится понятие нормальной характеристики тождеств и систем тождеств. Оказалось, что это понятие является универсальным и эффективно вычислияемым инвариантом многообразий. В работе показано, что многие условия конечности (в частности теоремы Д.Гильберта и А.И.Мальцева) выполняются в многообразиях алгебр тогда и только тогда, когда нормальная характеристика этих многообразий равна 1. Поэтому представляется оправданным называть указанные многообразия "Многообразия Гильберта-Мальцева" и рассматривать их как естественное обобщение коммутативности. В качестве приложения в настоящей работе получено решение ряда известных задач, в частности, получено положительное решение проблемы Эн-геля для ассоциативных колец. Это является аналогом известного результата Е.Зельманова о локальной нильпотентности энгелевых колец Ли. Полученные результаты могут служить фундаментом для
дальнейших исследований в области теории представлений алгебр с тождественными соотношениями и некоммутативной алгебраической геометрии.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на XVII и XVIII Всесоюзных алгебраических конференциях в Минске (1983) и Кишиневе (1985), на международной конференции посвященной памяти Д.К.Фаддеева в Санкт-Петербурге (1997), на семинаре "Алгебра и Логика" в Новосибирском государственном университете, на семинаре лаборатории алгебраических методов ПОМИ им. В.А. Стеклова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1],[2], [3],[4].
Объем и структура работы. Работа состоит из введения и двух глав, каждая из которых разделена на два параграфа. Работа занимает 82 страницы машинописного текста, список литературы сро-держит 37 наименований.