Многообразия алгебр конечной кодлины в случае поля нулевой характеристики Васильева, Ирина Романовна

Введение к работе

Актуальность темы. Теория многообразий алгебр - активно развивающаяся область современной алгебры, изучающая алгебраические объекты с точки зрения выполненных в них тождеств.

В случае поля нулевой характеристи вся информация о тождествах некоторого многообразия линейных алгебр содержится в полилинейной части соответствующей относительно-свободной алгебры. Часто для приложений достаточно знать не само строение полилинейной части, а лишь некоторые ее числовые характеристики, вернее те функции, которыми они мажорируются.

Ко длина многообразия алгебр - одна из таких характеристик. Отметим, что в работах специалистов по теории многообразий алгебр более активно изучались другие числовые характеристики, такие, как рост или экспонента многообразия. Все числовые характеристики несут в себе важную информацию о многообразии, нахождение этой информации является перспективным и многообещающим направлением в Рі-теорші

Цель работы. Целью работы является исследование условий конечности кодлины многообразий линейных алгебр над полем нулевой характеристики для следующих случаев:

многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией;

многообразие супералгебр, или ^-градуированных ассоциативных алгебр;

многообразий алгебр Ли.

Методы исследований. Для получения основных результатов диссертации были использованы:

аппарат теории представлений симметрической и гипероктаэд- ральной группы;

техника диаграмм Юнга;

комбинаторные методы вычислений в свободном объекте;

общие методы теории колец и модулей.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.

1. Для многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией над полями нулевой характеристики доказана эквивалентность условий конечности кодлины и полиномиальности роста.

2. Для многообразий Z-i -градуированных ассоциативных алгебр над полями нулевой характеристики доказана эквивалентность условий конечности кодлины и полиномиальности роста.

3. Для многообразий алгебр Ли над полями нулевой характеристики доказана эквивалентность условий конечности кодлины и условия Щ V С N_SA; здесь N_SA - многообразие алгебр Ли с нильпотентным коммутантом ступени нильпотентности не выше s, Щ - многообразие алгебр Ли, определяющееся всеми тождествами f\ = 0, где полином /д соответствует п - разбиению Л = (А_ь А₂,..., A_t), Ai >...,> X_t > 0, Ai + ... + A_t = n такому, что n — Ai > 2.

4. Описаны все многообразия алгебр Ли, n-тая кодлина которых равна 2 при га > 4.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит чисто теоретический характер. Основные результаты диссертации и методы их доказательства могут оказаться полезными для специалистов, работающих с многообразиями ассоциативных алгебр, сигнатура которых содержит дополнительный набор нз к линейных унарных операций, образующих конечную группу, а также для специалистов, работающих с многообразиями алгебр Ли.

На защиту выносятся следующие положения:

1) Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных ал- ' гебр с инволюцией:

Теорема. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем пулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

(г) многообразие V имеет конечную кодлину;

(и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

I) Критерий конечности кодлины многообразий супералгебр или многообразий ^2-градуированных ассоциативных алгебр:

Теорема. Пусть V - многообразие ассоциативных Zy-zpadyupo-ванных алгебр над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

(і) многообразие V имеет конечную кодлину;

(И) многообразие V имеет полиномиальный рост.

I) Критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли:

Теорема. Пусть V - многообразие алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквиваленты:

(г) существует натуральное число s > 2, такое что Ui (jt V С N.A;

(іі) кодлина многообразия V конечна.

Апробация работы. Материалы диссертации докладьшались на:

научно-исследовательских семинарах, проводимых кафеДрой Ал-гебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета;

V, VII, VIII ежегодных научно-практических конференциях Ульяновского государственного университета (1996, 1998,1999 гг.).

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены 'ором лично.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 86 наименований. Общий объем диссертации - 86 страниц.