Многообразие колец, порожденное полным матричным кольцом над кольцом Галуа Олексенко, Анна Николаевна

Введение к работе

Матричные кольца¹ и их тождества - давно и интенсивно изучаемые объекты в теории PI-колец, что отражено в обзоре [22] и в [25]. Их особую значимость осознали еще в сороковых годах с появлением результата И. Капланского о строении примитивных Р1-колец [27]. Каждое такое кольцо - это в точности кольцо матриц над телом, причем его размерность над центром ограничена степенью тождества, которому она удовлетворяет. Более того, не только примитивное, но и любое полупервичное РІ-кольцо Д'вложимо в кольцо матриц M_t(K), где t зависит лишь от степени выполняемого тождества, а К - некоторое коммутативное кольцо с единицей. Таким образом, все тождества M_t[K) переносятся и на R. Вообще, класс колец, пред-ставимых матрицами над коммутативным кольцом, достаточно широк, что говорит о необходимости изучения матричных многообразий.

Исторически первым направлением в исследовании матричных тождеств является построение и изучение однородных тождеств.

Одним из первых и наиболее важных в этом направлении результатов явилась теорема Амицура-Левицкого [20]. В ней было доказано, что в M_t(K), где К - коммутативное кольцо, выполняется стандартное тождество степени It, то есть следующее:

^2 sgn(CT(.₁) . ..x_a(2t) = 0.

aeS₂t

(Здесь и далее через 5 мы обозначаем симметрическую группу на множестве {1,..., к}.) Следующим существенным шагом стал результат Ю.П. Размыслова [19], который сконструировал однородный центральный многочлен для кольца M_t{K) (К -поле характеристики 0), то есть полином /, не являющийся

ⁱ Здесь и далее в тексте, чтобы избежать разночтений, слово "кольцо" употребляется в одном смысле - "ассоциативное кольцо".

тождеством кольца M_t{K) и принимающий на нем лишь скалярные значения. Таким образом, в M_t(K) выполняется тождество [/, у] = 0.

Если характеристика поля К положительна, то кольцо M_t{K) удовлетворяет тождеству следующего вида:

}] хф) ...x_a(k) = 0-

Причем в [9] доказано, что это происходит в том и только том случае, когда k>pt.

Достаточно большую группу среди известных полилинейных матричных тождеств составляют так называемые тождества Капелли. Это тождества вида

Е ^(^11^)-^.(0 = ^

где <7 = аг х ... х <т, и sgn(1) + ... + sgn(cr_s). В [23] и [26] доказано, что двойное (s = 2) тождество Капелли является тождеством кольца M_t(K) при к > 2t.

Довольно универсальный способ построения полилинейных матричных тождеств предложили Е. Сигети, 3. Туза, Г. Ре-вес и М. Домокос в серии работ [24], [29], [30], развив идею применения ориентированных графов в теории многообразий матричных колец, принадлежащую Р. Свену [31].

В 70-х годах возникло еще одно направление в изучении матричных многообразий, связанное с нахождением базисов тождеств конкретных матричных колец, часто встречающихся в приложениях. Первые шаги в этой области сделаны Ю.Н. Мальцевым, нашедшим базис тождеств кольца A_t(K) верхнетреугольных матриц (см. [12]), и Ю.П. Размысловым, указавшим явный вид образующих идеала тождеств кольца Мг(ЛГ) (см. [18]) (в обоих случаях К ~ поле характеристики 0).

Напомним, что кольцо Галуа GR(p^m, п) (р - простое число, п,тп Є N) определяется как фактор-кольцо кольца многочленов Z_p~[a;] по идеалу (f(x)), где f(x) - многочлен степени п,

неприводимый над GF(p). Р. Уилсон в работах [32], [33] доказал следующую теорему, усиливающую знаменитую теорему Веддербсрна в случае конечных колец:

Теорема. Пусть R - конечное кольцо с единицей, char R = р^т. Тогда R содержит подкольцо Q такое, что выполняются следующие условия:

1. R — Q-j-iV (сумма абелёвых групп), где J(Q) = pQ и N С J(R), N - (Q, Q) - бимодуль;

2. R/J(R) = Q/pQ;

3. Q - прямая сумма матричных колец над кольцами Галуа.

Данная теорема показывает, что описание базиса тождеств кольца M_t{GR{p^m ,п)) имеет важное значение для теории конечных колец.

В 1973 году появились работы И.В. Львова [10], [11] и Р. Крузе [28], в которых было показано, что идеал тождеств конечного кольца порождается конечным числом многочленов. В указанных работах впервые была выявлена важная роль критических колец для изучения локально конечных многообразий колец (напомним, что кольцо называется критическим, если оно конечно и не лежит в многообразии, порожденном собственными подкольцами и гомоморфными образами). В частности, возник следующий метод доказательства теорем о базисах тождеств конечных колец.

Пусть Л~ конечное кольцо, 5- конечное множество многочленов, var R (var{5)) - многообразие, порожденное кольцом R (соответственно, многообразие, идеал тождеств которого порожден множеством S). Пусть, кроме того, var(S) имеет конечный индекс и экспоненту. Тогда для доказательства того, что va 1-(5) С var R достаточно показать, что все критические кольца из var(5) лежат в vari?. При доказательстве этого факта существенно используется теорема Уилсона.

Данный метод был успешно применен для построения базиса то?кдеств кольца M_t(GF(pⁿ)) при К4в работах [14], [б], [7).

В 1988 году Ю.Н. Мальцев поставил проблему нахождения базиса тождеств полного матричного кольца над кольцом Га-луа GR(p^m, п) (см. [16]). При т >1 единственное продвижение в этом вопросе до настоящего времени - результат А.А. Нечаева [17], построившего базис обобщенных тождеств конечного коммутативного локального кольца главных идеалов. Восполнению пробелов в этом вопросе посвящена первая глава диссертации.

Важным подходом при изучении многообразий колец является исследование решеточных свойств многообразий.

Одно из направлений в этой области - описание многообразий с ограничениями на решетку подмногообразий. Пусть W, Wi и W2 - многообразия колец. Напомним несколько определений.

Многообразие W называется цепным, если решетка подмногообразий L(W) - цепь.

Многообразие >V называется почти цепным, если каждое его собственное подмногообразие - цепное, а само оно таковым не является.

Многообразие W называется квазицепным, если L(W) содержит ровно одну пару несравнимых элементов.

Кардинальное число г называется rf-шириной частично упорядоченного множества S, если S содержит т попарно несравнимых элементов и г - наибольшее число с таким свойством. Под ^-шириной многообразия W мы понимаем rf-ширину решетки L(W).

Говорят, что многообразия Wi и УУг дуальны друг к другу, если дуальны (антиизоморфны) решетки L(W\) и Ь{У\?2)-

Многообразие W называется самодуальным, если оно дуально само к себе, т.е. если самодуальна решетка L{W).

Многообразие W называется допускающим дуализм, если существует дуальное к W многообразие.

Многообразие W.называется наследственно самодуальным, если самодуально каждое его подмногообразие.

Многообразие W называется наследственно допускающим

дуализм (сокращенно- н.д.д.), если каждое его подмногообразие допускает дуализм.

Многообразие W называется дистрибутивным, если дистрибутивна решетка L(\V).

Цепные многообразия колец описаны В.А. Артамоновым [21], почти цепные многообразия - М.В. Волковым и Н.М. Берниковым [1]. Описания квазицепных, наследственно самодуальных, н.д.д. многообразий и ненильпотентмых многообразий d-ширины 2 получєніл Б.М. Берниковым [2]. Такие описания оказываются очень полезными при исследовании решеток конкретных многообразий.

В [8] поставлена задача (Л.Л. Бокуть, N 19) описания многообразий колец с дистрибутивной решеткой подмногообразий. Существенные продвижения в изучении дистрибутивных многообразий колец получены М.В. Волковым [3], [-1], [5] и Ю.Н. Мальцевым [15]. Тем не менее, решение указанной проблемы далеко от завершения. Поэтому представляется полезным получение информации о дистрибутивности решеток конкретных многообразий.

Освещению описанного круга вопросов применительно к решетке многообразия yarM2(GR(p'², и)) посвящена вторая глава диссертации.

В работе используются методы, конструкции и результаты теории колец и теории многообразий колец.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

построен базис тождеств многообразия var M₂(GjR(p²,n)); исследованы критические кольца этого многообразия;

описаны тождества многообразия var Mi(GR(p^m ,п))\

изучены решеточные свойства многообразия var МчіСЩр², п)), а именно, описаны цепные, почти цепные, квазицепные, наследственно самодуальные, н.д.д. подмногообразия var M₂{GR(p², п)); кроме того, исследована на дистрибутивность решетка нильпотентной части многообразия; также

найдены подмногообразия var M2{GR(p², га)) d-ширины 2;

получено описание почти коммутативных нильпотентных индекса 4 многообразий колец.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в теорий колец и теории многообразий колец.

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара "Многообразия колец" кафедры алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета, заседаниях семинара "Теория колец" Института математики СО РАН (1998,1999), заседании Алгебраического семинара кафедры алгебры Омского государственного университета (2000), третьей краевой конференции по математике (Барнаул, 2000), Четвертом Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике "ИШІРИМ-2000" (Новосибирск, 2000).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[34]-[40].

Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 5 параграфов, и библиографии, включающей 43 наименования. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.