Введение к работе
Предмет и актуальность темы. Исследования конечных простых групп занимают особое место в теории конечных групп. Это вызвано тем, что произвольная конечная группа наследует многие свойства факторов своего композиционного ряда. После завершения в начале 80-х годов классификации конечных простых групп (CFSG) на первый план выступила задача их более подробного изучения. Однако в отличие от разрешимых групп, строение которых чаще всего определяется подходящим нормальным рядом, изучение неабелевых простых групп невозможно вне каких-нибудь их представлений (в виде группы подстановок, группы автоморфизмов векторного пространства, графа, блок-схемы и т. п.). Среди всех подстановочных представлений данной конечной простой группы наиболее интересны ее минимальные представления, т. е. точные представления наименьшей возможной степени. Например, как следует из работы Д. Г. Храмцова [4], конечная простая группа вкладывается в группу автоморфизмов свободной группы ранга т тогда и только тогда, когда степень п ее минимального подстановочного представления удовлетворяет неравенству п — 1 < т.
Классификационная теорема утверждает, что список всех конечных простых групп включает в себя:
а) группы простого порядка,
б) знакопеременные группы Ап, при п > 5,
в) 26 спорадических групп,
г) простые группы лиева типа.
Минимальные подстановочные представления групп из первых двух классов очевидны. Найти их основные параметры не составляет труда.
Систематическое исследование минимальных подстановочных представлений спорадических групп было начато В. Д. Мазуровым. К 1988 году были найдены основные параметры таких представлений для всех спорадических групп (итоговую таблицу см. в [1]). Эти параметры суть степень и стабилизатор точки, а также ранг, подстепени и двойные стабилизаторы точек данного представления.
Группы лиева типа распадаются на классические, т. е. имеющие естественные представления группами автоморфизмов векторных пространствуй исключительные группы, которые в свою очередь делятся на исключительные группы Шевалле и исключительные группы скрученного типа.
В 1978 году Куперстейн [6] показал, что, как правило, подгруппа наименьшего индекса конечной простой классической группы приводима, и вычислил степени минимальных подстановочных представлений конечных классических групп. К сожалению, его работа содержит целый ряд неточностей. Несвободен от ошибок и уточненный список степеней минимальных представлений, содержащийся в [7]. А именно, для группы ^2т(2), где тп не делится на 3, и группы #2~т(3), т ^ 4, соответствующие степени указаны неверно. В 1993 году В. Д. Мазуров [2] установил точные значения степеней минимальных подстановочных представлений конечных простых линейных, симплектических и унитарных групп, а также определил ранги, подстепени, стабилизаторы и двойные стабилизаторы точек этих представлений.
Цель работы. Цель диссертации — доказать по модулю CFSG следующую основную теорему.
Теорема. Пусть G — конечная простая группа. Тогда степень, ранг, подстепени, стабилизатор и двойные стабилизаторы точек минимального подстановочного представления, (или представлений, если их несколько) группы G известны.
Для доказательства этой теоремы:
во-первых, изучены минимальные подстановочные представления конечных простых ортогональных групп (совместно с В. Д. Мазуровым);
во-вторых, изучены минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп Шевал-ле;
в-третьих, изучены минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп скрученного типа.
В диссертации также доказан следующий не имеющий прямого отношения к простым группам, но интересный сам по себе результат:
Пусть в прямом произведении двух конечных групп X xY содержится секция, изоморфная группе диэдра D порядка 2рп (р — простое число, р ф 2). Тогда либо в X, либо в Y тоже есть секция, изоморфная D.
Это утверждение дает частичный (требование конечности групп X и Y) ответ на вопрос 8.23 Л. Ковача из "Коуровской тетради" [3].
Методика исследовании. Тесная связь между естественными линейными представлениями конечных ортогональных групп и их минимальными подстановочными представлениями позволяет определить вышеперечисленные параметры последних.
Как следует из работы М. Либека и Я. Саксла [8], в большинстве случаев подгруппы наименьшего индекса в конечых простых исключительных группах являются параболическими. Параметры минимальных подстановочных представлений этих групп удается определить, изучая действие элементов группы Вейля W(4>) на системе корней Ф соответствующей простой алгебры Ли (что позволяет установить, куда переходит параболическая подгруппа при сопряжении ее элементом
группы) и используя некоторые другие свойства параболических подгрупп.
Научная новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований различных вопросов теории групп, связанных с конечными простыми группами.
Публикации и апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института математики СО РАН и НГУ "Алгебра и логика" и "Теория групп", были представлены на XXIX Всесоюзной научной студенческой конференции в г. Новосибирске в 1991 году, на Международной конференции "Finite and locally finite groupsr' в г. Стамбуле в 1994 году, на ХХХШ Международной научной студенческой конференции в г. Новосибирске в 1995 году.
Основные результаты опубликованы в работах [9-16].
Структура работы. Диссертация состоит из введения и 4-х глав. Она изложена на 72 страницах, библиография содержит 29 наименований.