Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Вопросы изучения подгрупп з линейных группах являются одним из классически направлений в теории линейных групп. Этому направлению были посвящена многочисленные исследования начиная с работ Жордана, Дьедоне и Диксона. В последние годы широкое внимание привлекли вопросы расположения промежуточных подгрупп, т.е. подгрупп, содержащих некоторую фиксированную подгруппу. Часто принимают за такую подгруппу группу диагональных матриц. До второй половины 70-х годов на эту тему мало что било известно даже для случая поля. В 1965 году в классической работе Бореля-Титса 123 были, изучены связные алгебраические подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полей. Из этих исследований вытекало описание алгебраических подгрупп в группе G = И ( n , К ), содержащих D = D ( п , К ) - группу диагональных матриц, где (К - алгебраически замкнутое поле. С точки зрения теории алгебраических групп - ото задача описания подгрупп, содержащих максимальный расщепямый тор. Приведенные результаты Бореля - Титса были значительно усилены в работе [1] З.И.Боревмчэ, где доказывалось, что для произвольного поля, содержащего не менее семи элементов, промежуточные подгруппы являются алгебраическим! и решетка промежуточных подгрупп конечна. Прямым обобщением результата Бореля - Титса является описание подгрупп в группах Юевалле, содержащих рвещептшй максимальный тор в работах Н.А.Вавилова [ 5, 6 ). В конечных группах Шэваже всех типов над конечным полем почти исчерпывающее описание подгрупп, содержащих вполне расщепимый максимальный тор , получено Г.М.Зейтцем ( 16 і. Что касается надгругл нерасшепимых торов, то для конечного поля нужно упомянуть результат У.Кантора И23, описавшего надгруппн цикла Зингера в полной линейной группе, и Г.М.Зейтца [20 1, перенесшего свои результаты для расщепимого тора на необязательно рэсщегшмые. Эта проблема исследовалась Г.М.Зейтцем в-целой серии работ с Т979 по 1983 год і 16-20 ]. Задача описания промежуточных подгрупп соприкасается с другой важной задачей теории линейных групп - задачей описания максимальных подгрупп, речь идет об описании максимальных подгрупп, принадлежащих некоторому специальному классу. Изучение максимальных подгрупп конечных простых групп является активно'развиЕзючимся направлением . Принципиальные результаты
здзсь получены М.Ашбахвром, Г.М.Зейтцем, М.Либеком и др.С 8, 13, 14, 20 ]. Описание максимальных подгрупп, содержащие максимальный расщепимый тор, содержится в работе Н.А.Вавилова [4 ). В работе Г.М.Зейтца [ 20 ] было получено описание конечных групп типа Ли, содержащих произвольный максимальный тор. Однако замечательные работы Г.М.Зейтца не были доведены до конкретных ответов. Для получения исчерпывающих ответов требуется довольно значительная работа. В настоящей диссертации исследуется вопросы описания максимальных непараболкческих подгрупп в конечных группах Юевалле, содержащие произвольный максимальный нерасщапимый тор. Для зтого решаются такие важные вопросы как описание Т-корневых подгрутш, описание Г-замкнутых. множеств Г-кордавих подгрупп, вычисление их нормализаторов и г.л-Для надгрутш расщепимых торов сответствушцие результаты были получены в работах М.Голубицкого и Б.Ротшильда, Н.А.Вавилова и А.Л.Харебова t 4, 9, 10, 11 ]. Таким образом, прОЕодамые в диссертации исследования входят в обцоо русло современных исследования по описанию промежуточных максимальных подгрупп в алгебраических линейных группах, что и определяет ее своевременность и актуальность.
ЦБЧЬ PAB0TU. Основной целью работы является описание максимальных шпараболических подгрупп б особых конечных группах Шевалле , содержащих произвольный нерасщепимый максимальный тор.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИСОВДОВАМЙ. В работе используются общие методы теории алгебраических линейных групп, а также некоторые специальные методы, связанные с комбинаторными начислениями в системах корней и группах Вейля.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые научные результаты.
-
Получено описание орбит Т-корневых подгрупп в группах Шевалле G , определенных над замыканием конечного поля F .
-
Получено описание Т-корневых подгрупп в особых конечных группах Шевалле нормального типа.
-
Получено описание челараболических максимальных подгюупц в особых конечных группах Шевалле, содержащих произвольный нерасщепимый максимальный тор.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. На основании теоретических исследований составлены таблицы 1 - б, описывающие Т-кордавые подгруппы в конечных особых группах Шевэлле и таблицы 7-11, описывающие все максимальные надгруппн максимальных торов.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на совместном семинаре лабораторнії алгебраических методов Санкт-Петербургского отделения Математического института АН РФ и кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано три работа.
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и 11 таблиц, ее объем составляет 137 страниц машинописного текста. Библиография состоит из 40 наименований.