Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию некоторых алгебраических свойств полуколец вида С(Х, S) всех непрерывных функций, определенных на топологическом пространстве X, со значениями в топологическом полукольце S. Полукольца непрерывных функций - сравнительно новый алгебраический объект, изучение которого опирается на теорию колец непрерывных функций и на теорию полуколец. Они представляют собой следующий шаг (после колец непрерывных функций) в развитии конкретных алгебраических систем непрерывных функций.
В связи с приложениями (компьютерная математика, теория кодирования, идемпотентный анализ) в последние 10 лет возникла задача создания общей теории полуколец [11]. Многие абстрактные полукольца допускают хорошие функциональные представления в виде полуколец глобальных сечений пучков полуколец [6]. Поэтому знание свойств полуколец непрерывных функций будет полезно в теории полуколец.
В классической теории колец С(Х) = С(Х, R) непрерывных веще-ственнозначных функций одними из первых изучались строение максимальных идеалов (И. М. Гельфанд и А. Н. Колмогоров [4]) и вопросы элементарной делимости (Гиллман и Хенриксен [8], [9]). Теорема Гельфанда-Колмогорова об описании максимальных идеалов колец С(Х), X - тихоновское пространство, как соответствующих точкам стоун-чеховской компактификации постранства X, послужила основой целого ряда исследований (см., например, [13], [15], [14], [12], [7], [2]). Условия, при которых кольцо С(Х) является кольцом Безу или регулярно, а также отвечающие им понятия F-пространства и Р-про-странства рассматривались в [8], [9], [10], [1], [5]. Развитие этой темы на кольца С(Х, S) со значениями в нормированных телах 5 осуществил
E. M. Вечтомов [1], [16], а для нормированных колец 5 данная задача была поставлена в докладе [3].
Цель работы. Исследование структурных свойств полуколец непрерывных функций по двум проблемам:
-
Строение максимальных идеалов полуколец С(Х, S) со значениями в некоторых топологических полукольцах S.
-
Делимость (быть полукольцом Безу, НОД-полукольцом, НОК-по-лукольцом) в полукольцах непрерывных функций со значениями в числовых полукольцах и нормированных кольцах.
Методы исследования. В работе применяются понятия и методы теории колец непрерывных функций, теории колец и полуколец, общей топологии и топологической алгебры.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Решены следующие задачи.
-
Получено описание максимальных идеалов и пространства максимальных идеалов полуколец С(Х, S) для полуколец S из некоторого естественно выделяемого класса полуколец (глава 1).
-
Разработана элементарная теория делимости в полукольцах непрерывных функций со значениями в числовых полукольцах с обычной топологией (глава 2).
-
На кольца С(Х, S) непрерывных функций со значениями в нормированных кольцах S перенесены результаты Е. М. Вечтомова [16, 12] о делимости в кольцах С(Х, S) непрерывных функций со значениями в нормированных телах S (глава 3).
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит
теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях полуколец непрерывных функций, в теории полуколец, в общей топологии (полукольцевая определяемость топологических пространств и их свойств), а также при чтении спецкурсов на физико-математических факультетах педвузов и университетов.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции по теоретической и прикладной математике в Тар-тусском университете, неоднократно на алгебраическом семинаре в Вятском госпедуниверситете, на алгебраическом семинаре профессора А. А. Фомина в Московском педгосуниверситете.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти работах, одна из которых в соавторстве. Список приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пункта "Исходные понятия", трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы из 35 наименований. Объем диссертации - 91 страница.