Введение к работе
Актуальность темы. Теория двойственности Л.С.Понтрягина и теория локально евклидовых групп, возникшая при решении пятой проблемы Д.Гильберта, позволили развить з теории топологических групп направление, называемое алгебраическим. Благодаря введению разумных аналогов понятий и конструкций дискретных групп с их дальнейшим изучением появились такие разделы как силовская теория (А.Г.Курош, В.П.Платонов), свободные топологические группы (А.А.Марков, М.И.Граев), обобщенные нильпотентные топологические группы (В.М.Глушков, В.П.Платонов), группы с условиями минимальности и максимальности для замкнутых подгрупп (В.М.Глушков, В.С.Чарин), группы конечного специального ранга, FC- и слойно компактные группы (В.С.Чарин, В.И.Ушаков, В.М.Полецких), решеточная теория (Ю.Н.Мухин),
Одной из центральных в этом направлении была, поставленная в 1965г., проблема В.П.Платонова о непростоте в топологическом смысле локально компактной локально нильпотентной группы, отличной от циклической простого порядка. Как известно, в дискретном случае ее решение вытекает из общей локальной теоремы А.И.Мальцева. Таким образом, проблема В.П.Платонова, а также некоторые другие задачи тео-рии топологических групп, указывали на необходимость развития локального метода в топологической алгебре.
По существу решающую роль в доказательстве локальных теорем для топологических групп сыграла некоторая топологизацкя пространства о^Сч-) всех замкнутых подгрупп группы Q- . Идея топологи-зации пространства <(G) , вообще говоря, не нова. Еще в 1932 г. А.Н.Колмогоров ввел для описания непрерывных проективных геометрий некоторую топологию на множестве всех подпространств конечномерного векторного пространства над локально компактным телом. В работах К.Малера по геометрии чисел введена сходимость на множестве решеток, т.е. дискретных подгрупп ранга л> из R . Полученный К.Малером критерий компактности подмножества решеток был положен
d основу метода нахождения критических решеток и критических определителей звездных тел. К.Иаботи распространил сходимость К.Малера на случай замкнутых подгрупп локально компактной группы. При изучении решеточных изоморфизмов локально компактной абелевой группы М.И.Граеву понадобилась топология на множестве дискретных свободных циклических подгрупп. Таким образом, топологизированное пространство oC(Q) несет весьма существенную информацию о самой группе Lr , а поэтому представляется достаточно естественной задача систематического изучения взаимосвязей между строением G и л (<т)
Локальная теорема А.ИЛальцева для алгебраических систем формулируется на языке исчисления предикатов. Простейшими аксиоматизируемыми на этом языке классами являются многообразия, т.е. классы алгебр, которые задаются тождествами. Удогообразия весьма совершенны в том отношении, что согласно теореме Г.Бнркгофа, представляют собой в точности классы алгебр, замкнутые относительно подалгебр, гомоморфных образов и декартовых произведений. Если обратиться к топологическим алгебрам, то легко заметить, что їлас-сичеекпе тождества не улавливают особенностей их топологического строения. Поэтому при построении теории многообразий топологических алгебр естественно возникает необходимость в подходящем обобщении поняткя тождества. Первую попытку построить такую теорию предпринял У.Тейлор. Однако выразительные возможности предельных тождеств У.Тейлора оказались ограниченными: любые неодноэлементные топологические пространства неразличимы по У.Тейлору. К необходимости в адекватном понятии тождества приводит и стремление объединить такие разрозненные свободные конструкции как Стоун-Чеховская компактнфикация, свободная проконечная группа, свободная топологическая группа А.А.Маркова и др.
Цель работа - развить локальный метод для топологических алгебр и применить его к решению ряда известных проблем теории топологических групп, всесторонне изучить строение тоиологиэнро-ванного пространства c(Gr) замкнутых подгрупп топологической группы О- , ввести подходящее понятие тождества топологических ач-гебр к построить соответствующую теорию многообразий.
Котодика исследования. Использовались методы, конструкции и результаты из топологии, теории групп и алгебраических систем, комбинаторики.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Разработан локальный метод для топологических алгебраические систем, обобщающий локальный метод А.И.Мальцева. В качестве одного из следствий доказана неяростота в топологическом смысле локально нильпотентной группы, отличное от циклической простого порядка. Предложена общая схема топологизации пространства Х((х) замкнутых подгрупп топологической группы Ц- . Изучено строение пространства <() , снабженного топологией Вьеториса, в связи со строением топологической группы (г .На основе алгебры фильтров введено понятие тождества топологических алгебр, доказан аналог теоремы Г.Биркгофа, дана классификация и характериэвция многообразий по виду тождеств, изучен ряд конкретных многообразий топологических пространств и топологических групп.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в исследовании строения топологических групп и пространств их замкнутых подгрупп, а также многообразий топологических алгебр различной сигнатуры.
Аппробзция работы. Результаты диссертации излагались в докладах и сообщениях автора на 15 - 18 Всесоюзных алгебраических конференциях, 6-9 Всесоюзных симпозиумах по теории групп, науино-
исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ, Минском городском семинаре "Алгебра и топология", общемосковском топологическом семинаре, семинаре "Алгебра и логика" в Институте математики СО АН СССР, алгебраическом семинаре в Институте математики с ВЦ АН МССР, семинарах по топологической алгебре в Московском и Киевском университетах, семинаре по теории групп в Институте математики АН УССР.
Публикации. Содержащиеся в диссертации результаты опубликованы в работах, список которых приведен в конце реферата, а также в ряде тезисов конференций и симпозиумов, содержание которых покрывается этими публикациями.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, указателя обозначений и определений, списка цитируемой литературы. Объем работа - 210 страниц машинописного текста.