Введение к работе
Актуальность темы. В связи с завершением классификации конечных простых групп возникла задача единого представления конечных простых групп. Перспективным направлением является поиск такого класса конечных геометрий, что каждая конечная простая группа действует флаг-транзитивно на некоторой геометрии и все геометрии этого класса допускают классификацию ([10]-[13], [26], [27]). Например, класс билдингов Титса характеризует группы лиева типа (см. [30]). Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием, в частности, такой является задача классификации дистанционно регулярных графов (см. [10]).
Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве П. Если стабилизатор Gp точки р Є П, имеет г орбит на П, то говорят, что G имеет подстановочный ранг г (является группой подстановок ранга г). Пусть г = 3 и соответствующие три орбиты — это {р}, Д(р), Г(р). Тогда по группе G удается построить сильно регулярный граф Г, множество вершин которого П и две вершины р, q смежны в Г, если q Є Г(р) (см. [17]).
Д. Хигман ([IT]—[21]) развил теорию групп ранга 3. Эти группы являются группами автоморфизмов сильно регулярных графов, причем они действуют транзитивно как на множествах вершин и ребер, так и на множестве пар различных несмежных вершин. Такие графы являются дистанционно транзитивными графами диаметра 2.
В диссертации рассматриваются неориентированные графы без петель и кратных ребер.
Пусть Г — простой граф. Назовем окрестностью вершины и графа Г подграф всех смежных с и вершин. Окрестность вершины и Є Г будем обозначать через Г (и) или даже через [и]. Окрестность вершины называется локальным подграфом.Через ГДи) обозначим подграф всех вершин, находящихся на расстоянии г от и. Граф Г называется регулярным графом степени к, если [а] содержит точно к вершин для любой вершины а из Г.
Граф Г называется реберно регулярным графом с параметрами (v, к, А), если Г содержит v вершин, является регулярным степени к, и каждое ребро из Г лежит в Л треугольниках.
Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (v,k,X,fi), если Г реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [а] П [Ь] содержит ц вершин в случае d(a, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом.
Если вершины и, w находятся на расстоянии г в Г, то через bi(u, w) (через сДм, w)) обозначим число вершин в пересечении Гі_|_і(и) (Гі_і(и)) с T(w). Заметим, что в реберно регулярном графе число bi(u, w) не зависит от выбора смежных вершин u,w и обозначается через Ъ\.
Цель работы.
Изучить вполне регулярные графы с ц < к — 1Ъ\ + 3.
Изучить вполне регулярные графы с b\ = 6.
Найти возможные автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (75,32,10,16).
Методы исследований. Основными методами исследования являются теоретико-графовые методы и методы теории конечных групп, в частности, метод Хигмена приложения
теории характеров к выяснению порядков автоморфизмов дистанционно регулярных графов и подграфов неподвижных точек этих автоморфизмов, а также метод хороших пар.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории групп и теории графов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной алгебраической конференции в Санкт-Петербурге (2007 г.), VII международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008 г.), международной школе-конференции по теории групп, посвященной 80-летию со дня рождения А.И.Кострикина (Нальчик, 2009 г.), и на 39-й, 40-й и 41-й Региональных молодежных конференциях ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2008-2010 гг.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в цикле работ, состоящем из 4 статей (одна в журнале из списка ВАК), и 5 тезисов докладов. Из 4 статей 1 написана без соавторов, 1 - тремя авторами (Ефимов К.С, Махнев А.А., Нирова М.С.), остальные - в соавторстве с Махневым А. А. Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы, содержащего 39 названий. Общий объем диссертации составляет 86 страниц.
