Локально конечные алгебы Ли и универсальные обертывающие алгебры Янсон, Иван Андреевич

Введение к работе

Актуальность темы. Конечномерные алгебры Ли являются наиболее изученными в теории алгебр Ли, поэтому локально конечномерные алгебры Ли, как наиболее близкие к конечномерным, являются притягательной областью для исследований. Так, например, локально конечные алгебры это предмет исследования в работе [I]¹. Если более точно, то в этой статье изучаются простые локально конечномерные алгебры Ли. Важной конструкцией локально конечных алгебр Ли являются прямые пределы конечномерных алгебр Ли. В вышеупомянутой статье наряду с другими объектами рассмотрено некоторое множество прямых пределов простых алгебр Ли классического типа А и показана континуальность этого множества. В диссертации рассматривается и изучается со структурной точки зрения другое множество прямых пределов простых алгебр Ли типа А, содержащее в себе множество прямых пределов из работы [1].

В множестве всех прямых пределов полупростых алгебр Ли можно выделить особые случаи. Например, в работе [2]² введено понятие треугольности для таких прямых пределов. Введение этого понятия позволяет рассмотреть обратные пределы множеств доминантных весов. Авторами произведено исследование этих обратных пределов на нетривиальность для целого ряда случаев. Нашей целью является рассмотрение обратного предела множеств доминантных весов во многих других случаях. Кроме того, в настоящей работе для этих случаев исследуются обратные пределы множеств инвариантных полиномиальных функций и обратные пределы корневых решёток.

Одним из наиболее часто исследуемых объектов, связанных с алгеброй Ли, является её универсальная обёртывающая алгебра. Для конечномерной полупростой алгебры Ли известно (см. [З]³), что центр её универсальной обёртывающей алгебры изоморфен кольцу многочленов. В настоящей работе исследуется центр универсаль-

^:[1] Бахтурин Ю. А., Штраде Г. Локально конечномерные простые алгебры Ли , Мат. Сборник 81(1995), No.l

^г[2] Yuri Bahturin and Georgia Benkart, Highest weight modules for locally-finite Lie algebras, Proc. Conf. 60-th birthday R.Block. to be published.

³[3] Диксмье Ж.| Универсальные обёртывающие алгебры, изд. "Мир", Москва 1978.

ной обёртывающей алгебры простой алгебры Ли, являющейся прямым пределом конечномерных полупростых алгебр Ли. Заметим, что в статье [4]* отмечается тривиальность центра универсальной обёртывающей алгебры для нескольких алгебр Ли такого типа.

Другой объект, связанный с универсальной обёртывающей алгеброй, это её классическое тело частных. Оно не всегда существует, и соответственно основной задачей, стоящей в этой области, является поиск тех случаев, когда классическое тело частных существует. Положительно этот вопрос решён в случае конечномерных и разрешимых алгебр Ли. В диссертации исследование этой проблемы осуществляется с использованием понятия роста алгебр. Это исследование производится для APJ-алгебр и для алгебр из некоторого, введённого в работе, многообразия.

Цель работы. Описать конкретные множества прямых пределов простых конечномерных алгебр Ли типа А. Изучить обратные пределы, связанные с некоторыми трезтольными прямыми пределами простых алгебр Ли. Доказать тривиальность центра универсальной обёртывающей алгебры простой алгебры Ли, являющейся прямым пределом полупростых алгебр Ли. Решить вопрос о существовании классического тела частных у универсальных обёртывающих алгебр ЛР/-алгебр Ли и алгебр Ли из многообразия o^cD.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В усиление результата работы [1] о континуальности семейства локально конечных простых алгебр Ли типа А, получена полная классификация множества прямых пределов алгебр Ли типа А вида limg'¹', і Є I, где структурные гомоморфизмы $,+i,; : g^ —> g^^,+1^

определены формулами Ф,-+1,,-(Л) = di&g{A,A,...,A}, А Є 0^.

" _v '

PI Получено необходимое и достаточное условие изоморфности таких

прямых пределов.

2. Рассмотрено более широкое множество прямых пределов простых алгебр Ли типа А таких, что $,-+1,,-(.4) = diag{Ci, Сг,. ., C_mj}, где Сі равно либо А, либо —А^г. Для прямых пределов из такого

⁴[4] Olshanskii G.I., Representation of infinite-dimensional classical groups: limits of enveloping algebras and Yangians. Topics in representation theory, Adv. Sov. Math. 2, 1-66(1991).

класса получено необходимое условие изоморфности. Доказаны теоремы, дающие описания в двух частных подслучаях этого случая.

1. Рассмотрено по два типа треугольных вложений для простых алгебр Ли классических типов A,B,C,D соответственно. Для всех этих случаев изучен характер воздействия сопряжённых отображений на фундаментальных весах, на простых корнях, на множествах доминантных весов, на корневых решётках и на множествах инвариантных функций. Для прямых пределов простых алгебр Ли с композициями этих отображений в качестве структурых гомоморфизмов показана нетривиальность обратного предела множеств доминантных весов и нетривиальность обратного предела множеств инвариантных полиномиальных функций. В отдельных случаях показано существование обратных пределов корневых решёток, и отмечена нетривиальность последних.

2. Рассмотрены простые алгебры Ли, являющиеся треугольными прямыми пределами конечномерных полупростых алгебр Ли. Исследовано воздействие структурных гомоморфизмов в таких прямых пределах на инварианты действия группы Вейля в симметрических алгебрах подалгебр Картана. Доказано то, что центр универсальных обёртывающих таких алгебр Ли тривиален. На базе этого утверждения получен результат о тривиальности центра универ-сальнщй обёртывающей алгебры произвольной простой алгебры Ли, являющейся прямым пределом конечномерных полупростых алгебр Ли.

3. Рассмотрен вопрос существования классического тела частных в свете понятия роста алгебр. Показано существование классического тела частных для универсальных обёртывающих алгебр API-алгебр Ли ( обобщение понятия специальных алгебр Ли ). Также положительное решение этой проблемы получено для универсальных обёртывающих алгебр алгебр Ли из многообразия о^с0, где О такое многообразие, что все его конечнопорождённые относительно свободные алгебры обладают субэкспоненциальным ростом.

Все основные результаты являются новыми, их достоверность подтверждается подробными доказательствами.

Апробация. Материалы диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-2.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы из 15 названий. Общий объём диссертации 163 страниц.

Во введении показана актуальность работы, сформулированы основные результаты. В главе 1 рассматриваются некоторые конкретные множества прямых пределов простых алгебр Ли типа А. В главе 2 изучаются обратные пределы, связанные с некоторыми треугольными прямыми пределами простых алгебр Ли. В главе 3 изучается центр простой алгебры Ли, являющейся прямым пределом полупростых алгебр Ли. В главе 4 рассматривается вопрос существования классического тела частных у универсальных обёртываюпигх алгебр API- алгебр Ли и алгебр Ли из многообразия а^со.