Введение к работе
Актуальность темы. Линейные представления данной группы являются важным инструментом для изучения свойств этой группы. Особый интерес вызывает случай, когда группа имеет точное представление . В последнее десятилетие решены некоторые известные классические задачи, связанные с существованием точных конечномерных линейных представлений определенных групп. Форманек и Прочези '' доказали, что группы автоморфизмов свободных групп ранга пьЭ нелинейны. Лонг и Патон установили, что представление Бурау для групп кос В , ns6 не является точным.
Естественным образом возникает вопрос о линейности групп 'автоморфизмов свободных групп конечного ранга произвольного многообразия ЗЛ, ответ на который содержится в данной работе. Кроме того, представляет интерес классификация всех линейных представлений группы автоморфизмов свободной группы ранга 2, для которой пока открыт вопрос о ее линейности.
Многие вопросы теории групп приводят к необходимости устано*-вить является ли данная линейная группа свободным произведением циклических групп и, в частности, свободной. Так открытые вопросы о линейности группы А„ и точности представления Бурау группы кос В4 сводятся к задаче такого рода. Рядом авторов исследовался вопрос, когда два параболических дробно-линейных преобразования порождают свободную группу. Пужицки 3) получил необходимые и достаточные условия при которых подгруппа, порожденная в группе PSL„(R) двумя элементами А и В, является дискретным свободным произведением циклических подгрупп <А> и <В>. Однако существует необходимость в подобного рода условиях и для два-порожденных подгрупп линейных групп над полем С.
В диссертации получены достаточные условия, при которых элементы групп PSL„(C) и SL,(C) порождают свободное произведение, циклических групп. Эти результаты применяются при определении
Proceml С.' The autoaorphteM group or а free
group її not ІІлог // J. Algebra. - 1992. Vol. 149, N 2. - P.
494-499. , , ..
Long D.D., Paton H. The Burau repreeentatton i* not faithful
for n*6 // Topology. - 1993. Vo 1 '. 32. - P. 439-447.
З і l
Purxlteky H. Two generator discrete free produotm // Kath. Z. -
1972. Vol. 126. - P. 209-22Э.
образов линейных представлений группы А„ и исследовании групп с одним соотношением.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация . выполнена в рамках темы "Многообразия представлений конечно-порожденных групп, комбинаторное строение арифметических и проконечиых групп. Группы Брауэра алгебраических многообразий и их использование в алгебраической геометрии и теории чисел" отдела алгебры и теории чисел Института математики АНБ, входившей в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных математических структур" за 1995 год; а также в рамках тема "Линейные и топологические группы и связанные с ними ассоциативные системы" кафедры высшей алгебры БГУ,.входящей в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных математических структур", рассчитакнуи на 1996-2000 годы.
Цель работы состоит в получении достаточных условий, при которых элементы групп PSL2(C) и SL„(C) порождают свободное произведение циклических групп, применении этих результатов к і классификации линейных представлений степени 2 и 3 группы А„, а также в доказательстве критерия линейности групп автоморфизмов относительно свободных групп.
Научная новизна полученных результатов заключается в
следующем: -
получены достаточные условия, при которых элементы групп PSL2(CJ и SLq(C) порождают свободное произведение циклических .групп;
доказан критерий линейности групп автоморфизмов относительно свободных групп;
классифицированы линейные представления степени 2 и 3 над полем С группы автоморфизмов свободной группы ранга 2 г
Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применениз з теории линейных групп, при исследовании свойств групп автоморфизмов свободных групп, в теории представлений групп.
Основнке положения диссертации, выносимые ча защиту. , 1 Точные представления свободного произведения n (nt2) циклических груі:п в группу PSL„(C) и достаточнме услозия, прк кото; их два-порожденкая подгруппа <А,Б> этой группы изоморфна свободному произведении <А>*<В>.
2. Критерий линейности групп автоморфизмов относительно
:вободных групп;
3. Классификация линейных представлений степени 2 и 3 над
юлем С группы автоморфизмов свободной группы ранга 2.
Личный вклад соискателя. Результаты работ, опубликованных с мучным руководителем, получены совместно.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации ізлагались на совместном заседании американского и израильского «атзматических обществ (Иерусалим, 24-26 мая 1995 г.), на конференции "г"0 European congress of mathematics" (Будапешт, 22-26 ноля, 1996 г.), на Республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию ФПМИ БГУ (г. Минск, 10-14 апреля . 1995 '.)', на международной конференции "Алгебра и математическая ки-іернетика", посвященной 80-лет..ю со дня рождения академика Д.А. :упруненко (г. Минск, ноябрь 1995г.), VII Республиканской конфе-)енции математиков Беларуси (г. Минск, 1996 г.), на международной сонференции по теории групп, посвященной памяти С.Н. [ерникова- (г.Пермь, сентябрь 1997 г.).
Опубликованносгь результатов. По теме диссертации опублико-іано 7 печатных работ. Из них 3 является тезисами докладов на гатематических конференциях, 1 - депонированная научная работа.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из переч-. !я условных обозначений, введения, общей характеристики работы, рех глав, выводов и списка используемых источников, включающего' 8 наименований. Общий объем.диссертации составляет 84 страницы.