Лиевы и йордановы гомоморфизмы ассоциативных колец с инволюцией Лагутина, Людмила Алексеевна

Введение к работе

Актуальность темы. Характернзацня аддитивных отображения ассоциативных колец,берущая начало в 40-е годи из задач проективной геометрии, является актуальным направлением современно» алгебры. В 1961 г. Н.Н.ХерстеПн сформулиропал ряд проблем по теории колец.среди которых были вопросы по изучению лиевых и Нордановых гомоморфизмов ассоциативных колец с инволюцией.Обзор результатов, полученных в исследованиях по кольцам с ічіволшиеіі и аддитивным отображениям, определенным, п частности, па ассоциативных кольцах с инволю-ціїеіі. можно iiaflTi: в его монографиях [1],[2]. а также в докладе профессора В.Мартнндеила на конференции по теории колец ( Ohio University.1976)[3].

Для произвольной ассоциативно!! алгебры R над полем F с инволюцией *: R - R определим множество симметрических относительно инволюции # элементов Ii'₄R,*)-(r*P./r' -г} н множество ко-сосимметрнчеекпх относительно инволюции * элементоп K(R,*)-(rt R/r"--r}. Оба множества являются г-подмодулчмн алгебры R, но не являются подалгебрами ассоциативно!! алгебры R.

Если па R ввести операции симметризованного пронзведечия х о y-xytух,коммутирования [x,yj=xy-yx для произвольных x,y«R, то F-модуль H(R.*) является Порданової! алгебро!! относительно

1. Herstein I.H. Rings with involution. Chicago Lectures in mathematics. Chicago and London: the University of Chicago Press. 1976.

2. Kerstein I.H. Topics in ring theory. Univ. of Chicago Press. 1969.

3. Martindale W.S. Lie and Jordan mapping in associative rings.// Pros, of the Ohio Univ. con', ring theory. -New-York: Marsel Dekker, 1976.

4 операции симметризованного произведения, a F - модуль K(R,*) является алгеброй Ли относительно операции коммутирования [х,у]- ху-ух.Таким образом; с ассоциативной алгеброй R связанц неассоциативные алгебры H(R,*) и K(R,*).

В данной диссертации изучается вопрос, в какой мере строение ассоциативной алгебры R определяется его множествами ко-сосимметрических и симметрических элементов? А именно: пусть R и S - ассоциативные алгебры с инеолюциями 'Г и с соответственно, причем H(R.3i:)2rH(S,T) ( как Порданови алгебри). Будут ли изоморфны ассоциативные алгебры R и S? Аналогично можно сформулирозать ьопрос в случае изоморфизма алгебр Ли кососим- . метрических элементов.

Пусть-J - подпространство ассоциативной алгебры R, замкнутое относительно операции х«у-ху+ух. Назовем линейное отображение f:J * S, где S - ассоциативная алгебра,

а) йордановым гомоморфизмом, если f(xy+yx)-f(x)f(y) + f(y)f(x):

б) йордановым дифференцированием, если f(xy+yx)-fx(y) + f(jOy>
+ yf(x) f{y)x для произвольных элементов x.yeJ.

Наиболее значительный результат в исследовании йордановых гомоморфизмов в случае ассоциативных колец с инвол чшей принадлежит В.Мартиндеилу [4].

Теорема А. Пусть R - кольцо с инволюцией *. содержащее три ортогональных симметрических идемпотента є,, о,,, е, таких, что e,*9j ^е,-1 и Re^R-R, i-1,2,3. Если V- иорианов гомоморфизм H(R,*) в ассоциативное кольцо S, то V единственным образом может Сыть расширен до гомоморфизма R в S.

A. Vartindale W.S. Jordan .honomorphisms of the symmetric elements of a ring with involution // J. Algebra, 1967, -Y.5., p. 232 - 24&.

В качестве следствия Получена теорема о продолжении пор-данова дифференцирования d: II(R,*) * R до дифференцирования в R. если R удовлетворяет условиям предыдущей теореми. . Но наличие трех нДемпоТентов является достаточно сильным ограничением на кольцо R.

В Связи с перечисленными выше результатами B.C. Мартнндеп-лом были сформулированы следующие вопроси 15]:

Вопрос 1. а) Нельзя ли ослабить условия на идемчо-тенты в теореме А ? б) Возможно ли вообще отказаться от наличия идемпотелтов в теореме А, предположив при зтом, что кольца R и S являются Простыми ? в) Можно ли доказать теорему Л только при условии, что правый анпулятор каждого из идеалов Re^R. 1-1.2.3, равен нулю ?

В о п р о с 2. Пусть R - простое кольцо с инволюцией *: R * R (достаточно больаюп размерности над центром). Верно ли, что всякое дифференцирование d: H{R,«) -» R продолжается до дифференцирования в R?

Отметим , что большой интерес и сложность представляет также изучение аналогичных вопросов о том, насколько ассоциативная алгебра R с инволюцией *: R -* R определяется алгебрсп Ли кососимметрических элементов K(R,*)?

Целью работы является изучение возможности приближения порданова гомоморфизма симметрических элементов и лиева Гомоморфизма коссспмметрических элементов ассоциативными гомоморфизмами.

Методы исследования. В диссертации используются комбинаторные методы теории ассоциативных к неас-

5. Martindals W.S. Lie and Jordan mappings.// Cuntemp. Math., 1982. - V.13.- p. 173 - 178.

социативішх колец и, в частности, метод Е.Н.Зельманова. предложенный в работах [6-8], посвященных классификации первичных пордановых алгебр и тройных йордановых систем.

Научная новизна. Все результаты диссератцни являются новыми и заключаются в следующем:

1).Существенно расширен класс алгебр,для которых справедлива теорема Мартиндепла о продолжаемости гомоморфизма порданових подалгебр симметрических элементов ассоциативных алгебр с инволюцией до гомоморфизма ассоциативных алгебр.(Теорема 1.1.1)

2).Теорема Мартнндейла о продолжаемости йорданова дифференцирования симметрических элементов ассоциативной алгебры с инволюцией до дифференцирования всей алгебры расширена на класс простых алгебр без условия на ндемпотеиты. (Теорема 1.3.1)

3).Доказано .что тройной Йорданов гомоморфизм алгебр кососимметрнческнх элементов ассоциативных алгебр с инволюцией продолхается до ассоциативного гомоморфизма в случае простых алгебр (достаточно большой размерности над центром).(Теорема 2.1.1)

4).Для простой ассоциативной алгебры с инволюцией и нетривиальным идемпотзнтом найдена форма приближения лиева автоморфизма алгебры кососимметріїческіїх элементов автом. рфнзиом всей алге бри. (Те орема 3.1.1)

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее ре-

6. Зельмянов Е.И. О первичных йордановых алгебрах, II.//

Снб. матем. х.. 1983. - т.24, N 1. - С. 83 -104. ?. Зельманов Е.И. О первичных итс. II.// Снб. матем. ж.,

1984. - г. 25. N 5. - с.50 - 61. -

8. Зельчанов Е.И. О первичных птс III.// Сиб. матем. ж..

1985. - т. 26. К 1. - с. ?< - 82.

7 зультати и методы уже находят применение в научных исследованиях и могут быть использованы в подготовке монографии, учеб' пых пособия, а также при чтении алгебраических специальных курсов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI-м Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990г.). Vl-n школе по многообразиям алгебраических систем (Магнитогорск, 1990г.). Международной конференции по алгебре памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991г.), алгебраических семинарах Алтайского, Новосибирского, Московского государственных университетов (1985г.-1992г.). семинаре "Теория колец" ИМ СОАН (1985г.-1990г).

Публикации. По теме диссертации имеется 5 публикации, в том числе 2 - тезисы выступлении; 3 журнальных статьи.

О «J ъ е м работы. Диссертация изложена на 00 страницах, состоит ьз введения и трех глав. Библиография содержит 41 наименование.