Введение к работе
Актуальность темы. Леводистрибутивный закон в системе G() с бинарной операцией "о" явился предметом изучения в ряде работ, начиная с работы Бур-стина и Майера 1929 года.
Для квазигрупп с этим законом структурная теория была построена В.М.' Галкиным. [1] Выяснилось, что изучение леводистрибутивных квазигрупп сводится к изучению, так называемых, ф -групп. По определению, ф -группа - это группа Л с автоморфизмом ф таким, что выполняется требование:
х<р(х-') є sTs-' =>хєТ = (ує П\<р(у) = у) ()
Здесь sell, а Т - подгруппаф-неподвижных элементов. Данное условие названо ф -свойством.
Связь ф -групп и леводистрибутивных квазигрупп, следующая. Пусть G(o) = П/Т- множество левых смежных классов группы П по подгруппе Т. Положим х о у = Хф(х'у) mod Т на G.
Именно эта конструкция играет фундаментальную роль в теории леводистрибутивных квазигрупп. Необходимым для наличия квазигрупповой структуры на G(o)} а в случае конечной группы П и достаточным условием является требование ( * ).
Ослабление этого требования до Хф(х~')еТ=$ хеТ (**)
является одной из причин введения леводистрибутивного /.-группоида G() с аксиомами
-
Xo(yoz) = (Xoy)o(XoZ) ДЛЯ VX,J,Ze(?
-
аох = Ь однозначно разрешимо в G для \fa,b&G
-
X о а = а однозначно разрешимо в G для Vtf е G
Таким образом, аксиоматика L - группоидов отличается от аксиоматики леводистрибутивных квазигрупп лишь в одном пункте: в квазигруппе аксиома 3 за-
С.Пет*|»5у>г ґ , /> 09 280 а*т ІОЦ О
меняется более сильным требованием однозначной разрешимости уравнения хоа = в.
Изучение L-группоидов оправдано не только эстетическими соображениями ( отбрасывание s в (*)), но также и тем, что такие группоиды встречаются в качестве полных характеристик в топологии узлов [2].
Обе причины, как эстетическая, так и прикладная объясняют интерес, проявленный к изучению таких группоидов.
В процессе работы обнаружено одно важное различие в развитии теорий квазигрупп и группоидов. В квазигруппах имеет место свойство транзитивности: группа автоморфизмов AutG действует на Gf «^транзитивно. Именно это обстоятельство позволяет свести изучение леводистрибутивных квазигрупп к изучению ф -групп, где в качестве П можно взять одну из трех групп: AutG,
группу левых трансляций Z(G) = (L,[аєG), где Lm=(x-ax) или ее коммутант Z'(G). Обе последние группы также транзитивно действуют на G. В качестве <р можно рассмотреть сопряжение фиксированной трансляцией Lt.
Хотя автором и не найдено примеров нетранзитивного действия AutG на L-группоиде, тем не менее a priori предполагать AutG -транзитивность нельзя, а, значит, нельзя предполагать и наличие представления G() = П / Г, а потому приходится приложить больше усилий для получения некоторых аналогов свойств леводистрибутивных квазигрупп.
Цель работы. Перенесение результатов, полученных для леводистрибутивных квазигрупп, на группоиды. Изучение возможности представления. L-группоидов однородными пространствами, т.е. выяснение условий AutG и Z(G) -транзитивности.
Общая методика исследования. Основным инструментом в исследовании являются методы теории групп. Кроме того, привлекаются результаты теории леводистрибутивных квазигрупп. В транзитивном случае это связано с возможностью представления L-группоидов однородными пространствами, в
нетранзитивном случае связь между группоидами и группами более сложная, но тем не менее аппарат теории групп и здесь работает эффективно.
Научная новизна. Все результаты для L-группоидов являются новыми.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ожидается, что ее результаты будут использованы в теории узлов." Кроме того, они могут быть использованы при чтении специальных разделов по теории неассоциативных систем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:
расширенном заседании кафедры алгебры МГУ, посвященном памяти А. Г. Куроша (Москва, 1996);
ГУ международной алгебраической конференции, посвященной. 60-летию профессора Ю.И.Мерзлякова (Новосибирск, 2000);
конференции, посвященной 90-летию Л С.Понтрягина (Санкт-Петербург, 1998);
алгебраических семинарах ННГУ, НГТУ (Нижний Новгород, 1996-2002);
сессии молодых ученых (Сэров, 1999,2000).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Структура и объем работ. Диссертация изложена на 66 страницах, состоит из введения и шести глав Список литературы содержит 25 названий, в том числе и работы автора