Введение к работе
Актуальность темы. Одним из классических объектов исследования D теории моделей являются полные теории, которые в свою очередь подразделяются на стабильные и нестабильные. Класс стабильных теорий является более развитым по сравнению с классом нестабильных теорий. В научной Литературе по теории моделей можно найти множество монографий и учебников по стабильным теориям. Вместе с тем на протяжении длительного времени важным предметом изучения для специалистов по теории моделей являлся класс линейно упорядоченных структур, подкласс класса нестабильных теорий. За это время при исследовании моделей некоторых частных теорий, расширяющих теорию линейного порядка, были йЪлучены впечатляющие результаты. Среди тех теории, к которым были найдены успешные подходы к пзучешио, можно назвать арифметику Леано, теорию упорядоченных абелсоых групп", теорию вещественно замкнутых полей и саму теорию линейного порядка. Хотя очень мало сделано на пути развития общей теории моделей для упорядоченных структур. Поэтому вопросы, связанные с разработкой теоретико-модельных методов для нсследовряля нестабильных теорий, в частности, для исследования линейно упорядоченных структур, являются несомненно актуальными. , С другой стороны, вопросы, связанные с таким понятием как минимальность (сильная минимальность, о-мннпмальяоеть, слаба*: о-мипимальность, квази о-минпмальность и др.);привлекают большой интерес среди специалистов по теории моделей л здесь существует целый ряд открытых вопросов, решение которых даст новый толчок развитию теории моделей.
В данной работе мы развиваем теорию моделей для класса линейно упорядоченных структур, который изолируем требованием чтобы па.-раметрически определимые подмножества упорядоченной структуры в нашем классе имели особую простую форму, которую начнем теперь описывать.
Пусть L — язык первого порядка, который кроме всего прочего содержит символ бинарного отношения <, который интерпретируется как линейный порядок в рассматриваемых L-структурах. Вспомним, Что подмножество АС М, где М — L-структура, называется выпукл-ым, если для любых a,b Є А все элементы структуры, содержащие-.
і я в интервале (а, Ь), принадлежат А. Слабо о-минимальная структура есть линейно упорядоченная структура Л/ = (Л/, <,...) такая что ..юбое определимое (с параметрами) подмножество структуры является объединением конечного числа выпуклых множеств. Понятие слабой о-мшшмальности линейно упорядоченной структуры было введено -М.-Дикманном-и начально развито в совместноігработе~ДгМакферсо-~ на, Д. Маркера и Ч. Стейнхорна. Слабая о-міінішапьность является обобщением понятия о-миннмалыюсти. Вспомним, что такая структура М называется о-минималъной, если каждое определимое (с параметрами) подмножество структуры является объединением конечного числа интервалов с концевыми точками в М U{—с», сю}. Понятие о-минималъности было введено Л. ван ден Дриесом и начально развито» в серии совместных работ А. Пиллэя и Ч. Стейнхорна. Естественными примерами слабо о-миннмальных структур являются неархимедовы вещественно замкнутые поля с предикатом, выделяющим нетривиальное выпуклое кольцо нормирования; упорядоченные поля вещественных алгебраических чисел, обогащенные унарным предикатом, выделяющим множество (—а, а), где а произвольное вещественное трансцендентное Число; группы центростремительного сжатия и другие. В последнее десятилетие вопросы, связанные с этими понятиями, занимают центральное место в теории моделей.
Также в работе рассматриваются вопросы, касающиеся полноты теории элементарных пар сильно минимальных кпазиурбаниковых структур, относящихся к классу стабильных теорий. Вспомним, что структура М называется сильно минимальной, если для любой структуры JV, элементарно эквивалентной М, для каждого определимого (с параметрами) подмножества Y С N либо Y конечно, либо N \ Y конечно. Это понятие было введено Д. Балдушюм и А. Лахлвном. Заметим, что классификация сильно минимальных структур остается одной из главных проблем в теории классификации.
Квазиурбаниковы структуры ввел Б.И. Зпльбер. Структура М называется квазиурбаниковой, если для любого У С М алгебраичеокое замыкание множества Y совпадает с его определимым замыканием в М. Б.й. Злльбером получена классификация сильно минимальных квази-урбаниковых структур в терминах рациональной эквивалентности. Заметим, что слабо о-мпнпмальные структуры являются квазиурба-
Понятие теории элемеятариых пар и связанные с іти вопросы впервые появились п статье французского математика Б. Пуазы. Он стал изучать модели общего вида, в которых выделяются элементарные подмодели. В дальнейшем эти вопросы разрабатывались: для сильно миии- мальных теорий — Ю. Хрушовским, А.Т. Нуртазпным, для стабильных теорий — Б. Йуаза, Э. Бускарен, Б.С. Байжановым, для о-ми-япмальяых теорий — А. Пиллэем, Л. ван ден Лриесом. Цель работы. Описать все слабо о-мишшалыше линейные порядки. Найти критерий слабой о-минимальностн линейно упорядоченной структуры в терминах 1-тнпов и сечений. Исследовать свойства счетно категоричных слабо о-мишшальных теории. Исследовать вопросы существования простых моделей в слабо о-мшшмальных теориях. Кайти критерий полноты теории элементарных пар для сильно минимальных квазиурбаннковых структур.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть несомненно полезны при дальнейших исследованиях как минимальных, так п других структур. Некоторые результаты (в частности, критерий слабой о-мішпмальности линейно упорядоченной структуры) могут быть включены в программу спецкурсов по теории моделей.
Методы исследования. В работе использовались общие "Методы исследования классической теории моделей и теории стабильности. Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:
III Казахско-Французский коллоквиум по теории моделей, 'Алматы,
1994г.
Школа-семинар по математике и механике, посвященный 60-летию члепа-корреспондента НАН РК Кулжабая Абдыхалыковича Касымо-ва, Алматы, 1995г.
I сьезд математиков Казахстана, Шымкент, 1996г.
IV Франко-Туранскин коллоквиум по теории моделей, Марсель (Фран
ция), 1997г.
II Международная летняя школа "Пограничные вопросы универсаль»
ной алгебры и теории моделей", Эрлагол (Россия), 1997г.
Также результаты диссертации докладывались в Алматы на город-
(і '>м семинаре по алгебре и математической потоке под руководством д. Іі.-м.н., профессора Добрппы В.П.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в во'і.лііі работах, список которых приводится в конці- автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура работы. Работа состоит иэ введення, трех глав н библиографии, содержащей 32 наименования. Обьем диссертации: 85 машинописных страниц.