Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сравнения, суммы и произведения по приведенной системе вычетов 15
1. Неоднородное сравнение по приведенной системе вычетов 15
2. Однородные сравнения по приведенным системам вычетов 18
3. Суммы по приведенным системам вычетов 21
4. Две леммы о произведении синусов 28
5. Произведения по приведенной системе вычетов 30
6. Оценка минимума S^fcti,..., as) по си,..., as 33
7. Рекуррентная оценка минимума SN(O-)через SN(UI, ., as) 39
8. Асимптотическая формула для o"{N) 42
Глава 2. Квадратичное отклонение плоских сеток Хэммерсли 45
1. Степенные суммы с функцией ван дер Корпута — Хэммсрсли 45
2. Квадратичное отклонение 60
3. Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота . 72
Глава 3. Двумерные сетки Воронина 78
1. Полная система вычетов по модулю целого гауссова числа 78
2. Обобщенная параллелепипедальная сетка целого гауссова числа 83
3. Быстрый алгоритм вычисления функции H2(M(A(q))) 86
4. Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных параллелепипедальных сеток 89
Литература 97
Указатель обозначений 104
- Однородные сравнения по приведенным системам вычетов
- Произведения по приведенной системе вычетов
- Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота
- Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных параллелепипедальных сеток
Введение к работе
Диссертация выполнена на кафедре теории чисел Московского педагогического государственного университета и затрагивает ряд вопросов диофантовых приближений и их приложения к проблемам численного интегрирования.
Актуальность темы. В 1957 году вышла первая работа [37] Н. М. Коробова, с которой начинается отсчёт в становлении теоретико-числового метода в приближенном анализе. Краткая история возникновения этого метода содержится в [49]. Теоретические предпосылки теоретико-числового метода восходят ещё к работе [73] Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, в которой содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1.
Цель первой главы — реализация метода усреднения Н. М. Коробова для доказательства существования оптимальных коэффициентов для любого составного модуля N.
В 1991 году профессорами Н. М. Коробовым и В. И. Нечаевым на семинаре в МГУ при обсуждении кандидатской диссертации В. С. Вапь-ковой [9] была поставлена задача о вычислении квадратичного отклонения плоской сетки Хэммерсли. В работах В. С. ВаньковоЙ, в частности, исследовалось среднее арифметическое квадратичных отклонений модифицированных сеток Хэммерсли — Рота и были получены оценки сверху для этого среднего. Задача Коробова — Нечаева подразумевала и получение асимптотической формулы среднего для плоских сеток.
Цель второй главы — получение быстрых алгоритмов вычисления значений величин важных характеристик качества полных сеток Хэммерсли: Н.2(Х(Р)] и D2(X(P)) за O(lnP) арифметических операций, ана-
Введение
логичных алгоритмам из работы [28] для вычисления Н2(М(а, N)), a также решение задачи Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота.
В конце 80-х и в первой половине 90-х годов С. М. Воронин выполнил серию работ по применению теории дивизоров к вопросам построения оптимальных квадратурных формул. В частности, в двумерном случае было показано, что теория целых гауссовых чисел может быть успешно применена к построению плоских параллелепипедальных сеток.
Цель третьей главы — построение быстрых алгоритмов вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина и решение задачи Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток, что позволит сравнивать полученные результаты для двух разных типов сеток.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
найдена асимптотическая формула для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальным сеткам для любого модуля N;
построены быстрые алгоритмы вычисления величин количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли Н2(Х(Р)) и Dz{X(P)] за 0(1пР) арифметических операций;
решена задача Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота;
построены быстрые алгоритмы вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина;
решена задача Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток.
Введение
Методы исследования. В работе используются методы теории цепных дробей, теории конечных разностей, теории сравнений, теории целых гауссовых чисел и геометрии чисел.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по цепным дробям и по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа, а также в теории плоских решеток и сеток.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах:
научно-исследовательский семинар "Теория аппроксимации" под руководством профессора В. И. Иванова в Тульском государственном университете;
научно-исследовательский семинар "Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений" под руководством профессора В. Н. Чуба-рикова в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова;
научно-исследовательский семинар "Теоретико-числовые методы приближенного анализа" под руководством профессора Н. М. Добровольского в Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого;
научно-исследовательский семинар "Аналитическая теория чисел" под руководством профессора Д. А. Митькина в Московском педагогическом государственном университете;
Всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" в Тульском государственном университете. Тула, 2002.
Введение
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [74], [75], [76], [77] и [78].
Структура и объем работы. Диссертация изложена па 104 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 78 наименований.
Содержание работы. Первая глава посвящена сравнениям, суммам и произведениям по приведенной системе вычетов, решению вопроса о получении асимптотической формулы для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальпым сеткам для любого составного модуля N.
В 1959 году Н.М.Коробов в работе "Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов" ввел сетки вида
M(a,N) = ^=((.^ fa*k'
k=1,2 N
N J ' ' I N J
где a — (ai,...,as), cn,...,as - целые числа, взаимно простые с N. Такие сетки он назвал параллелепипедалъными.
Пусть целое N > 1, Nt = ру^-J , N2 = [Щ , ец, = ay[N) — целые, взаимно простые с N ("v = 1,..., s) и 6м(Ъ) — символ Коробова, заданный равенствами
ГО, еслиЪ ^O(modN) 5м(Ъ) = <^
^ 1, еслиЬ = OCmodN).
Основной мерой качества набора z = (zj,... ,zs), где zi, ..., zs -
произвольные целые, называют сумму
Z/
М^ТГИ +... +zsms)
m їм mi ... ms
ті,...,тпц=—N1
Согласно определению, если существуют константы (3 = |3(s) и B=B(s) такие, что для некоторой бесконечной последовательности
1 Здесь JT означает суммирование по системам (ттц, іfns] ^ (О 0).
Введение
значений N выполняется неравенство
5^(01,...,05) < В-
N '
то целые щ,..., а5 называются оптилшлънъши коэффициентами индекса (3 по модулю N, а соответствующие им сетки М(а,N) — оптимальными шраллелепипедалъными сетками.
Для среднего арифметического cr(N) — основной меры качества набора коэффициентов по вселі параллелепипедалъпым сеткам, заданного равенством
1 N-I
ff(N)=^TN) ^ SN(a1(...,as),
Oj,..,,OS-1
|av,N)-l (v = 1 s)
нами была получена асимптотическая формула для любого составного модуля N.
Следствие 7 (с. 44). Справедливо асимптотическое равенство
crfNl = h О
Во второй главе рассматриваются степенные суммы с периодизиро-ванной функцией вап дер Корпута — Хэммерсли
* = ?%($'**
где а ^ 0, (3 ^ 0 и 0 < k < h.
При фиксированном натуральном р > 1, натуральном К ^ 1, Р = ph периодизированная по модулю Р функция ван дер Корпута — Хэммерсли x(m) = Х(к)(т) задаётся равенствами
Введение
Н-1
У TOv р v ] при та Є А(Р), та = ^1 TOvpv, rov Є А(р),
^ x(P{f}) при та А(Р),
где для произвольного натурального Т множество А(Т) = {0, ..., Т — 1}.
О качестве произвольной полной двумерной сетки Хэммерсли
}
к = 0,1,...,Р-1
Х(Р)Ч ( р.х(Тс)
в сравнении с произвольными плоскими параллелепипедальными сетками M(a,N) можно судить по величине функции
Н2(Х(Р))=Л Wl-2jf) (1-2x(k))2,
для вычисления которой по определению требуется О(Р) арифметических операций.
Нами были построены быстрые алгоритмы вычисления величин количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли гії(Х{Р)) за 0(1пР) арифметических операций.
Теорема 13 (с. 59). Справедливо равенство
,21с+2
,3k+J
4k"
Другой важной характеристикой произвольной двумерной сетки Хэммерсли является квадратичное отклонение, которое задается формулой
і і
о о
D2(X(P}) =
р-1 , к,1=0 ч
р-1
Цх р.хОО ,(«,Р) )-Р-а.р
к Г
к=0
1 -maxf -,-) 1 (1 -max(x(k),x(l)))
Г (і-(2) О -*ч) +
deedp =
Введение
где x(^,t) = x(xi>ti) x(x2,t2) — характеристическая функция прямоугольника [0;ti) x [0;t2), a
Х(М) = <
1 при 0 = x < t, 0 при x . [0;t)
— характеристическая функция промежутка [0;t).
Непосредственное вычисление по определению требует 0(Р ) арифметических операций.
Для D2 (X (рк)) построены быстрые алгоритмы вычисления величин количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли за O(lnP) арифметических операций, доказана следующая теорема.
Теорема 16 (с. 71). Справедливо равенство
г» (v ( у\\ kV-])2 . k(p2-1)(3p2 + 60p + 13)t
^(X(v))= И4р2 + ^ +
3 к(р2-1)-бр 1
8 24р^ 72р2к'
Для плоских модифицированных сеток Хэммерсли—Рота
x(P(t) = |Q,x[k + t)
Jc = 0,1,...,p-1 Mt = 0,1,...,Р-1)
справедлива
Теорема 17 (с. 77). Для среднего арифметического квадратичных отклонений модифицированных сеток Хэммерсли — Рота справедливо равенство
„ fYfpn (р2-П(р2 + 6)ъ зі 1
<г2 (Х(Р)) = т^гз "- + о + 7К "
180р2 J4P 72Р2*
В третьей главе рассматриваются двумерные сетки Воронина, построенные с помощью целых гауссовых чисел.
По определению, целочисленной решеткой A[q) для целого гауссова числа q = qi + Ц2Ї с нормой N(q) = q2 + q2 называется
(х,у) = (nqi -mq2,nq2 + mqi))1
(n,m) Z2
A(q]= (х,у)Є^
Введение
7 г
и имеет базис Лі = (qi, q2), А 2 = (—П2( Чі)-Взаимиал решетка A*(q) задается формулой
fv ,,4 — /nqi-mt|2 пд2+тдЛ №yj-^ N(q) > N(q) J
A*(q}= (x,v)GZ2
и имеет взаимный базис
^=(^.^).^1-(^ Ч1
Обобщенной параллелепипедальной сеткой М(Л) целочисленной решетки Л С Ms называется множество
М(Л)=Л*ПС5, rfleGs-[0;1)s.
Плоскую обобщенную параллелепипедальную сетку /\4(A(q)) для произвольного ненулевого целого гауссова числа q называют двумерной сеткой Воронина.
Обозначим: Ро,...,Рп — числители , a Qi,..., Qn — знаменатели подходящих дробей к цепной дроби
Ч! =to + .
ti +
t2 +—
+ г
Нами в работе были получены следующие явные формулы для описания сеток Воронина.
Теорема 18 (с. 84). Для любого целого гауссова числа q = qj -fq^ = dq', q' = qj + qi, [q^, qj) = l,qi ф 0, q2 ф 0 двумерная сетка Воронина имеет представление
0^Pi 1 44JJ HdN(q')'1 dN(q') d Введение X = (-1)-lQu_bY=(~1)-1pn^. Теорема 19 (с. 85). Для любого целого гауссова числа q — Qi +42^= dq', q' = qj + q^i-, Qi Ф 0, q2 ф 0 двумерная сетка Воронина имеет представление в виде произведения 2 сжатой параллелепипедальной сетки и равномерной сетки м(Л|ч]) = «±в.мм, X = (-1)n-1Qn~i,Y = (-1)^^^. О качестве обобщенной параллелепипедальной сетки М.(Л) целочисленной решётки Л можно судить по величине Н2тА)) = \ЩА)\ Z- П(,-2х>'2- которая является приближенным значением интеграла от гладкой периодической функции h[x)dx = 1, h(x) =3S(1 -2ШУ...0 -2{xs})1 е Ef, разложение которой в ряд Фурье в комплексной форме можно записать в виде оо 2тті(тп. х) 3s(l-2{x,}}2...(1-2{xs})2 = У —1 —^, т=—оо 1, при т = О, ^-т , при т ^ О, 3(1 -2{x})2dx = 1 Определение произведения сеток — на странице 103. Введение Из этих формул следует, что н2(м(л)) - _ f—-ф mi ...ф(т5 и вычисление величины Н2(М(Л)), согласно определению, требует 0(|М.(Л)|) арифметических операций. Получены явные формулы для плоских сеток Воронина и вычисление H2(?Vl[A(q))) сведено к вычислению H2(M(a,N)) с подходящими значениями а и N, откуда получены быстрые алгоритмы вычисления величины H2(M[A(q))) за 0(ln|M{A(q))[) арифметических операций. Теорема 20 (с. 87). Справедливо равенство H2(M(A(q))) = Н2 ^№X + q{YtNW) . M(d)J я 2(d2~1) H2(M(g2X + qjY,N(q')])-1 Теорема 21 (с. 87). При (djNtq7)) = 1 справедливо равенство H2( Кроме того, в и.3.4 рассматривается среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных параллелепипедалъных сеток Определив среднее арифметическое k = 0,1,...,N-l 1 N"' cr2(M(a,N)) = ^^D2{M(a,ttN)), доказали следующую теорему. Введение Теорема 22 (с. 92). При 1 ^ а < N, (а,N) = 1 \ А=1 + ^ 2^q^(QJHI + Qa-2Ta+i + Qa-2Ta_i) - 10^ Qa-iTa+1 J J . Теорема 23 (с. 92). Справедливо равенство „ ,м,п м„ 23 , 1 1 , N2(H2(M(g,N))-1) Из теорем 22 и 23 непосредственно вытекает Теорема 24 (с. 96). Справедливо равенство + 90N ( ^ 4a(QaTx+i + Qa-2Ta+1 + Qa-2Ta_i) -5^ Qa-iTa+i J . Полученные быстрые алгоритмы вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина и решение задачи Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток позволяют сравнивать их для разных типов сеток. Следущая лемма позволяет дать простое описание для общего случая qi#0,q2#0. nycrbd = (qbq2)Hqi = dq{, q2 = dq2, тогда (q{, q2) = 1. Рассмотрим разложение простой дроби ± в цепную дробь Через Ро,..., Ртъ обозначим числители подходящих дробей, а через Qn — знаменатели. Как известно, выполняется равенство PkQk_i - Pk_,Qk = (-1)k"\ поэтому при выполняется равенство q{X-q2Y = 1. (3.13) Лемма 39. (qiX + q(Y,N(q )) = 1. Доказательство. Так как (q qj) — h т0 (N{q ),qj) — 1. Пусть (q X + qjY, N(q }) = t, тогда найдутся целые и и v такие, что N(q ) =Ыи Отсюда следует, что q{ = t(uX — vq2] и (t,qj)=t, но (tu,q{) = 1, поэтому t = 1, и лемма полностью доказана. образуют полную систему вычетов по модулю q = qi — iq2. Доказательство. Из равенств (3.13) и (3.14) следует, что Пользуясь этими равенствами, получим Из неравенств {3.2) и равенств (3.18) и (3.19) следует, что 21) и тем самым утверждение леммы доказано. Лемма 41. Число классов вычетов по модулю q = q — iq2 равно N(q) = )q2 = qf + q . Доказательство. Из леммы 40 вытекает, что pi принимает ровно (q 2 + q22) d различных значений, и для каждого значения pi величина р2 принимает ровно d различных значений, поэтому число классов вычетов по модулю q равно (qf + q-2) d2 = N(q), что и требовалось доказать. 2. Обобщенная параллелепипедальная сетка целого гауссова числа Как было отмечено во введении, взаимная решётка А {с[) соответствует дробному идеалу ( } квадратичного поля Q[i). Действительно, дробный идеал (=] по-другому можно записать в виде ( = ) = (їчтту)-Так как при соответствии х = х-\ + Х2І -) х = (хі ,Х2І скалярное произведение (х,у) = у } то из определения взаимной решётки следует, что A (q) А, где множество А задается формулой Если комплексное число х представить в виде х = =, то, так как у є (q) имеет вид у = nq, п Є Z[i), из соотношений ху + ху п Ч "Ь q ПЧ cm + an є Z, n є Z(i) 2 2 2 следует a (i) в силу произвольности п. Но это означает, что А = (О Введем следующие обозначения: V(x) — (xi,X2) ДЛЯ Любого КОМПЛСКСНОГО ЧИСЛа X — X] +Х2І; {х} = ({xi},{x2}) — дробная часть х; г mod q — полная система вычетов по модулю q. Лемма 42. Справедливо равенство м(л(ч)ЧКш)} г пробегает полную систему \ вычетов по модулю q J Доказательство. Используя новые обозначения, для любого ненулевого целого гауссова числа q взаимную решётку A (q) можно представить в виде. В конце 80-х и в первой половине 90-х годов С. М. Воронин выполнил серию работ по применению теории дивизоров к вопросам построения оптимальных квадратурных формул. В частности, в двумерном случае было показано, что теория целых гауссовых чисел может быть успешно применена к построению плоских параллелепипедальных сеток. Цель третьей главы — построение быстрых алгоритмов вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина и решение задачи Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток, что позволит сравнивать полученные результаты для двух разных типов сеток. Научная новизна. Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие: — найдена асимптотическая формула для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальным сеткам для любого модуля N; — построены быстрые алгоритмы вычисления величин количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли Н2(Х(Р)) и Dz{X(P)] за 0(1пР) арифметических операций; — решена задача Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота; — построены быстрые алгоритмы вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина; — решена задача Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток. Методы исследования. В работе используются методы теории цепных дробей, теории конечных разностей, теории сравнений, теории целых гауссовых чисел и геометрии чисел. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по цепным дробям и по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа, а также в теории плоских решеток и сеток. Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах: — научно-исследовательский семинар "Теория аппроксимации" под руководством профессора В. И. Иванова в Тульском государственном университете; — научно-исследовательский семинар "Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений" под руководством профессора В. Н. Чуба-рикова в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова; — научно-исследовательский семинар "Теоретико-числовые методы приближенного анализа" под руководством профессора Н. М. Добровольского в Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого; — научно-исследовательский семинар "Аналитическая теория чисел" под руководством профессора Д. А. Митькина в Московском педагогическом государственном университете; — Всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" в Тульском государственном университете. Тула, 2002. Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [74], [75], [76], [77] и [78]. Структура и объем работы. Диссертация изложена па 104 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 78 наименований. Содержание работы. Первая глава посвящена сравнениям, суммам и произведениям по приведенной системе вычетов, решению вопроса о получении асимптотической формулы для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальпым сеткам для любого составного модуля N. В 1959 году Н.М.Коробов в работе "Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов" ввел сетки вида M(a,N) = =((. fa k k=1,2 N N J I N J где a — (ai,...,as), cn,...,as - целые числа, взаимно простые с N. Такие сетки он назвал параллелепипедалъными. Пусть целое N 1, Nt = ру -J , N2 = [Щ , ец, = ay[N) — целые, взаимно простые с N ("v = 1,..., s) и 6м(Ъ) — символ Коробова, заданный равенствами ГО, еслиЪ O(modN) 5м(Ъ) = 1, еслиЬ = OCmodN). Основной мерой качества набора z = (zj,... ,zs), где zi, ..., zs 1 произвольные целые, называют сумму Согласно определению, если существуют константы (3 = 3(s) и B=B(s) такие, что для некоторой бесконечной последовательности 1 Здесь JT означает суммирование по системам (О 0). значений N выполняется неравенство то целые щ,..., а5 называются оптилшлънъши коэффициентами индекса (3 по модулю N, а соответствующие им сетки М(а,N) — оптимальными шраллелепипедалъными сетками. Для среднего арифметического cr(N) — основной меры качества набора коэффициентов по вселі параллелепипедалъпым сеткам, заданного равенством В конце 80-х и в первой половине 90-х годов С. М. Воронин выполнил серию работ по применению теории дивизоров к вопросам построения оптимальных квадратурных формул. В частности, в двумерном случае было показано, что теория целых гауссовых чисел может быть успешно применена к построению плоских параллелепипедальных сеток. Цель третьей главы — построение быстрых алгоритмов вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина и решение задачи Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток, что позволит сравнивать полученные результаты для двух разных типов сеток. Научная новизна. Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие: — найдена асимптотическая формула для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальным сеткам для любого модуля N; — построены быстрые алгоритмы вычисления величин количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли Н2(Х(Р)) и Dz{X(P)] за 0(1пР) арифметических операций; — решена задача Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота; — построены быстрые алгоритмы вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина; — решена задача Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток. Методы исследования. В работе используются методы теории цепных дробей, теории конечных разностей, теории сравнений, теории целых гауссовых чисел и геометрии чисел. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по цепным дробям и по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа, а также в теории плоских решеток и сеток. Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах: — научно-исследовательский семинар "Теория аппроксимации" под руководством профессора В. И. Иванова в Тульском государственном университете; — научно-исследовательский семинар "Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений" под руководством профессора В. Н. Чуба-рикова в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова; — научно-исследовательский семинар "Теоретико-числовые методы приближенного анализа" под руководством профессора Н. М. Добровольского в Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого; — научно-исследовательский семинар "Аналитическая теория чисел" под руководством профессора Д. А. Митькина в Московском педагогическом государственном университете; — Всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" в Тульском государственном университете. Тула, 2002. Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [74], [75], [76], [77] и [78]. Структура и объем работы. Диссертация изложена па 104 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 78 наименований. Содержание работы. Первая глава посвящена сравнениям, суммам и произведениям по приведенной системе вычетов, решению вопроса о получении асимптотической формулы для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальпым сеткам для любого составного модуля N. В 1959 году Н.М.Коробов в работе "Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов" ввел сетки вида где a — (ai,...,as), cn,...,as - целые числа, взаимно простые с N. Такие сетки он назвал параллелепипедалъными. Пусть целое N 1, Nt = ру -J , N2 = [Щ , ец, = ay[N) — целые, взаимно простые с N ("v = 1,..., s) и 6м(Ъ) — символ Коробова, заданный равенствами ГО, еслиЪ O(modN) 5м(Ъ) = 1, еслиЬ = OCmodN). Основной мерой качества набора z = (zj,... ,zs), где zi, ..., zs произвольные целые, называют сумму Согласно определению, если существуют константы (3 = 3(s) и B=B(s) такие, что для некоторой бесконечной последовательности то целые щ,..., а5 называются оптилшлънъши коэффициентами индекса (3 по модулю N, а соответствующие им сетки М(а,N) — оптимальными шраллелепипедалъными сетками. Полной системы вычетов по модулю q = qi —iq2- В первом случае имеем О = i t Т2 qi! во втором —- 0 Г] , Tz С\2 Следущая лемма позволяет дать простое описание для общего случая qi#0,q2#0. nycrbd = (qbq2)Hqi = dq{, q2 = dq2, тогда (q{, q2) = 1. Рассмотрим разложение простой дроби ± в цепную дробь Через Ро,..., Ртъ обозначим числители подходящих дробей, а через Qch і Qn — знаменатели. Как известно, выполняется равенство PkQk_i - Pk_,Qk = (-1)k"\ поэтому при выполняется равенство Доказательство. Так как (q qj) — h т0 (N{q ),qj) — 1. Пусть (q X + qjY, N(q }) = t, тогда найдутся целые и и v такие, что N(q ) =Ыи Отсюда следует, что q{ = t(uX — vq2] и (t,qj)=t, но (tu,q{) = 1, поэтому t = 1, и лемма полностью доказана. Лемма 40. Мноокество всех целых гауссовых чисел г = Г\ + ivj образуют полную систему вычетов по модулю q = qi — iq2. Доказательство. Из равенств (3.13) и (3.14) следует, что pi =riq 1-q2r2) р2--гіУ + Хт2. Пользуясь этими равенствами, получим Из неравенств {3.2) и равенств (3.18) и (3.19) следует, что и тем самым утверждение леммы доказано. Лемма 41. Число классов вычетов по модулю q = q — iq2 равно N(q) = )q2 = qf + q . Доказательство. Из леммы 40 вытекает, что pi принимает ровно (q 2 + q22) d различных значений, и для каждого значения pi величина р2 принимает ровно d различных значений, поэтому число классов вычетов по модулю q равно (qf + q-2) d2 = N(q), что и требовалось доказать. Глава 3. Двумерные сетки Воронина 2. Обобщенная параллелепипедальная сетка целого гауссова числа Как было отмечено во введении, взаимная решётка А {с[) соответствует дробному идеалу ( } квадратичного поля Q[i). Действительно, дробный идеал (=] по-другому можно записать в виде ( = ) = (їчтту)-Так как при соответствии х = х-\ + Х2І -) х = (хі ,Х2І скалярное произведение (х,у) = у } то из определения взаимной решётки следует, что A (q) А, где множество А задается формулой ху + ху А= хС eS,ye(q) Если комплексное число х представить в виде х = =, то, так как у є (q) имеет вид у = nq, п Є Z[i), из соотношений ху + ху п Ч "Ь q ПЧ cm + an є Z, n є Z(i) 2 2 2 следует a (i) в силу произвольности п. Но это означает, что А = (О Введем следующие обозначения: V(x) — (xi,X2) ДЛЯ Любого КОМПЛСКСНОГО ЧИСЛа X — X] +Х2І; {х} = ({xi},{x2}) — дробная часть х; г mod q — полная система вычетов по модулю q. Лемма 42. Справедливо равенство м(л(ч)ЧКш)} г пробегает полную систему \ вычетов по модулю q J Доказательство. Используя новые обозначения, для любого ненулевого целого гауссова числа q взаимную решётку A (q) можно представить в виде,, , Т ,, , > 1,
" N(q)2 + d2M^X + dq'Y-N(q,)).M(d)) = H2(M№X + qiY,N(q-)).M(d)).Однородные сравнения по приведенным системам вычетов
Произведения по приведенной системе вычетов
Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота
Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных параллелепипедальных сеток