Кручение и группы Брауэра локальных эллиптических кривых Марголин, Геннадий Лазаревич

Введение к работе

Актуальность томи. Спаоь алгебраической геометрии п теории хокечшшерггых центральных алгебр, в частности, теория алгебр над пошшл рациопальпых фушщий. па многообразиях, тлеет даппсе происхождение. Она восходит еще к Вятту , который сопоставил просты» алгебрам апгеброгеомотркчессие объекты, устапопил бпектшшос соответствие между полями функций рода нуль п кватершюиш.п.*п алгебрами И показал, что хватерптаїпіая алгебра тогда 51 только тогда, будет пол пой матричной, когда соответствующее ей ноле функции будет рациональным. Эта идея била раокпта Шатле, Амнпуром и Рок«тто;л. В частности, Шатле сопоставил каждой центральной простой алгебре нсю'юрое проективное мкогообраолс, называемое теперь многообра-оием Браупра-Сенери, которое яиллстся нроекглепым пространством лиііп. « том случае, когда соотг.отстьующак ему алгебра огасыиастсл полной матричной. Амицур з^иел понятие облиго пол л раздохоншг іі показал, что ото л точности ноля рациональных функций на мпогооора-оип Брауора-Ссвери. Еаде одни пример тесной енлии центральных простых алгебр я алгебраических многообразий доставляют группы }>ра-уора 11г(К(Х)) полой рацонашли.іх функций К{Х) ьшогообраоий X, определенных лад полем К, Очель вахльш яаллется, и частности, слу-чай глобального ноля К. Строение гру л пы Прауора Вг(К) -тажет был. ошкапо с помощью глобальтмй теория полей классоп. При переходе же к полям К(Х) ситуацияоаметпо усложняется. Несмотря па ряд валшых реоультатоп о группах 27г(А'(Х)), полученных и результате раопитмя многомерной теории полей классов и появление фундаментальной тео-' ремы Мсркурьсва-Сусшша, утверждающей, что яри наличия » основном поле примитивных корней по единицы подходящей степепн, всякий олемент газ группы Брауора есть сумма олемсптоп, аоопнхаюнптх по гпташпескнх алгебр, до cirx пор отсутствует оавершетюе онлсашиз таких групп. Традиция локально-глобального принципа предписывает при поучении гпобалыгых объектов ігредиаритсиьно поучить их локальные аналоги. D пашем случае необходимо описать группы Br(K_v(X_v)) полей /С-рациоиальпых функций многообразий A'» = А' Хя K_v, где K_v -пополнение поля К относительно нетривиального абсолютного опаче-нид v. К сожалению, о строении групп Br(k(X)), где /; - конечное

расширение поия Qj» X - шіогообраонс, определенное над ft, конеетно довопьно мало даже в случае кривых X. З частности, гоьсстио, что в случае комплексного архішедоаого v группа Br(IU{X_v)) в силу теоремы 'Ibena тривиальна, а в случае вещественного v она была подробно иоучсіїа і» работах Ф.Демейера и М.Кцуса, М.Киебуї.ча и др.. Та.чим обраоом, основной интерес представляет иоучепис групп lir(K_v(X„)) для нсархммедов1.« г*. Иояестаа, например, так азоываеыая точная последовательность иохализацпн, имеющая следующий вид.

где к - локальное иоле нувевой характеристики, /;, - его алгебраическое оамыкадне, G — Gal(k,\k) - его группа Галуа и X ~ гладкая геометрически пепрльодимая проективная кривая над к, обладающая к-раггаоналъиад точкой. Эта последовательность инервые была построена Фаддееэым. Кошгоохааш гомоморфизма а с проекцией Ц'\'(СУ„) — д(<7„) сопоставляет кшдэму ояемспту по Вт{к{Х)) характер группы G„, иаоываемый лосальаиы инвариантом отого олсмеата относительно v. Гомоморфном /? "суммирует* набори характеров. Поскольку обрао гомоморфизма а иовестсп, важное оначеіше для описания группы Вг(ї;(Х)) приобретает изучение его ядра, которое гложет быть ото-ждествшшо в отом случае с группой Брауора Вт X хрнвой А'. С другой стороны, имеет место ктшутатшша.*: диаграмма

О —» БтХ -U Вг(ЦХ)) -U \ЬВт{к{Х)_и)

.:&G») & UvX(G_v),

в которой а — фф, где гоиоиррфюэм ф ставит е соответствие хлассу центральных простых алгебр \А] пад полем к{Х) пабор классоа соответствующих расширенлй скалярой ([А цх) &C^)i/]) по всем простым дывЕоорам коля к{Х), а гомоморфном ф имеет следующий вкд. По ре-оультату Фаддеева любой елемент [А„] $га Вг(к(Х)„) молсет быть пред-ставлеп в виде ароаоведеїшя нлассоа некоторой пераоветнлгкпой алгебры над к{Х)„ и циклической алгебры, причем по последней легко строится характер ио ;((G„). Набор всех такпх характероа и ость элемент ^(ІІ*Иі<]) В силу того, что класс аліебр [А] но В,(к(Х)) ысрааветилея

по определешяо тогда и только тогда, когда все лохальпые инварианты mt/„[.A] трпвиалыгы, группа Вг X ыожот быть отождествлена со свопм обраоом при вложении і, т.е. с подгруппой Вг_пт(к(Х)) всех жлассов пе-раоветвлеппых пад к(Х) конечномерных центральных простых алгебр. Группы ВгХ пграют важную роль в алгебраической геометрии, поскольку являются бирационалышми инвариантами соответствующих шіогообраоїш X. Важность их иоучеиля объясняется также раолпчіга-ші приложениями, свлоатп.іші с другими проблемами алгебраической геометрии (проблема рациональности, преяятстлие Брауора-Манииа к вютолпнмостп принципов Хаосе и др.). Постольку группа Вг X. является пеоподпчесхой абеяевей группой, валиюе оначсшіе приобретает описание ее подгрупп кручения, среди которых одной по самых лажных является подгруппа iBrX. Действительно, подгрупна iBrX, являясь "перазветвпеппэй" частью группы yOr(k(X))_t тесно свяоапа с теорией квадратичных форм п силу реоу;хьтата Меркурьева:

Яг(к(Х))% 1\к{Х))/1³{к(Х)),

где 1(к(Х)) - фундамспталышй идеал кольца Витта поля к(Х).

В случае неособьгх коняк С над к BrC S Вг(к), когда коника С обладает Л-ращюпалыюй точкой, в протиазэм случая Вг С является гошшорфпъш обраоом группы Вг(к) с яро ом порядка 2. Такт* обраоом, для кривых X рода 0 имеется вполне удовлетворительное описание группы ВгХ. По уже » случае кривых X рода 1 о группах ВгХ яовестпо очень мало. Тем более отсутствует полпое описание таких групп. (Под "полным" описанием одесь понимается представление каждого олемспта группы Вг X соответствующей центральной простой алгеброй с делением пад к(Х), другими словами, описание всех нерао-Еетвлеппых алгебр пад втіш полем.)

Цель роботы. Целью диссертационной работы является получение представления группы гВтХ центрпльаымп простыми алгебрами, »t также ош.сапие абстрактной стружтуры подгруппы „йг X т-крученше группы Вт X, гдо т. - число, noainreo простое с характеристикой поля вычетов подл й ь случае, когда X - кигаптнчегааа кривая, спродслеппая пад /:.

Нпучтапя повніша.

1. Получен цотшяешкокшппшадьгокуравпепгяй Вейергатрассадлд

оллинтнческих кривих, опрсделешшх над локальным недладнче-схим нолем нулевой хархіерпстикп.

1. Дало онпсаике абстрактной структуры подгруппы »п-хручсгоія группы Брауора гладкой геометрически неприводимой проектшіцой кривой, определенной над лохальпым полем к нулевой характеристики и обладающей ^-рациональной точкой, в термплах подгруппы к-ратрюнаньных точек якобиана отой хрнвой.

2. Онйсана абстрахтиая сті>уїтура р-щнімаргтого кручення грунпы &-рацнпальцых точек оллиптической хрнпой, определи, лой над локальным волен к нулевой характеристики в случае, когда j> ф char к.

3. ПолученоupqiCTaeneniic подгрушш2-кручешшгруїшьі Брауора. од-яігптцчесхой кривой, определешюй над локальным неднаднческнм полем к ігулєшй характеристики, кватернкопньши алгебрами пад нолем ^-рациональных фуихцмй отой хрнвой.

Апробация и опубликованиестъ работы. Результаты диссертации догладывались ла алгебраическом ссшшаре Иіїстнтута чистой и прикладной математики Лувенского университета (Лувен-аи-Неп, 1933 г.), на алгебраическом семинаре математического факультета Бслсфельд-схого университета (сецт&брь 120-1 г.), на конференции "Теория Галуа локальных и глобальных полей" Эйлеровского международного ыате-магнчесхого института (С.-Петербург, 9-16 октября 1994 г.), на ма-тегдатлч-зсЕон конференции, посвященной 209-летию со дпя рождения Н.И.Лобачсаского (Минск, 4-3 дехабрл 1992 г.) и на семинаре отдела алгебры и теория чкеш Института математики ЛП Беларуси. Ре--оуяьтаты обсуждались па международной конференции "Квадратичные формы и аипейные алгебраические гругши" (Люмгош (Марсель), июнь 1094 г.) н на математической конференция, поснящешеой 25-яетию Гомельского ушверепчета (Пагель, 1994).

Результаты опубликованы в двух тезисах конференций, двух препринтах ИМ АНБ (сы. [lj, [2], [3], [4]), в препринте Бслефсльдсхого университета ([5]), а также положены в статье [6), принятой к опубликованию.

Структура и объем работы. Диссертация состоит ш введения, общей характеристики работы, трех глав основной части, выводов и списка литературы.